廖永明

對(duì)于一般函數(shù)的極值點(diǎn)，教學(xué)中多借助幾何直觀，用自然語言給出函數(shù)極值點(diǎn)的描述性定義：若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（x1，f（x1））處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減），我們就稱f（x1）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，x1為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；類似的，若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（x2，f（x2））處從左側(cè)到右側(cè)由“下降”變?yōu)椤吧仙保ê瘮?shù)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增），我們就稱f（x2）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，x2為函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn).該定義給出了判斷極值點(diǎn)的充要條件，揭示了一般函數(shù)極值點(diǎn)的本質(zhì)特征：極值點(diǎn)附近左側(cè)與右側(cè)函數(shù)單調(diào)性相反[1].

在教學(xué)中，教師一定會(huì)對(duì)極值與最值加以區(qū)別，由定義我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的極值其實(shí)是一種局部的最值，即：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，并且x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），那么y=f（x0）的值比在點(diǎn)x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（或都?。?事實(shí)上，反過來也是成立的，即：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，并且y=f（x0）的值比在點(diǎn)x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（或都小），那么我們就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（或極小值），x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.這甚至可以作為函數(shù)極值點(diǎn)的第二種定義，在日常教學(xué)中教師往往會(huì)注意強(qiáng)調(diào)前者，后者卻容易被忽視.但最近幾年的高考題卻出現(xiàn)了重點(diǎn)考查后者的函數(shù)極值概念題.如2013年浙江省高考理科數(shù)學(xué)第8題.endprint

對(duì)于一般函數(shù)的極值點(diǎn)，教學(xué)中多借助幾何直觀，用自然語言給出函數(shù)極值點(diǎn)的描述性定義：若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（x1，f（x1））處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減），我們就稱f（x1）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，x1為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；類似的，若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（x2，f（x2））處從左側(cè)到右側(cè)由“下降”變?yōu)椤吧仙保ê瘮?shù)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增），我們就稱f（x2）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，x2為函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn).該定義給出了判斷極值點(diǎn)的充要條件，揭示了一般函數(shù)極值點(diǎn)的本質(zhì)特征：極值點(diǎn)附近左側(cè)與右側(cè)函數(shù)單調(diào)性相反[1].

在教學(xué)中，教師一定會(huì)對(duì)極值與最值加以區(qū)別，由定義我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的極值其實(shí)是一種局部的最值，即：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，并且x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），那么y=f（x0）的值比在點(diǎn)x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（或都小）.事實(shí)上，反過來也是成立的，即：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，并且y=f（x0）的值比在點(diǎn)x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（或都?。敲次覀兙驼ff（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（或極小值），x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.這甚至可以作為函數(shù)極值點(diǎn)的第二種定義，在日常教學(xué)中教師往往會(huì)注意強(qiáng)調(diào)前者，后者卻容易被忽視.但最近幾年的高考題卻出現(xiàn)了重點(diǎn)考查后者的函數(shù)極值概念題.如2013年浙江省高考理科數(shù)學(xué)第8題.endprint

對(duì)于一般函數(shù)的極值點(diǎn)，教學(xué)中多借助幾何直觀，用自然語言給出函數(shù)極值點(diǎn)的描述性定義：若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（x1，f（x1））處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減），我們就稱f（x1）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，x1為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；類似的，若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（x2，f（x2））處從左側(cè)到右側(cè)由“下降”變?yōu)椤吧仙保ê瘮?shù)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增），我們就稱f（x2）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，x2為函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn).該定義給出了判斷極值點(diǎn)的充要條件，揭示了一般函數(shù)極值點(diǎn)的本質(zhì)特征：極值點(diǎn)附近左側(cè)與右側(cè)函數(shù)單調(diào)性相反[1].

在教學(xué)中，教師一定會(huì)對(duì)極值與最值加以區(qū)別，由定義我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的極值其實(shí)是一種局部的最值，即：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，并且x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），那么y=f（x0）的值比在點(diǎn)x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（或都?。?事實(shí)上，反過來也是成立的，即：如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，并且y=f（x0）的值比在點(diǎn)x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大（或都?。?，那么我們就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（或極小值），x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.這甚至可以作為函數(shù)極值點(diǎn)的第二種定義，在日常教學(xué)中教師往往會(huì)注意強(qiáng)調(diào)前者，后者卻容易被忽視.但最近幾年的高考題卻出現(xiàn)了重點(diǎn)考查后者的函數(shù)極值概念題.如2013年浙江省高考理科數(shù)學(xué)第8題.endprint