王小雪，程宏偉，楊瓊瓊，周 碩

(1.東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林 吉林132012;2.吉化一中，吉林 吉林132022)

1 引 言

矩陣反問(wèn)題和矩陣特征值反問(wèn)題是近年來(lái)計(jì)算數(shù)學(xué)的重要研究方向之一，在科學(xué)和工程技術(shù)中具有廣泛應(yīng)用［1－7］.矩陣的廣義特征值反問(wèn)題在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，分子光譜學(xué)，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，參數(shù)識(shí)別和自動(dòng)控制等許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，它主要討論Ax=λBx成立的條件及通解表達(dá)形式［2－5］;隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，有各種各樣已有的系統(tǒng)需要改善或擴(kuò)充，這實(shí)際上就是矩陣的擴(kuò)充問(wèn)題，矩陣擴(kuò)充問(wèn)題即為子矩陣約束下的矩陣反問(wèn)題，研究矩陣擴(kuò)充問(wèn)題對(duì)矩陣?yán)碚摷捌鋵?shí)際應(yīng)用具有重要意義［6－7］。本文應(yīng)用矩陣對(duì)的商奇異值分解［8］，研究子矩陣約束下廣義反中心對(duì)稱矩陣的廣義特征值反問(wèn)題及其最佳逼近問(wèn)題。

Rm×n表示所有m×n實(shí)矩陣的集合，ORn×n表示n階正交矩陣的集合，用rank(A)表示矩陣A的秩，Ik表示k階的單位矩陣，Sk表示k階的反序單位矩陣，對(duì)A=(aij)，B=(bij)∈Rm×n，A*B=(aijbij)∈Rm×n為矩陣A與B的Hadamard積;Rm×n中定義A與B的內(nèi)積為 ＜A，B＞=tr(BTA)，由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，即為矩陣A的Frobenius范數(shù)，并且Rm×n是一個(gè)完備的內(nèi)積空間。

定義1 設(shè)P、Q分別是給定的n階對(duì)稱正交矩陣，如果A∈Rn×n，滿足PAQ=－A，則稱矩陣A為關(guān)于P、Q的廣義反中心對(duì)稱矩陣。所有n×n階廣義反中心對(duì)稱矩陣的全體記為ACSRn×n(P，Q)。

顯然，矩陣集合 ACSRn×n(P，Q)與矩陣 P、Q 有關(guān)，當(dāng) P=Q=Sn時(shí)，集合 ACSRn×n(P，Q)即為反中心對(duì)稱矩陣的集合ACSRn×n。全文假定矩陣P、Q是給定的。

本文討論如下問(wèn)題:

問(wèn)題1 給定X∈Rn×m，Λ =diag(Λ1，Λ2，……Λl)∈Rm×m。Λj(j=1，2，……l)為一階或二階矩陣，A0∈ Rr×r，B0∈ Rr×r，求矩陣 A，B ∈ ACSRn×n(P，Q)，使得

其中A(［1，r］)是矩陣A的r階順序主子矩陣。

其中SAB為問(wèn)題1的解集合。

第2節(jié)利用商奇異值分解給出了問(wèn)題1有解A，B∈ACSRn×n(P，Q)的充分必要條件，并在有解的情況下，給出了問(wèn)題1的通解表示。第3節(jié)證明了問(wèn)題2最佳逼近解［A^，^B］的存在唯一性，并且給出［A^，^B］的表達(dá)式。

2 問(wèn)題1有解的條件及通解表示

引理1 設(shè)P，Q∈Rn×n為對(duì)稱正交矩陣，則存在n階正交陣U，V，使得P，Q的譜分解為

引理2 設(shè)A∈Rn×n，P，Q∈Rn×n為對(duì)稱正交矩陣，且P，Q的譜分解為式(1)，則A∈ACSRn×n(P，Q)為廣義反中心對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)

記

對(duì)給定 X ∈ Rn×m，記

其中

對(duì)文獻(xiàn)［9］中的定理1進(jìn)行推廣可得如下結(jié)論:

引理3 設(shè)X∈Rn×m，Λ =diag(Λ1，Λ2，……Λl)∈Rm×m，Λj(j=1，2，……l)為一階或二階矩陣，P，Q為對(duì)稱正交矩陣，則問(wèn)題AX=BXΛ恒有解A，B∈ACSRn×n(P，Q)，且其通解可表示為

其中 G1∈ R(n－t)×(2s－r1)，G2∈ Rt×(2(n－s)－r2)是任意矩陣。

由引理3知AX=BXΛ在ACSRn×n(P，Q)中總有解，解的一般形式如(4)式所示，設(shè)其解集合為Ω，則求問(wèn)題1的解等價(jià)于求

因?yàn)锳0，B0分別是A，B的順序主子陣，則

記

將矩陣對(duì)W1，W2和分別作商奇異值分解［8］(QSVD)

有如下分塊形式

這里

C1=diag(a1，a2，……ar4)＞0，C2=diag(b1，b2，……br6)＞0，0，01，02，03，04為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣;

將(10)式代入(9)，得

根據(jù)(11)，(12)式中 Σi(i=1，2，3，4)的分塊形式，將 Y=(Yij)3×3，Z=(Zij)3×3，C=(Cij)4×4進(jìn)行相對(duì)應(yīng)的分塊，則(14)式可化為

綜合上述分析，可得如下定理。

定理1 問(wèn)題1有解的充分必要條件是

并且在有解情況下，問(wèn)題1的通解為

其中

這里 Y11，Y12，Y13，Y21，Y31，Z13，Z23，Z31，Z32，Z33分別為對(duì)應(yīng)階的任意矩陣。

證明 問(wèn)題1有解等價(jià)于(15)式成立，從而問(wèn)題1有解的充要條件是(16)式。在有解情況下，由，及公式(3)，(15)可得問(wèn)題1 的通解表達(dá)式為(17)式到(19)式。

3 問(wèn)題2的解

為了證明問(wèn)題2解的存在唯一性，我們需要如下有限維內(nèi)積空間的最佳逼近定理［10］。

引理4 設(shè)V1是有限維內(nèi)積空間V的一個(gè)閉凸集，則V中任一向量α在V1上存在唯一的最佳逼近。

引理 5［11］給定，則有唯一解

其中

這里

證明 若定理1的條件滿足，則SAB非空，且SAB是內(nèi)積空間Rn×n×Rn×n中的一個(gè)閉凸集。由引理4知在 SAB中存在唯一的最佳逼近。由(20)－(21)式及均為正交矩陣，可得

由引理5可得

這里

將(27)式代入(17)－(19)式即得(22)－(25)式。

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