賴靜LAI Jing

（阿壩師范高等?？茖W校，汶川623002）

0 引言

從1990年開始，日本經(jīng)濟就進入從快速增長轉(zhuǎn)為長期低迷的周期。不過直至2000年才發(fā)現(xiàn)造成這種現(xiàn)象的原因，如日本的人口出生率較低，人均壽命不斷增加，人口總量持續(xù)下降以及經(jīng)濟實力和人口主要集中在東京等地區(qū)。因此需要一種對各類信息進行定量分析的工具，從而了解經(jīng)濟資源，包括勞動力、生產(chǎn)材料、資金的分布情況，這也就是本文的出發(fā)點。首先最好是建立一種經(jīng)濟模型來獲取地區(qū)之間經(jīng)濟資源的分布情況。盡管如此，該模型需要考慮到所有GDP宏觀指標的變化。為了找出全國經(jīng)濟變化的原因，本文在馬爾可夫鏈的基礎上建立一種新的隨機模型。這是一種簡單的預測模型：在一個數(shù)字序列中，可以用前一項包含的信息推出后一項。此外它還是西姆斯1980年提出的向量自回歸模型的一種形式。在經(jīng)濟預測方面，已經(jīng)存在一些基于馬爾可夫鏈的模型，并且大多數(shù)研究人員也提倡使用這些模型來衡量國家或地區(qū)之間經(jīng)濟融合的程度。在預測經(jīng)濟時，雖然諸如馬爾可夫鏈一類的隨機模型比計量經(jīng)濟模型更容易，但預測的結(jié)果并不總是可靠的。因此為了增加預測的可靠程度，我們進行蒙特卡羅試驗，并給定一個預測區(qū)間。

1 預測模型

馬爾可夫鏈是一個著名的推導概率鏈的工具。對于每個馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣M=（pij）它的轉(zhuǎn)移概率pij滿足0≤（pij）≤1，Σi=1pij=1，一個線性概率鏈可推到為pt+1=Mpt，t=0，1，2…。令向量 Ft為周期 t內(nèi)所有地方縣市 GDP，F(xiàn)t+1表示周期t+1內(nèi)的值。假定矩陣Mt是Ft在Ft+1上的映射，因而有

假設Mt是特定時間下的轉(zhuǎn)移矩陣，周期s后的共享向量Ft+s可表示為

因此，目前的國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP實際上可由馬爾可夫鏈構(gòu)造出一種模型。接下來我們會介紹一種用真實的經(jīng)濟數(shù)據(jù)估算轉(zhuǎn)移矩陣Mt的方法，研究表明該方法可以度量收入分布的收斂性。通過收集每個國家或地區(qū)的經(jīng)濟數(shù)據(jù)，為樣品總量假定一個合適的網(wǎng)格線，基于這個網(wǎng)格線對每個損益表進行分類，采用矩陣估算的方法對每個國家和地區(qū)的響應時間進行匯總。這種情況下，收入由高到低大體上可以被分成5種情形。然而這不能反映個人或區(qū)域內(nèi)部收入的變化，因此為探討地方縣市經(jīng)濟數(shù)據(jù)的變化，本文在計算時作了以下處理，實現(xiàn)過程如下：

令Ft是一個3×1的矩陣，在時間t上的轉(zhuǎn)移矩陣Mt是一個3×3的矩陣，形如

然而當概率矩陣Mt的每列之和等于1，即

公式可能無法保持馬爾可夫鏈的特性。

因此我們引入了GDP增長總率gt作為調(diào)整參數(shù)，

有了這個參數(shù)后，公式就可以保持馬爾可夫鏈的特征。

從而可將公式（4-1），（4-2），（4-3）變形為：

然而對矩陣Mt來說，光有這三個限制條件不足以證明它有唯一的的解，因而需要更多的限制條件。單位矩陣提供了Mt的一個平凡解，雖不是最理想的，但它同樣是一種限制條件。假設分布在時間上變化不大，則矩陣Mt的元素和單位矩陣的元素類似。使用這種方法可以將矩陣Mt推廣到N*N，基于下面的最小化過程可以估計Mt的每個元素。

其中ijk是單位矩陣i中第i行j列的元素，gt是GDP增長率總和

利用非線性規(guī)劃可以求解這個最小化問題，從而可以得at,jk出的唯一解。

第三，我們需要為預測模型構(gòu)造一個轉(zhuǎn)移矩陣M。因為轉(zhuǎn)移矩陣式在特定時間下通過估計得到的，所以我們考慮到使用元素的平均值

文中涉及到的預測，模擬和蒙特卡羅實驗都是基于平均轉(zhuǎn)移矩陣

2 數(shù)據(jù)

本文中涉及到的數(shù)據(jù)來自于47個地方縣市的年度財政報告。GDP平減指數(shù)是基于2000年的同比價格指數(shù)。從1996年開始到2000年官方每年都發(fā)布了實際GDP環(huán)比價格指數(shù)，而1995年及之前的數(shù)據(jù)是用1995年的實際GDP環(huán)比價格的增長率來估計的。1990-2007年使用的數(shù)據(jù)也是官方公布的財政年度數(shù)據(jù)。為了將財政年度轉(zhuǎn)換為日歷年度，我們將官方公布的GDP數(shù)據(jù)除以4，然后將本年第一季度的GDP加入到上一財年中。

其次，在分析中縣市之間的人口差異是我們遇到的一個問題。既然本文探討的是各縣市的GDP變化，故將2007年確定為人口基準年，使用2007年的人口數(shù)據(jù)就可以將人均國內(nèi)生產(chǎn)總值轉(zhuǎn)化為地方縣市GDP總量。因此,若某年度的人口規(guī)模小于（或大于）2007年的,那么該年度的GDP的估值也相應地大于（或小于）2007年，故可以消除測量周期內(nèi)人口數(shù)量變化對預測造成的影響。

3 仿真

我們把仿真過程分為三個部分。首先,基于方程（9）我們使用馬爾可夫鏈對2008-2020這個時間段進行預測。接下來我們將一個經(jīng)濟震動值加入到馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移矩陣中，然后對新的預測結(jié)果進行分析。模擬的經(jīng)濟震動是一些自然災害造成的，如2011年3月發(fā)生的日本大地震。最后，我們?yōu)榻?jīng)濟震動之前和之后轉(zhuǎn)移矩陣中的每個元素增加一個不確定性，并進行蒙特卡羅實驗目的是為了讓計算結(jié)果具有魯棒性和準確性。從今以后，在展示分析解析細節(jié)和結(jié)果的時候，我們可以將蒙特卡羅實驗分為經(jīng)濟震動之前和經(jīng)濟震動之后兩個部分。

3.1 蒙特卡羅實驗前不確定性軌跡分析 表1顯示了基于方程（9）轉(zhuǎn)換矩陣的部分預測結(jié)果。這個轉(zhuǎn)移矩陣是基于1990-2007年方程7的最優(yōu)化問題并通過算術平均進行計算得到的。該表顯示轉(zhuǎn)移中北海道對北海道概率的為0.991877，北海道對青森縣為0.000117。我們使用轉(zhuǎn)移矩陣已經(jīng)預測到2020年的結(jié)果。由于僅僅通過乘以一個轉(zhuǎn)移矩陣不可能描述整個日本經(jīng)濟的增長情況，所以我們需要在轉(zhuǎn)移矩陣中插入一個模擬的1%的外生增長率從而導致概率的變化。其次，需要考慮到大地震帶來的經(jīng)濟震動。2011年日本東部的大地震直接或間接地對許多縣市造成破壞，其中東北的巖手縣、宮城縣和福島縣遭受的破壞最為嚴重，災后的經(jīng)濟恢復需要花費相當長的時間。反映災難對經(jīng)濟造成沖擊的一種方法是改變轉(zhuǎn)移矩陣元素的值。許多因素對GDP來說都很重要，如資本存量，在自然災害中，資本往往會遭受到重大損失，從而對GDP造成負面影響。因此我們可以用一個小于1的因子去乘以轉(zhuǎn)移矩陣中的每個元素，使得GDP小于經(jīng)濟震動前的值。接下來假定地方縣市受經(jīng)濟震動的程度：青森0.95，巖手縣0.90，宮城縣 0.90，福島縣 0.90、茨城縣 0.95，千葉縣 0.97，東京0.97。這些經(jīng)濟震動率適用于所有的縣市。

通過比較有無災難發(fā)生的情形，在進行蒙特卡羅實驗之前評估確定性路徑。這些數(shù)字可以同時代表發(fā)生地震的縣市和整個國家的情況。每個縣市的經(jīng)濟增長率有所不同，因而區(qū)域之間自然也存在差異，此外一旦插入經(jīng)濟震動后，在發(fā)生經(jīng)濟震動的年份國家和地方縣市的經(jīng)濟增長率會有所下降，但之后會慢慢恢復。然而經(jīng)濟復蘇并不能克服經(jīng)濟沖擊帶來的經(jīng)濟增長率的下降問題。人們普遍認為轉(zhuǎn)移矩陣中的元素一年只會變化一次，原始矩陣會結(jié)轉(zhuǎn)到下一年。接下來我們分析一下仿真結(jié)果是如何對整個國民經(jīng)濟的變化進行預測的。表2顯示了從2007年到2020年地方各縣市GDP總的變化情況，而非年度平均變化。既然給定了每年1%的外生增長率，那么在此期間的經(jīng)濟變化會超過13%。低于平均增長率10%或者更多的地方縣市有北海道，千葉縣，神奈川縣，大阪市，和兵庫縣，如果不算上北海道和沖繩縣，除了愛知縣外，其它許多經(jīng)濟強縣（市）都會低于平均增長率水平。因此該模型顯示的經(jīng)濟變化表明地區(qū)性差異是可約的。另一方面，從震后經(jīng)濟變化情況來看，受地震影響大的縣市其經(jīng)濟增長率下降的幅度也大，受地震影響小的縣市其經(jīng)濟增長率下降的幅度也小。而在其余的縣市，它們的經(jīng)濟增長率也受地震影響而有所下降，但下降的幅度基本可以被忽略。

3.2 蒙特卡羅實驗后不確定性軌跡分析 接下來，我們討論一下這些不確定性軌跡的情況。蒙特卡羅實驗需要的數(shù)據(jù)基于對方程（9）中的轉(zhuǎn)移矩陣進行估計而獲取到的信息。該實驗基于”不確定性是轉(zhuǎn)移矩陣的要素之一”這個假設進行的。即給表1中的數(shù)據(jù)給定一個區(qū)間,利用蒙特卡羅實驗進行預測。根據(jù)正態(tài)分布的平均值和標準偏差，假定表1中的數(shù)據(jù)具有一定的區(qū)間寬度。表1中的數(shù)據(jù)就是平均值，而標準偏差可以從1990-2007每一年的轉(zhuǎn)移矩陣中計算機得到的。即蒙特卡羅實驗是根據(jù)正態(tài)分布的平均值（表1）和正態(tài)分布的標準偏差（表3）產(chǎn)生一個隨機數(shù)進行的。既然實驗包含了對經(jīng)濟震動的模擬，所以就得比較經(jīng)濟震動發(fā)生之前一段時間和發(fā)生之后一段時間的情況進行比較。假設在進行蒙特卡羅實驗時，產(chǎn)生了300個隨機數(shù)字，實驗的次數(shù)越多，預測的結(jié)果就會越精確，但是計算也會更復雜。所以本文在研究中，將為實驗重復的次數(shù)設定在一個范圍內(nèi)，這樣處理起來就更簡單些。

表1 轉(zhuǎn)移矩陣（平均）

表2 每個縣市GDP的變化（2007-2020的變化率單位%）

表3 轉(zhuǎn)移矩陣的標準偏差

表4 震前各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實驗后1）

表5 震前各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實驗后2）

表4和表5顯示蒙特卡羅實驗之后，每一個縣市在經(jīng)濟震動發(fā)生之前GDP的平均值和變異系數(shù)。變異系數(shù)（CV）=標準偏差/算術平均值,因為設置的時間是2020年，所以變異系數(shù)的值變大了。在給每一年的轉(zhuǎn)移矩陣產(chǎn)生一個隨機數(shù)的時候，和當前的時間相差越久，不確定性就會增加的越多，然而這個值大約為2%。由于表3中的數(shù)值非常小，因而不確定性明顯也很小。當前日本的經(jīng)濟增長率小于1%，尚不清楚使用標準偏差是否會帶來2%的不確定性。此外，尚未觀察到變異系數(shù)中的地區(qū)性差異。

表6和表7顯示蒙特卡羅實驗后，每個縣市在經(jīng)濟震動之后GDP的算術平均值和變異系數(shù)的情況。由于地震發(fā)生在2010-2011年間，2010年的數(shù)據(jù)和表4和表5中的數(shù)據(jù)相同，所以就被忽略了。表的右半部分顯示地震發(fā)生前的比較情況。在發(fā)生地震的縣市，平均值之間的差異在2015-2020年間會變小，災后經(jīng)濟將逐步恢復。盡管變異系數(shù)在發(fā)生地震的縣市會變大，但是在其他縣市會略有降低?；蛟S將來經(jīng)濟恢復的不確定性和變異系數(shù)一樣會因為地震的原因而增加。

最后我們探討一下地震發(fā)生前后蒙特卡羅實驗樣本重復的程度。在蒙特卡羅實驗中采用對數(shù)和0.005的寬度，在各縣市震前的水平上計算2015-2020年間的平均值，從而可以建立一個頻率表。然后就可以計算出地震發(fā)生前后蒙特卡羅實驗樣本的重復率。表8顯示，若樣本重復率接近100%的話，地震發(fā)生前后概率分布是相同的。一般情況下盡管重復率接近100%，沒有發(fā)生地震的縣市仍沒有顯現(xiàn)出來，因為地震對這些縣市只造成一些輕微的影響。另一方面，宮城縣和福島縣沒有任何重復的蒙特卡羅實驗樣本，即使假定存在不確定性，他們?nèi)圆荒芘まD(zhuǎn)災后經(jīng)濟下滑的趨勢。受地震影響較小的一些縣市，如東京，它們的樣本重復率大概為30%。即使這個縣市遭受了地震的影響，不確定性也會抵消地震帶來的負面效應。

表6 震后各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實驗后1）

表7 震后各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實驗后2）

表8 地震前后多樣性分布（%）

4 結(jié)論

本文在研究中使用了隨機模型以此來顯示日本各地方縣市GDP的變化情況，并對它們進行預測。此外在研究中我們還采用了隨機模型的概率元素，分析預測了經(jīng)濟震動如日本東部大地震對經(jīng)濟造成影響的情況。我們同樣也考慮到把經(jīng)濟恢復趨勢作為一種可行的方法來預測今后自然災害可能對經(jīng)濟造成的沖擊。在蒙特卡羅實驗中加入不確定性之后，應用隨機預測模型證明一些負面影響如災難沖擊是可以被忽略的。然而這種隨機預測模型也需要不斷進行改進，例如縣市間的相互影響較小，盡管如此，仍會對勞動力、原材料和資金帶來越來越大的影響。盡管存在一些不足，該模型仍對日本經(jīng)濟的未來提出發(fā)人深省的問題。

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