程廣利，胡金華，張明敏

(海軍工程大學(xué) 水聲工程系，湖北 武漢430033)

0 引言

每個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出量的相對(duì)重要性分析稱之為靈敏度分析［1］，靈敏度分析可定量或定性地評(píng)價(jià)輸入?yún)?shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，繼而可忽略那些靈敏度較低的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，據(jù)此簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型。

靈敏度分析通常分為局部靈敏度分析和全局靈敏度分析［2］。局部靈敏度分析只能檢驗(yàn)單參數(shù)的變化對(duì)模型結(jié)果的影響程度，其他參數(shù)取中心值，主要方法有因子變化法和偏差變化法［3-4］，優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單、易求，缺點(diǎn)是只考慮一個(gè)參數(shù)的變化量，計(jì)算效率不高，且忽略了輸入?yún)?shù)間的相互作用對(duì)系統(tǒng)輸出的影響等。全局靈敏度分析可檢驗(yàn)多個(gè)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)輸出產(chǎn)生的總的影響，并分析每一個(gè)參數(shù)及參數(shù)之間的相互作用對(duì)模型結(jié)果的影響。全局靈敏度分析可分為定性全局靈敏度分析和定量全局靈敏度分析。定性全局靈敏度分析只能定性地分析模型各參數(shù)的不確定性對(duì)模型結(jié)果影響的相對(duì)大小，定量全局靈敏度分析則定量地給出每個(gè)參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)輸出的貢獻(xiàn)率。

我國(guó)近海大都為淺海，淺海受多種因素的影響，環(huán)境參數(shù)不確定性強(qiáng)，對(duì)聲傳播影響較大，不同的環(huán)境參數(shù)對(duì)聲波在淺海中傳播的影響程度也各不同，可以忽略對(duì)聲傳播影響較小的環(huán)境參數(shù)。因此，如何定性或定量地表征環(huán)境參數(shù)對(duì)聲傳播的影響很有意義，但實(shí)用的量化方法研究相對(duì)較少。目前，用于水聲場(chǎng)分析靈敏度的方法主要有Monte Carlo(MC)法［1，5-7］和 空 間 聲 場(chǎng) 位 移 法［8-11］?；?于MC 法，Sweet［1］計(jì)算由多個(gè)不確定參數(shù)導(dǎo)致的聲場(chǎng)，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值統(tǒng)計(jì)，用上邊界方差和下邊界方差進(jìn)行靈敏度分析，其中上邊界方差更常用;但該方法沒(méi)能考慮變量間的交互影響，屬于局部靈敏度分析。Kessel［5］在特定的海洋環(huán)境變化下，基于聲壓幅度的相對(duì)變化定義了靈敏度概念，在聲場(chǎng)空間內(nèi)做平均獲得穩(wěn)定的典型值，并從物理上解釋了靈敏度的含義，屬于局部靈敏度分析法中的因子變化法;該方法優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀，缺點(diǎn)是針對(duì)所有參數(shù)采用相同的變化因子并不符合實(shí)際情形。文獻(xiàn)［6 -7］研究了環(huán)境參數(shù)不確定性對(duì)聲場(chǎng)幅度的影響，定義了聲傳播靈敏度函數(shù)，定義并驗(yàn)證了線性和非線性靈敏度的度量方法。總體來(lái)說(shuō)，MC 法計(jì)算量大、效率低，不能直接獲得聲場(chǎng)與不確定輸入變量之間的函數(shù)關(guān)系式，不適于多個(gè)參數(shù)不確定時(shí)的靈敏度分析?？臻g聲場(chǎng)位移法將環(huán)境參數(shù)擾動(dòng)導(dǎo)致的聲場(chǎng)擾動(dòng)看成是聲場(chǎng)結(jié)構(gòu)的空間位移和除空間位移外的其他變化，Brooke 等［8］、Dosso 等［9］、朱建峰等［10］以場(chǎng)位移靈敏度替代固定靈敏度，即用聲場(chǎng)幅度差均方根歸一化值的最小值來(lái)衡量聲場(chǎng)幅值對(duì)環(huán)境參數(shù)的靈敏度，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)仍屬于局部靈敏度分析方法，且空間聲場(chǎng)位移法本身適用的前提條件較多，如:必須滿足聲場(chǎng)位移與海洋環(huán)境參量擾動(dòng)成近似線性關(guān)系這一假設(shè)，在聲場(chǎng)空間中某些位置并不滿足這種關(guān)系，不能計(jì)算非相干聲場(chǎng)等［11］。以上分析表明，在水聲場(chǎng)靈敏度分析中，計(jì)算方法存在效率低、適應(yīng)范圍不廣等不足，且鮮有文獻(xiàn)論述全局靈敏度的分析方法。

本文在文獻(xiàn)［12］研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用非嵌入式隨機(jī)多項(xiàng)式展開(kāi)(NPCE)法快速獲得淺海聲場(chǎng)與不確定環(huán)境參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，將其對(duì)某個(gè)變量求(偏)導(dǎo)，獲得聲場(chǎng)對(duì)該參數(shù)的局部靈敏度;提出了一種定性分析全局靈敏度的簡(jiǎn)便方法;引入Sobol指數(shù)法［13］計(jì)算聲場(chǎng)對(duì)環(huán)境參數(shù)的定量全局靈敏度;分析了以上靈敏度分析方法的特性。

1 靈敏度分析方法

1.1 獲得聲場(chǎng)函數(shù)關(guān)系式

將淺海中不確定環(huán)境參數(shù)表示成標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量的函數(shù)后，聲場(chǎng)Y 可以截?cái)酁镹 階數(shù)值近似，即［12］

式中:C 為確定的環(huán)境參數(shù)向量;X =(x1，x2，…，xn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù);N 為不確定環(huán)境參數(shù)量;ai為待求的未知多項(xiàng)式系數(shù);Hi(X)為Hermite多項(xiàng)式函數(shù)。

當(dāng)變量服從其他形式的概率分布時(shí)，需選取相應(yīng)的、合適的多項(xiàng)式形式，如:均勻分布選擇Legendre 多項(xiàng)式、指數(shù)分布選擇Laguerre 多項(xiàng)式、伽馬分布選擇廣義Laguerre 多項(xiàng)式［14］。

多維m 階Hermite 多項(xiàng)式表示為

文獻(xiàn)［12］研究表明，非嵌入式隨機(jī)多項(xiàng)式展開(kāi)法具有計(jì)算精度和效率高、應(yīng)用范圍廣等特點(diǎn)，其另一個(gè)獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)是在獲得多項(xiàng)式系數(shù)ai后，代入到(1)式中，即可到聲場(chǎng)與不確定環(huán)境參數(shù)之間的近似函數(shù)關(guān)系式。此時(shí)對(duì)不確定量求(偏)導(dǎo)，就可以得到聲場(chǎng)對(duì)某個(gè)不確定參數(shù)的靈敏度函數(shù)關(guān)系式，即而獲得局部靈敏度值。若要分析全局靈敏度，則需提出新方法或是引入其他方法。

1.2 Sobol 指數(shù)法

假設(shè)模型為Y =f(X)，f(X)平方可積，將模型輸出f(X)分解為

為衡量不同輸入?yún)?shù)對(duì)輸出的貢獻(xiàn)大小，定義敏感性指數(shù)

式中:Sxi為xi的主效應(yīng)指數(shù)或一階敏感性指數(shù)，表征輸入xi獨(dú)自對(duì)輸出的方差貢獻(xiàn);x-i為不包含xi的其他參數(shù)，且

式中:p(x1，…，xi-1，xi+1，xN)為除xi外所有參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù);p(xi)為xi的概率密度函數(shù)。

將輸入?yún)?shù)x1，x2，…，xn分為xi和x-i二組，Vx-i(Exi(Y|x-i))描述了除xi外所有參數(shù)對(duì)輸出方差的影響，則VTOT-Vx-i(Exi(Y|x-i))表征所有與xi有關(guān)的效應(yīng)，xi的全效應(yīng)指數(shù)定義為

參數(shù)之間的交互效應(yīng)指數(shù)可表示為

式中:Vxixj(E-xixj(Y|xixj))表示xi和xj作為一個(gè)整體的主效應(yīng)對(duì)方差的影響。

2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 Pekeris 波導(dǎo)中傳播損失對(duì)不確定海深和海水聲速的局部靈敏度分析

Pekeris 波導(dǎo)如圖1 所示。環(huán)境參數(shù)設(shè)置如下:海深D 服從均值為100 m、標(biāo)準(zhǔn)差為9 m 的正態(tài)分布，海水聲速c1為均勻聲速梯度，服從均值為1 500 m/s、標(biāo)準(zhǔn)差為9 m/s 的正態(tài)分布，海水密度ρ1=1 000 kg/m3;海底為無(wú)限均勻半空間，其中聲速c2=1 800 m/s，密度ρ2= 1 800 kg/m3;聲源深度zs=30 m，接收器深度為50 m，接收距離r 分別為2 km、4 km、6 km、8 km、10 km，聲波頻率為1 000 Hz;聲場(chǎng)計(jì)算模型為KRAKEN［15］，假設(shè)海面是聲壓自由邊界，海底是半無(wú)限空間。不同接收距離時(shí)MC 法與NPCE 法計(jì)算得到的傳播損失概率分布(概率密度函數(shù))如圖2 所示，從左至右的曲線對(duì)應(yīng)由近及遠(yuǎn)的接收距離。由圖2 可知在不同的作用距離上，2 種方法一致性很高。

圖1 Pekeris 波導(dǎo)Fig.1 Pekeris waveguide

圖2 不同接收距離時(shí)傳播損失的概率分布Fig.2 PDF of transmission loss (TL)at different receiving ranges

其中，當(dāng)r=10 km 時(shí)傳播損失TL 與海深D、海水聲速c1之間的函數(shù)關(guān)系式為

將(7)式中的TL 對(duì)海深D、海水聲速c1分別求導(dǎo)，另一個(gè)參數(shù)則取其均值，代入不確定參數(shù)的具體數(shù)值，即可獲得r =10 km 時(shí)傳播損失對(duì)D 和c1的局部靈敏度，計(jì)算結(jié)果分別見(jiàn)圖3、圖4.

圖3 傳播損失對(duì)海深的局部靈敏度Fig.3 Local sensitivity of TL to D

圖4 傳播損失對(duì)海水聲速的局部靈敏度Fig.4 Local sensitivity of TL to c1

從圖3、圖4 只能給出傳播損失對(duì)單個(gè)變量在某一變化范圍內(nèi)的靈敏度，2 個(gè)圖縱坐標(biāo)的單位也不一致，不能據(jù)此判斷其中哪個(gè)變量對(duì)傳播損失影響更大，所以此時(shí)局部靈敏度分析的實(shí)際意義不大。

2.2 Pekeris 波導(dǎo)中傳播損失對(duì)不確定海深和海水聲速的定性全局靈敏度分析

圖5 對(duì)比了r =10 km 時(shí)，2.1 節(jié)相同仿真條件下海水聲速c1取均值1 500 m/s，僅海深D 變化時(shí)，以及當(dāng)2 個(gè)參數(shù)均不確定時(shí)傳播損失概率分布的變化情況。

由圖5 可知，是否考慮海水聲速不確定性，對(duì)聲傳播的概率分布影響非常小，這表明此時(shí)傳播損失對(duì)海深的靈敏度比海水聲速的靈敏度要大得多。因此，是否考慮某參數(shù)不確定性對(duì)聲場(chǎng)概率密度的變化情況，可用于定性描述聲場(chǎng)對(duì)該參數(shù)的全局靈敏度。

2.3 Pekeris 波導(dǎo)中傳播損失對(duì)不確定海深和海水聲速的定量全局靈敏度分析

不同距離上傳播損失對(duì)2 個(gè)變量的Sobol 指數(shù)如圖6 所示。

圖5 僅D 不確定以及D 和c1 均不確定時(shí)的傳播損失概率密度函數(shù)對(duì)比Fig.5 Comparison of PDFs of TL when only D is uncertain and both D and c1 are uncertain

圖6 傳播損失對(duì)海深和海水聲速的Sobol 指數(shù)Fig.6 Sobol index of TL to D and c1

由圖6 可知，總體來(lái)看在相應(yīng)的傳播距離上，傳播損失對(duì)2 個(gè)不確定環(huán)境參數(shù)的靈敏度以及二者的交互效應(yīng)指數(shù)均呈波動(dòng)變化，此時(shí)海深D 的主效應(yīng)指數(shù)明顯高于海水聲速c1的主效應(yīng)指數(shù)，說(shuō)明傳播損失對(duì)海深D 的靈敏度比海水聲速c1的靈敏度更高，究其原因是水層為等聲速型聲速剖面，故海水聲速對(duì)聲傳播影響較小，而海深D 的變化對(duì)聲傳播影響較大;二者之間的交互效應(yīng)指數(shù)較小，即二者交互性弱，相互影響不大;圖6 也證明圖5 中定性全局靈敏度分析結(jié)果的正確性。

因此，針對(duì)Pekeris 波導(dǎo)，在研究聲場(chǎng)不確定時(shí)，可考慮將全效應(yīng)指數(shù)較小的海水聲速取固定值(如:取均值)，繼而減少不確定環(huán)境參數(shù)的個(gè)數(shù)，以簡(jiǎn)化不確定聲場(chǎng)模型，集中精力提高那些對(duì)聲場(chǎng)影響程度較大的參數(shù)的計(jì)算精度。

3 結(jié)論

運(yùn)用NPCE 法能夠快速獲得聲場(chǎng)與不確定環(huán)境參數(shù)之間函數(shù)關(guān)系式的特性，展開(kāi)淺海聲場(chǎng)對(duì)環(huán)境參數(shù)的靈敏度分析研究，結(jié)果表明:

1)將函數(shù)關(guān)系式對(duì)單個(gè)不確定參數(shù)求(偏)導(dǎo)，即可獲得對(duì)該參數(shù)的局部靈敏度，數(shù)學(xué)含義易理解。

2)當(dāng)其他參數(shù)同時(shí)不確定時(shí)，是否考慮某參數(shù)變化前后聲場(chǎng)概率密度的變化情況，則定性反映了此時(shí)水聲場(chǎng)對(duì)該不確定參數(shù)的全局靈敏度;如果聲場(chǎng)概率密度變化不大，則可以忽略該參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)的影響，無(wú)需再進(jìn)行定量全局靈敏度分析;如果變化較大，則需進(jìn)一步定量地分析全局靈敏度。

3)Sobol 指數(shù)法適于定量計(jì)算水聲場(chǎng)對(duì)多個(gè)不確定環(huán)境參數(shù)的全局靈敏度，可給出單個(gè)參數(shù)的主效應(yīng)指數(shù)、不同變量間的交互效應(yīng)指數(shù)，前提是需要知道系統(tǒng)輸出量與輸入量之間的函數(shù)關(guān)系式，而這恰是NPCE 法的優(yōu)點(diǎn)所在，故2 種方法結(jié)合起來(lái)，不但可行，而且計(jì)算效率高。

4)在淺海不確定水聲場(chǎng)研究中，全局靈敏度分析比局部靈敏度分析更具實(shí)際應(yīng)用意義，可簡(jiǎn)化淺海環(huán)境參數(shù)模型。值得說(shuō)明的是，研究中雖選取含2 個(gè)不確定環(huán)境參數(shù)的Pekeris 波導(dǎo)為例進(jìn)行靈敏度分析，實(shí)際上由文獻(xiàn)［12］以及本文方法的適用條件可知，這些方法同樣可推廣至含更多不確定參數(shù)的海洋環(huán)境復(fù)雜的淺海環(huán)境中。

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