程文鋒 汪振

摘 要：本論文以泊松方程的基本公式為中心，通過(guò)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換和物理建模，巧妙地解決了泊松方程的邊界條件問(wèn)題，直接求取了空間電荷密度與電場(chǎng)的關(guān)系式。本論文還根據(jù)基本的物理學(xué)知識(shí)對(duì)傳感器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了空間靜電場(chǎng)轉(zhuǎn)化為電流信號(hào)功能，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，其功能上還能辨識(shí)電荷極性。最后通過(guò)物理模型的電場(chǎng)分布特性計(jì)算了如何通過(guò)直流電場(chǎng)對(duì)測(cè)量裝置進(jìn)行校正。本論文所設(shè)計(jì)的空間電荷密度測(cè)量技術(shù)可應(yīng)用于大氣電荷研究、電荷移動(dòng)研究等。

關(guān)鍵詞：泊松方程；電荷密度；電極；電場(chǎng)強(qiáng)度；

中圖分類號(hào)：TH762 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

目前測(cè)量空間電荷密度多采取的是間接方式，如聲波、激光、熱脈沖等。這些方法受環(huán)境影響較大，精度不高，同時(shí)也容易影響被測(cè)電荷。本論文所提出的測(cè)試方法是建立在最基本的物理方程上進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)公式推導(dǎo)和巧妙的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)空間電荷密度的測(cè)量。

1 測(cè)量裝置的基本原理

物理學(xué)中的泊松方程的微分形式為▽2=-ρ/ε，其中ρ代表電荷密度，它在空間上是一個(gè)三維方程。若只考慮x方向的泊松方程，則有式（1）。

（1）

圖1為測(cè)量裝置的物理模型，模型的上、下電極通過(guò)側(cè)壁連接，它們之間的距離為d。設(shè)裝置里面充滿了電荷密度為ρ的電荷，同時(shí)在它的作用下，在上、下電極上形成電壓U0。模型的下電極上裝有靜電式電場(chǎng)傳感器。圖1模型中還建立了x軸坐標(biāo)，其方向以下電極的表面為起點(diǎn)，向上電極方向?yàn)檎?。所建立的物理模型在x方向上的電場(chǎng)只與電荷ρ有關(guān)，與外電場(chǎng)無(wú)關(guān)，即兩端電極上只有裝置空間的電荷作用，與外電場(chǎng)無(wú)關(guān)。

解方程（1）得式（2）。

（2）

式（2）等式的du/dx即為上、下電極間的電場(chǎng)強(qiáng)度。對(duì)式（2）求解得式電極間的電壓表達(dá)式（3）。

（3）

在邊界條件x=0，電壓u=U0；x=d，電壓u=U0時(shí)，求得

，c2=U0，將

代入式（2）得兩端間的電場(chǎng)強(qiáng)度Ex。

（4）

當(dāng)x=0時(shí)，；當(dāng)x=d時(shí)，

當(dāng)x=d/2時(shí)，Ed/2=0。

通過(guò)上面分析，在x=0處存在空間電荷密度與電極表面的電場(chǎng)強(qiáng)度有直接的線性關(guān)系，即

所以只要通過(guò)傳感器測(cè)量出E0，就可通過(guò)計(jì)算求出空間電荷密度ρ。

2 傳感器設(shè)計(jì)

靜電傳感器的設(shè)計(jì)原理模型是基本上是在靜電場(chǎng)中放置一個(gè)導(dǎo)體，導(dǎo)體表面就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷，當(dāng)電場(chǎng)變化時(shí)感應(yīng)電荷也變化，使導(dǎo)體內(nèi)部電荷的移動(dòng)形成微弱電流。根據(jù)微弱電流的變化或電荷移動(dòng)所產(chǎn)生的效應(yīng)，就可知電場(chǎng)的變化。但在實(shí)際測(cè)量中，傳感器所在的靜電場(chǎng)中電場(chǎng)基本不變或緩變，不易測(cè)量所處在靜電場(chǎng)的變化。

該傳感器的設(shè)計(jì)方法采用靜電式場(chǎng)強(qiáng)測(cè)量方式，采用遮擋片遮擋的形式對(duì)一個(gè)導(dǎo)體的屏蔽和去屏裝置，可以周期性地實(shí)現(xiàn)屏蔽和去屏的動(dòng)態(tài)效果，產(chǎn)生因動(dòng)態(tài)變化感應(yīng)到的感生電荷。其設(shè)計(jì)原理如圖2所示。旋轉(zhuǎn)葉片和固定葉片都是由金屬制作的扇形葉片，旋轉(zhuǎn)葉片在馬達(dá)的帶動(dòng)下以屏蔽固定葉片電場(chǎng)的方式達(dá)到調(diào)制作用。

設(shè)固定葉片在面積S上的感應(yīng)電荷，在一定的空間電荷密度ρ作用下，電場(chǎng)E是保持不變的，所以可通過(guò)旋轉(zhuǎn)葉片的調(diào)制作用改變S，從而有式（5）。

（5）

通過(guò)式（5）將電場(chǎng)信號(hào)轉(zhuǎn)化為電流信號(hào)，且電流值與面積的變化率有關(guān)?？赏ㄟ^(guò)圖3進(jìn)行分析。

圖3為旋轉(zhuǎn)葉片開(kāi)始遮斷電場(chǎng)線示意圖，有

則面積S有式（6）。

（6）

將式（6）式代入（5）式得：

（7）

式（7）中，f表示電動(dòng)機(jī)的頻率。

同理，當(dāng)旋轉(zhuǎn)葉片離開(kāi)固定葉片區(qū)域時(shí)，調(diào)制出的電流方向相反，如此反復(fù)，就可得到周期性的方波電流信號(hào)，經(jīng)采樣電阻后又可將電流信號(hào)轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，最后經(jīng)抗干擾和放大處理后即可被CPU采樣。圖4為傳感器的調(diào)制機(jī)理時(shí)序圖，可見(jiàn)正電荷與負(fù)電荷相位相反，通過(guò)它即可辨別電荷極性。

3 校正方法的建立

在式（1.4）分析中，上、下電極中間d/2處是沒(méi)有與x方向垂直的電場(chǎng)。若在電極中間d/2處，插入一個(gè)無(wú)厚度的金屬片，如圖5所示，并在金屬片與電極間加直流電壓Us時(shí)，則在（0，d/2）范圍內(nèi)有式（8）。

（8）

當(dāng)x=0，u=0時(shí)，c4=0；x=d/2，u=Us時(shí)，。所以（0，d/2）和（d/2，d）的電場(chǎng)強(qiáng)度。

（9）

當(dāng)電壓Us所建立的電場(chǎng)強(qiáng)度與等效電荷密度建立的電場(chǎng)強(qiáng)度相等時(shí)，即式（1.4）在x=0的電場(chǎng)與式（9）相等時(shí)，得式（10）。

（10）

通過(guò)式（3.3）可計(jì)算出電壓Us所等效出的空間電荷密度。

令Us=1kV，d=1cm，有

（庫(kù)倫/米），即在1kV直流電壓下所產(chǎn)生的電場(chǎng)與電荷密度為3.54×10-4下所產(chǎn)生的電場(chǎng)等效，即可按此方法進(jìn)行校正。

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)泊松方程基本公式的簡(jiǎn)單求解，并結(jié)合物理模型的巧妙設(shè)計(jì)，解決了泊松方程邊界條件，還得到了空間電荷密度與電場(chǎng)的線性關(guān)系。然后通過(guò)靜電式傳感器的設(shè)計(jì)將電場(chǎng)調(diào)制成電流信號(hào)，再經(jīng)采樣處理后即可被CPU讀到。最后還介紹了如何利用直流電場(chǎng)對(duì)裝置進(jìn)行校正的原理和方法。

參考文獻(xiàn)

[1]劉志遠(yuǎn)，姜晶，趙佳龍，等.小型振動(dòng)電容式靜電傳感器的設(shè)計(jì)[J].儀表技術(shù)與傳感器，2011（11）.