鮑 杰, 舒 級,2*

(1. 四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學 可視化計算與虛擬現(xiàn)實重點實驗室, 四川 成都 610066)

Ginzburg-Landau方程是耗散情形下的非線性Schr?dinger方程,用于描述非平衡流體動力學的不穩(wěn)定性以及超導體、非線性光學和Bose-Einstein凝聚等物理現(xiàn)象[1].

本文考慮D=[0,1]×[0,1]?R2中帶加性噪聲的高階廣義Ginzburg-Landau方程:

du=[-κu+χu+(γ1+iγ2)Δu-

(β1+iβ2)|u|2u-(δ1+iδ2)|u|4u-

(λ1+iλ2)|u|6u-(ν1+iν2)|u|2u-

(μ1+iμ2)u2

u(x,t)|?D=0,

u(x,t0)=u0(x),

(1)

其中,χ>0,κ,γi,βi,δi,λi,νi,μi(i=1,2)均為實數(shù).

此方程的確定性系統(tǒng)已有廣泛研究.文獻[2-3]討論了不含7階項方程的整體解的存在性和唯一性.文獻[4]則討論了不含5階項時方程整體解的存在性.實際上關注的是確定性系統(tǒng)所忽略的許多微小擾動對系統(tǒng)的影響.該方程的漸近性質(zhì)已由文獻[5-8]分別討論.文獻[9]討論了L2中附加了乘性噪聲的隨機廣義Ginzburg-Landau方程的漸進行為.同時,還注意到無界域上帶有可加白噪音的Ginzburg-Landau方程的隨機吸引子已由文獻[10]討論.無窮維格系統(tǒng)上的隨機Ginzburg-Landau方程的吸引子由文獻[11]討論.

吸引子是研究確定性動力系統(tǒng)長時間行為的有效工具,文獻[12]中給出了詳盡的描述.然而，當考慮隨機因素，尤其是白噪聲對系統(tǒng)的影響時，確定性系統(tǒng)所提供的工具顯得無能為力.白噪聲使得系統(tǒng)依概率1離開任何一個有界集.文獻[13-14]提出了隨機動力系統(tǒng)中隨機吸引子的概念,并于文獻[15]中系統(tǒng)闡述.隨機吸引子實質(zhì)上是緊的不變集，該不變集依概率并且隨著時間變化.隨機吸引子是對確定性系統(tǒng)中吸引子概念的推廣，已應用于無窮維隨機動力系統(tǒng)中[13-14,16].文獻[15]深入討論了文獻[17]中的隨機模型.近年來文獻[6,18-19]使用先驗估計的方法討論了方程在有界區(qū)域情形下隨機吸引子的存在性及其Hausdorff維數(shù).文獻[20-22]討論了無界區(qū)間上隨機微分方程吸引子的相關問題,文獻[23-24]則關注了格上的隨機動力系統(tǒng)的漸近性質(zhì).另一方面,帶有動力學邊值條件的隨機微分方程已被討論[25].文獻[26]討論了幾類隨機微分方程的不變流形的性質(zhì).本文的主要結果拓展了隨機耗散偏微分方程一致先驗估計的方法,并且證明方程在R上整體隨機吸引子的存在性.顯然，如同其在確定情形中所起的作用一樣，此方法也適用于各種其他隨機方程.

1 預備知識

本節(jié)給出有關隨機動力系統(tǒng)的一些主要概念[13-15],并且給出隨機吸引子存在性定理.

設(Ω,F,P)是一個概率空間.{θt:Ω→Ω,t∈R}是一族保測變換并且映射(t,ω)→θtω是可測的，θ0=id,θt+s=θtθs其中s,t∈R，則θt是一個流,相應的概率空間(Ω,F,P,θt)被稱為可測的動力系統(tǒng).進一步,假設θt是遍歷變換.

定義1設(X,d)是Polish空間(包含具有可數(shù)基的局部緊的Hausdorff空間),F是σ-代數(shù)，θ是(Ω,F,P)對應的保測變換，則可測映射φ:R+×Ω×X→X,(t,ω,x)→φ(t,ω)x在X上P-a.s.滿足:

(i)φ(0,ω)=id;

(ii)φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)°φ(s,ω),?s,t∈R+(cocycle性質(zhì));

(iii)φ(t,ω):X→X連續(xù),

就稱φ是一個連續(xù)的隨機動力系統(tǒng).

定義2設(Ω,F,P)是概率空間，(X,d)是Polish空間，映射K:Ω→2X,{K(ω)}ω∈Ω是一族緊集,且對?x∈X，映射ω→d(x,K(ω))依F可測，則稱{K(ω)}ω∈Ω為隨機緊集.

定義3設(Ω,F,P)是概率空間，(X,d)是Polish空間，φ是隨機動力系統(tǒng)，A(ω)是隨機集且有界集B?X，

(b) 如果隨機集A(ω),P-a.s.滿足:

(i) A(ω)是隨機緊集,對?ω∈Ω,A(ω)是緊的,并且對?x∈X,映射x→dist(x,A(ω))可測;

(ii) A(ω)是不變集,即對t>0,φ(t,ω)A(ω)=A(θtω)；

(iii) A(ω)吸引所有的確定集合B?X,

在這一情況下,文獻[13]的定理3.11推出如下關于隨機吸引子存在性定理.

現(xiàn)在給出概率空間(Ω,F,P)的具體形式,令Ω={ω∈C(R,U)|ω(0)=0},其中U是一個Hilbert空間并滿足L2(D)?U是一個Hilbert-Schmidt嵌入.方程(1)中的Wiener過程W為W(t)=ω(t),t∈R,ω∈Ω,P為Wiener測度.因此,可以在Ω上定義一族保測遍歷變換(θt)t∈R，

θsω(t)=ω(t+s)-ω(s)， ?t,s∈R，

從而(Ω,F,P,θt)就是遍歷的可測隨機動力系統(tǒng).

2 z(t)的性質(zhì)和方程的解產(chǎn)生的動力系統(tǒng)

du=[-κu+χu-(γ1+iγ2)Au-

(β1+iβ2)|u|2u-(δ1+iδ2)|u|4u-

(λ1+iλ2)|u|6u-(ν1+iν2)|u|2u-

(μ1+iμ2)u2

u(t0)=u0,

(2)

其中,κ,χ,γi,βi,δi,λi,νi,μi∈R(i=1,2),γ1,δ1,λ1,χ>0.

首先,給出如下帶初值線性問題的解

dz=-(γ1+iγ2)Azdt+ΦdW(t),

(3)

初始條件為z(0)=0.文獻[28]的定理6.10證明了z∈C[[0,∞),V]，并且對任意的t和s有

z(t,θsω)=z(t+s,ω), P-a.s.

(4)

根據(jù)文獻[13-14]建立的方法，引進隨機過程v=u-z.已知z是平穩(wěn)過程并且其軌跡依概率P-a.e.連續(xù).由方程(2)和v的形式知,隨機過程v滿足隨機方程

(β1+iβ2)|u|2u-(δ1+iδ2)|u|4u-

(λ1+iλ2)|u|6u-(ν1+iν2)|u|2u-

(μ1+iμ2)u2z+χz,

(5)

v(t0,ω)=v0=u0-z(t0,ω).

(6)

方程(5)和(2)等價,對任一固定的隨機參數(shù)ω,(5)是Random型方程.在假設γ1,δ1,χ>0成立且Φ:H→D(A)是線性算子的情況下,通過類似于文獻[12]第4章定理5.1的證明,可以得到方程(5)和(6)解的性質(zhì)如下(在P-a.s.的意義下):

(i) 對?t0∈R,v0∈V，方程(5)和(6)存在唯一的解v∈C[[t0,T];V]∩C1([t0,T];V),?T<∞;

(ii) 對?t≥t0，映射v0=v(t0)→v(t,ω;t0,v0)從H到H是連續(xù)的;

(iii) 如果v0∈D(A),則v∈C[[t0,T];V]∩L2[[t0,T];D(A)]，?T<∞.

用v(t,ω;t0,v0)表示(5)和(6)的解,則

u(t,ω;t0,u0)=v[t,ω;t0,u0-z(t0,ω)]+z(t,ω)

為方程(2)的解.令

φ(t,ω)u0=u(t,ω;t0,u0)=

v[t,ω;t0,u0-z(t0,ω)]+z(t,ω)，

則φ是對應于方程(2)的隨機流.

3 隨機吸引子

3.1先驗估計

‖v[t,ω;u0-z(t0,ω)]‖2≤r12(ω),

t∈[t0,0], P-a.s.,

其中

g2在證明中給定.

證明令方程(5)與v在空間H上做內(nèi)積,并取實部

Re(β1+iβ2)[|u|2u,v]-

Re(δ1+iδ2)[|u|4u,v]-

Re(λ1+iλ2)[|u|6u,v]-

Re(ν1+iν2)[|u|2u,v]-

Re(μ1+iμ2)(u2

Re[-κ(z,v)+χ(z,v)].

(7)

對(7)式右邊的第2項應用H?lder不等式和Young不等式得

-Re(β1+iβ2)[|u|2u,v]=

-Re(β1+iβ2)[|v+z|2(v+z),v]≤

(8)

同樣的方法處理(7)式右邊的其他項,可得

(9)

(10)

-Reg((ν1+iν2)[|v+z|2(v+z),v]+

(μ1+iμ2)[(v+z)2

其中,ε4,ε5,ε6,ε7,C4均依賴于ν1,ν2,μ1,μ2.

對(7)式右邊最后一項,同樣有

Re[-κ(zx,v)+χ(z,v)]≤ε8(κ,χ)‖v‖2+C(κ,χ)[‖z‖2+‖z‖2].

(12)

接下來,聯(lián)立(7)～(12)式,并選取參數(shù)εi(i=1,…,8)使其滿足α=λ1-ε3>0,β=ε2-δ1,ε7=γ1/2,ε1+ε4+ε8=χ.并記μ=ε2+ε5,可得下列結果

(13)

其中

在t→∞時依P-a.s.至多以多項式形式增長[13].下文中出現(xiàn)的gi(i=2,…,9)與g1具有同樣性質(zhì).

注意下面的式子:

其中g2(t)=2g1(t)+2Q2.

由Gronwall引理有

‖v(t)‖2≤2[‖u(t0)‖2+

‖z(t0)‖2]exp(-4χ(t-t0))+

最后，令

則引理得證.

引理2假設γ1>0,δ1>0,χ>0,Φ:H→D(A)是線性的.對t≤t0,其中t0由引理1給定,如下不等式成立:

ε11‖Δv‖2+ε12‖

(15)

其中

g4(t)=g3(t)+C4(β1,β2,δ1,δ2,λ1,λ2)×

其中g3(t)將在證明中給出.

證明令方程(5)與|v|6v在H中作內(nèi)積

[?tv,|v|6v]=-κ[v,|v|6v]+

χ[v,|v|6v]-(γ1+iγ2)[Av,|v|6v]-

(β1+iβ2)[|u|2u,|v|6v]-

(δ1+iδ2)[|u|4u,|v|6v]-

(λ1+iλ2)[|u|6u,|v|6v]-

(ν1+iν2)[|u|2u,|v|6v]-

(μ1+iμ2)[u2

[-κz+χz,|v|6v].

(16)

(16)式左端取實部為

(16)式右端第1項取實部得

(16)式右端第2項取實部得

下面處理(16)式右端第3項

同時，應用如下等式

|(|v|2)|2+

將(16)右端第3項化為

-(γ1+iγ2)[Av,|v|6v]=

對(16)式右端第4,5,6項應用H?lder不等式和Young不等式可得

-Reg((δ1+iδ2)[|v+z|4(v+z),|v|6v]+

(λ1+iλ2)[|v+z|6(v+z),|v|6v]+

(β1+iβ2)[|v+z|2(v+z),|v|6v]g)≤

C4(β1,β2,δ1,δ2,λ1,λ2)×

C(‖v‖)‖

[-κz+χz,|v|6v]≤

-(ν1+iν2)[|u|2u,|v|6v]-

(μ1+iμ2)[u2

(-κz+χz,|v|6v)≤

ε11‖Δv‖2+ε12‖

ε11‖Δv‖2+ε12‖

(17)

‖

其中

證明方程(5)與Δv做內(nèi)積,并關于x在[0,1]上積分,可得

(?tv,Δv)=-κ(v,Δv)+χ(v,Δv)-

(γ1+iγ2)(Av,Δv)-(β1+iβ2)[|u|2u,Δv]-

(δ1+iδ2)[|u|4u,Δv]-

(λ1+iλ2)[|u|6u,Δv]-

(ν1+iν2)[|u|2u,Δv]-

(μ1+iμ2)[u2

(-κz+χz,Δv).

(18)

(18)式左端取實部得

(18)式右端第1,2,3項分別為：

-(γ1+iγ2)(Av,Δv)=γ1‖Δv‖2,

(18)式右端第4,5項應用H?lder不等式和Young不等式可得

-(β1+iβ2)[|u|2u,Δv]-

(δ1+iδ2)[|u|4u,Δv]≤

對(18)式右端第6項,為了與引理2的結果相一致,將其要分為兩部分處理

-(λ1+iλ2)(|u|6u,Δv)≤

對不等式右端第1項應用引理2中使用過的等式

|(|v|2)|2+

則有

3v(|v|2)dx=

6iλ2((|v|2)+

λ1|

對不等式右端第2項應用H?lder不等式和Young不等式得

由此得到了(18)式右端第6項的估計:

-(λ1+iλ2)(|u|6u,Δv)≤

6iλ2((|v|2)+

λ1|

接下來用H?lder不等式和Young不等式來處理(18)式右端最后3項

Reg(-(ν1+iν2)[|u|2u,Δv]-(μ1+iμ2)[u2(-κz+χz,Δv)g)≤

其中

g5(t)=c(ζ6,ζ7,ζ8,ν1,ν2,μ1,μ2,κ,χ)+

C(ζ8,κ,χ)[‖z(t)

C(ζ6,ζ7,ζ8,ν1,ν2,μ1,μ2,κ,χ)×

綜合以上步驟可得(18)式:

-χ‖

ε13‖

6iλ2((|v|2)+

λ1|

(19)

其中

合并(17)和(19)式,可以得到如下形式的不等式:

-χ‖

(ε12δ2+ε13)‖

6i(λ2+γ2δ2)((|v|2)+

(λ1+γ1δ2)|

其中g7(t)=g4(t)+g6(t),δ是可以任意選擇的正常數(shù).上面不等式的積分是一個二次型,適當選取δ的值,使得矩陣

‖v‖2=(-Δv,v)≤

c‖Δv‖‖v‖≤r1(ω)‖Δv‖?

-χ‖

選擇適當?shù)摩?1、ε12、ε13、ε14、δ使得以下不等式成立

(ε11δ2+ε14)‖Δv‖2+

(ε12δ2+ε13)‖

從而得到了所需要的不等式

(20)

其中g8(t)=g7(t)+C.由Gronwall引理,對于t0≤s≤t有

‖

當t=-1,s=t0時有

‖

exp(-γ1(-1-t0))+

exp(-γ1(-1-τ))dτ,

由于當t→-∞,g8(t)≥0至多以多項式形式增長,從而r2(ω)是P-a.s.有限的.

3.3H2中的吸收集

證明方程(5)與Δ2v在H上作內(nèi)積并取實部得

-Re(β1+iβ2)[‖u‖2u,Δ2v]-

Re(δ1+iδ2)[‖u‖4u,Δ2v]-

Re(λ1+iλ2)[‖u‖6u,Δ2v]-

Re(ν1+iν2)[‖u‖2u,Δ2v]-

Re(μ1+iμ2)[u2

(-κz+χz,Δ2v).

(21)

根據(jù)

[|u|6u,Δ2v]=[|u|6u,Δ2u]-[|u|6u,Δ2z],

以及H?lder不等式和Young不等式有

-Re(β1+iβ2)[|u|2u,Δ2u]=

η1(β1,β2)[‖Δu‖2+‖

-Re(δ1+iδ2)[|u|4u,Δ2u]=

2|u|2u(

η2(δ1,δ2)(‖Δu‖2+‖

-Re(λ1+iλ2)[|u|6u,Δ2u]=

η3(λ1,λ2)(‖Δu‖2+‖

(21)式右端最后3項的估計分別為

-Re(ν1+iν2)[|u|2u,Δ2v]-

Re(μ1+iμ2)[u2

η4(ν1,ν2,μ1,μ2)×

(-κz+χz,Δ2v)≤η5(κ,χ)‖Δv‖2+

C(κ,χ)(‖Δz‖2+‖z‖2).

綜上可得

η6‖Δv‖2+C(η1,η2,η3,η4)×

其中

g9(t)=C(η1,η2,η3,η4)×

C(κ,χ)(|Δz|2+|z|2).

選擇適當參數(shù)，使得上式滿足

χ‖Δv‖2+g9(t)+C(η1,η2,η3,η4)×

由Gronwall引理，對t0≤s≤t有

‖Δv(t)‖2≤‖Δv(s)‖2exp(-2χ(t-s))+

令t=-1,s=t0得

‖Δv(-1)‖2≤‖Δv(t0)‖2exp(2χ(1+t0))+

對上式中‖Δv‖2的有界性進行討論:(18)式關于變量t在[-1,0]上取積分可得

在第2節(jié)中已經(jīng)知道隨機廣義Ginzburg-Landau方程產(chǎn)生隨機動力系統(tǒng)S,由引理3和引理4知該隨機動力系統(tǒng)存在緊吸收集,應用定理1即得到本文的主要結論.

定理2假設γ1>0,δ1>0,χ>0,Φ:H→D(A)是線性的,并且矩陣M是非負定的,則由隨機Ginzburg-Landau方程(2)產(chǎn)生的隨機動力系統(tǒng)在空間V中存在整體隨機吸引子A(ω).

[1] Brand H R, Deissler R J. Interaction of localized solutions for subcritical bifurcations[J]. Phys Rev Lett,1989,63:2801-2804.

[2] 郭柏靈,高洪俊. 廣義Ginzburg-Landau方程的有限維行為[J]. 自然科學進展,1994,4(4):423-434.

[3] Duan J, Holme P, Titi E S. Global existence theory for a generalized Ginzburg-Landau equation[J]. Nonlinearity,1992,5:1303-1314.

[4] Guo B, Wang X. Finite dimensional behavior for the derivative Ginzburg-Landau equation in two spatial dimensions[J]. Physica,1995,D89(1):83-99.

[5] Guo B, Wang G L, Li D L. The attractor of the stochastic generalized Ginzburg-Landau equation[J]. Sci China:Math,2008,A51:955-964.

[6] Li D L, Guo B. Asymptotic behavior of the 2D generalized stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise[J]. Appl Math Mech,2009,30(8):883-894.

[7] Li D L, Dai Z D, Liu X H. Long time behaviour for generalized complex Ginzburg-Landau equation[J]. J Math Anal Appl,2007,330:934-948.

[8] Wang G L, Guo B L, Li Y R. The asymptotic behavior of the stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise[J]. Appl Math Comput,2008,198:849-857.

[9] 王蕊,李揚榮. 帶有可乘白噪音的廣義Ginzburg-Landau方程的隨機吸引子[J]. 西南大學學報:自然科學版,2012,34(2):92-95.

[10] 付穎,李揚榮. 無界域上帶有可加白噪音的Ginzburg-Landau方程的隨機吸引子[J]. 西南大學學報:自然科學版,2012,37(12):37-42.

[11] Zhao C D, Zhou S F. Limit behavior of global attractors for the complex Ginzburg-Landau equation on infinite lattices[J]. Appl Math Lett,2008,21:628-635.

[12] Temam R. Infinite-Dimensional Systems in Mechanics and Physics[M]. New York:Springer-Verlag,1988.

[13] Crauel H, Flaudoli F. Attractors for random dynamical systems[J]. Probability Theory and Related Fields,1994,100:365-393.

[14] Crauel H, Debussche A, Franco F. Random attractors[J]. J Dyn Diff Eqns,1997,9(2):307-341.

[15] Arnold L. Random Dynamical Systems[M]. Berlin:Springer-Verlag,1998.

[16] Debussche A. Hausdorff dimension of random invariant set[J]. J Math Pure Appl,1998,77:967-988.

[17] Liu D. Convergence of spectral method for stochastic Ginzburg-Landau equation by space-time white noise[J]. Commun Math Sci,2003,1(2):361-375.

[18] Zhang Q. Random attractors for a Ginzburg-Landau equaton with additive noise[J]. Chaos Soliton & Fract,2009,39:463-472.

[19] 杜先云,陳煒. 具有可加噪聲的耗散KdV型方程的隨機吸引子[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2012,35(5):651-655.

[20] Zhao C D, Zhou S F. Random attractor for stochastic reaction-diffusion equation with multiplicative noise on unbounded domains[J]. J Math Anal Appl,2011,384:160-172.

[21] P W Bates, Lu K N, Wang B X. Random attractors for stochastic reaction-diffusion equations on unbounded domains[J]. J Diff Eqns,2009,246:845-869.

[22] Sun C Y, Zhong C K. Attractors for the semilinear reaction-diffusion equation with distribution derivatives in unbounded domains[J]. Nonlinear Anal,2005,63(1):49-65.

[23] Wang X H, Li S Y, Xu D Y. Random attrcators for second-order stochastic lattic dynamical systems[J]. Nonlinear Anal,2010,72(1):483-393.

[24] Huang J H. The random attractor of stochastic FitzHugh-Nagumo equations in an infinite lattice with white noises[J]. Physica D:Nonlinear Phenomena,2007,233(2):83-94.

[25] 陳光淦. 一類帶動力邊值的隨機拋物型偏微分方程的不變?nèi)~理[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2012,35(1):137-142.

[26] Chen G, Duan J, Zhang J. Geometric shape of invariant manifolds for a class of stochastic partial differential equations[J]. J Math Phys,2011,52(7):07270201-07270214.

[27] Crauel H. Global random attractors are uniquely determined by attracting deterministic compact set[J]. Ann Math Pure Appl,1999,176:57-72.

[28] Da Prato G, Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1992.