劉春梅

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425199）

以問題驅(qū)動(dòng)化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)

劉春梅

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425199）

問題驅(qū)動(dòng)原理是大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)所應(yīng)遵循的重要教學(xué)原則之一。文章首先結(jié)合化生類專業(yè)特點(diǎn)，指出了以問題驅(qū)動(dòng)化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的意義；其次闡述了實(shí)施問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)過程的六個(gè)階段；最后給出了一個(gè)關(guān)于一元函數(shù)的極值與最值的教學(xué)實(shí)施案例。

問題驅(qū)動(dòng)；高等數(shù)學(xué)；化生類專業(yè)；數(shù)學(xué)教學(xué)

引 言

數(shù)學(xué)作為一門技術(shù)學(xué)科，它為化學(xué)和生物學(xué)提供了描述現(xiàn)象與規(guī)律的語(yǔ)言與工具；反過來，化學(xué)和生物現(xiàn)象和規(guī)律也能夠在很多方面為數(shù)學(xué)知識(shí)理論體系的建立、健全提供原形和實(shí)踐支持。高等數(shù)學(xué)課程作為化生類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，能夠起到培養(yǎng)大學(xué)生計(jì)算能力、推理能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決和研究實(shí)際問題能力的作用。因此，在化生類專業(yè)的本科教學(xué)中，如何根據(jù)化學(xué)學(xué)科和生物學(xué)科的特點(diǎn)，采取適當(dāng)方法進(jìn)行高等數(shù)學(xué)適對(duì)性教學(xué)，就成為了化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)任課教師一直關(guān)注的問題。

1 以問題驅(qū)動(dòng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)理論和結(jié)合化生類專業(yè)教學(xué)的意義

1994年張奠宙等人在文[1]中指出了當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)教育上的眾多誤區(qū)，并分析了成因，提出了要以問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的新概念觀點(diǎn)——把數(shù)學(xué)教學(xué)用一系列的問題組織起來，在問題驅(qū)動(dòng)下呈現(xiàn)數(shù)學(xué)。所謂問題驅(qū)動(dòng)，意味著必須正面地向?qū)W生明確提出與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題，讓學(xué)生在思考、解決問題過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容．所提出的問題通?？梢赃M(jìn)行分解成一系列小問題，同時(shí)，學(xué)生在思考問題、解決問題過程中，又會(huì)有不斷的新問題出現(xiàn)，從而教師又會(huì)引導(dǎo)學(xué)生投入到新問題的思考和解決上去。這樣把教學(xué)轉(zhuǎn)化由“問題—思考—解決—新問題—再思考—再解決”這樣一個(gè)循環(huán)的過程，直至把所有問題全部解決。因此，一個(gè)又一個(gè)的問題是推動(dòng)教學(xué)進(jìn)程，發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，發(fā)展思維，進(jìn)行積極創(chuàng)新的動(dòng)力源泉。

根據(jù)化生類專業(yè)的特點(diǎn)，結(jié)合專業(yè)問題進(jìn)行問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)高素質(zhì)化生類人才具有十分重要的意義。

1.1 有利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性

由問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，就可以改變傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式“定義—定理—例題—習(xí)題”，避免按照書本進(jìn)行平鋪直敘和依樣畫葫蘆那樣的進(jìn)行計(jì)算。能夠把平鋪直敘的教材內(nèi)容這般“冰冷的美麗”的數(shù)學(xué)，還原為對(duì)數(shù)學(xué)“火熱的思考”[2]。這樣就激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，挖掘了學(xué)生學(xué)習(xí)潛力，讓學(xué)生投入更多的精力到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中去。

1.2 有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

創(chuàng)新來自于提出問題和解決問題。由問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，同時(shí)也給學(xué)生留出了更多的思考空間，使學(xué)生在自覺、主動(dòng)、深層次的參與過程中培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)。

1.3 有利于充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法

問題驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生要將一個(gè)又一個(gè)的實(shí)際問題或現(xiàn)象進(jìn)行抽象化，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、概念和符號(hào)將其描述為數(shù)學(xué)問題；接著，運(yùn)用歸納、猜測(cè)、聯(lián)想、分類、類比等方法來分析數(shù)學(xué)問題；通過學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)理論，進(jìn)行演繹、推理、證明、求解來解決問題，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、結(jié)果；最后還要將這些結(jié)論、結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，作用于實(shí)踐或其他相關(guān)問題。因此，問題驅(qū)動(dòng)的整個(gè)過程，充分展示了學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)所用到的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)生能夠在此過程中抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

1.4 有利于對(duì)于化生類專業(yè)后繼課程的學(xué)習(xí)

高等數(shù)學(xué)課程是學(xué)生學(xué)習(xí)化生類專業(yè)后繼課程的基礎(chǔ)，在以問題為驅(qū)動(dòng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)下，可以使學(xué)生接受良好的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，能夠迅速進(jìn)入后繼課程的學(xué)習(xí)，能將問題驅(qū)動(dòng)模式的學(xué)習(xí)方法帶入到這些課程的學(xué)習(xí)中去。同時(shí)，又能與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去解決化生類專業(yè)問題。

1.5 有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)研究訓(xùn)練

任何一門學(xué)科的發(fā)展都離不開問題，也只有在提出問題和解決問題兩者相互促進(jìn)中不斷的前進(jìn)。由問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)使學(xué)生能主動(dòng)掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)思維和方法的同時(shí)，也鍛煉學(xué)生如何能不畏艱辛、百折不撓的科學(xué)意志品質(zhì)，提高了勤于思考、善于思考，善于動(dòng)手解決問題的能力，具備了良好的科學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到科學(xué)研究訓(xùn)練的目的。

2 問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)在化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的實(shí)施過程

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)在實(shí)施過程中可以大致分為五個(gè)階段，即啟動(dòng)教學(xué)、推進(jìn)教學(xué)、實(shí)施教學(xué)、檢驗(yàn)教學(xué)、完善教學(xué)階段。當(dāng)然，這不僅是每堂課可以這樣劃分，每個(gè)章節(jié)，每個(gè)小問題都可以這樣來進(jìn)行劃分。

2.1 設(shè)定情境，引出問題，激發(fā)學(xué)生興趣，啟動(dòng)教學(xué)

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P．R．Halmos)認(rèn)為：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。好的問題能夠激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的欲望和興趣，其問題的妥善解決也能使學(xué)生從中掌握數(shù)學(xué)技巧，學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)思想和方法，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的高度認(rèn)同。因此，課堂上，一個(gè)好的問題的提出在一定程度上決定了這堂課教學(xué)質(zhì)量。在課堂教學(xué)開始后，教師首先就應(yīng)當(dāng)根據(jù)化生類專業(yè)特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情境，提出學(xué)生感興趣的問題來。

2.2 歸納、抽象建立數(shù)學(xué)模型，推進(jìn)教學(xué)

問題提出來以后，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，在相關(guān)的專業(yè)知識(shí)下對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，使之完全轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。我們可以使用數(shù)學(xué)的概念、定理和符號(hào)，將問題進(jìn)行歸納、抽象，采用函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)表達(dá)式對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化，并確定模型的目標(biāo)。這種對(duì)問題的提煉，其實(shí)質(zhì)就是透過現(xiàn)象，抓住本質(zhì)，找準(zhǔn)解決問題的切入口。

2.3 分析思考問題，講授與課程內(nèi)容相關(guān)數(shù)學(xué)理論，實(shí)施教學(xué)

分析數(shù)學(xué)模型，如果發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)，無法解決模型問題，那么學(xué)習(xí)新的相關(guān)數(shù)學(xué)理論就理所當(dāng)然的了。對(duì)于需用到的已知理論部分，教師引導(dǎo)學(xué)生共同復(fù)習(xí)，而對(duì)于未知的，則引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，并由教師講授必要的數(shù)學(xué)理論。通常，這些數(shù)學(xué)理論應(yīng)當(dāng)能直接作用于解決模型上。通過這一過程，能使學(xué)生帶著解決問題的目的進(jìn)行有效學(xué)習(xí)，大大地激發(fā)了他們的求知欲，并且發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性。當(dāng)然，這一階段，教師的講授可以采取教師講授和學(xué)生自我學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式，達(dá)到教學(xué)目的，使學(xué)生儲(chǔ)備了解決問題的數(shù)學(xué)理論知識(shí)。

2.4 運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決模型，

在前面的階段，教師的傳授和學(xué)生的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備了解決問題的必要理論和條件，做到了“萬(wàn)事俱備，只欠東風(fēng)”。在解決問題階段，教師就理應(yīng)放開雙手，讓學(xué)生自己去摸索、運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行判斷、求解，教師則在一旁對(duì)于出現(xiàn)的謬誤和混淆之處稍加點(diǎn)撥。通過這一過程，學(xué)生就能夠自覺的去認(rèn)知體會(huì)解決問題過程中最為本原的一面，為今后的問題解決積累經(jīng)驗(yàn)。

2.5 應(yīng)用所學(xué)解決其他問題，檢驗(yàn)教學(xué)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最主要的目的是為了要去用好數(shù)學(xué)。為此，在課程教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生解決某個(gè)問題后，不能認(rèn)為教學(xué)就結(jié)束了，而應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生能做到觸類旁通，舉一反三，解決其他的類似的問題，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與運(yùn)用的融會(huì)貫通。例如，教師可以嘗試給出一些相類似的問題，讓學(xué)生課堂內(nèi)或課后進(jìn)行解決，以起到檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，鞏固知識(shí)的作用，也能讓學(xué)生在自主解決問題中培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

2.6 進(jìn)行教學(xué)總結(jié)和反思，完善教學(xué)

解決問題并不是課程教學(xué)的唯一目標(biāo)，教師還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分析、解決問題中所遇到各種艱難險(xiǎn)阻進(jìn)行總結(jié)和反思，做的好的地方在哪，不好的地方在哪，如果再做一次的話，我會(huì)怎樣去做。通過這樣的總結(jié)和反思過程，使學(xué)生能準(zhǔn)確找準(zhǔn)自己的定位，為下一次解決問題提供經(jīng)驗(yàn)支持。善于總結(jié)、分析，特別是對(duì)失敗的反思，才是鍛煉學(xué)生思維，最終能夠解決問題重要途徑。

3 問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)在化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的一個(gè)教學(xué)案例

為了更好的說明整個(gè)過程，我們選定以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值這一內(nèi)容為例，來闡述問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的實(shí)施過程。

3.1 啟動(dòng)教學(xué)階段

教師在課堂中的導(dǎo)言中可以敘述如下事實(shí)，萃取是化生類專業(yè)實(shí)驗(yàn)的一項(xiàng)非?；A(chǔ)的操作，它是指利用物質(zhì)在兩種互不相溶（或微溶）的溶劑中溶解度或分配系數(shù)的不同，使物質(zhì)從一種溶劑內(nèi)轉(zhuǎn)移到另外一種溶劑中。實(shí)際上，要把所需要的化合物從溶液中完全萃取出來，通常萃取一次是不夠的，必須重復(fù)萃取數(shù)次。那么，接下來問題就出現(xiàn)了——在萃取操作中，當(dāng)萃取劑劑量一定時(shí)，如何進(jìn)行操作，使得萃取效果最好？[3]

這個(gè)問題形式簡(jiǎn)單，但由于萃取在化生類專業(yè)實(shí)驗(yàn)操作中具有的重要地位，因此，該問題能緊密的與化生類專業(yè)相聯(lián)系，且該問題的解決具有很強(qiáng)的實(shí)用性。為了使問題更加明確，教師進(jìn)而可以簡(jiǎn)化問題為：當(dāng)萃取劑劑量一定時(shí)，分別進(jìn)行兩次操作，如何分配萃取劑量使得萃取效果最好？

3.2 推進(jìn)教學(xué)階段

在這個(gè)階段主要就是將萃取問題進(jìn)行符號(hào)化，用數(shù)學(xué)表達(dá)式給出，明確問題的數(shù)學(xué)目標(biāo)是什么。引導(dǎo)學(xué)生做出合理假設(shè)，根據(jù)分配定律，找出萃取前、后有關(guān)化合物的數(shù)量關(guān)系，然后計(jì)算出萃取后化合物的剩余量。

設(shè)共有萃取劑 b毫升，第一次用量為b1，第二次用量為b2，設(shè)a為萃取的溶液體積，x0是被萃取物的初始濃度，x為第一次萃取后的萃液濃度，則=。

根據(jù)分配定律，知溶質(zhì)A在有機(jī)相和水相中的分配的平衡嘗試之比為分配系數(shù)，即

因此，經(jīng)過上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生得到了這樣一個(gè)二次萃取后的萃液濃度的函數(shù)。由問題際意義，萃取效果取好，就意味著萃余液濃度最小，即討論函數(shù)y在b1取何值時(shí)取最小值。通過這樣一個(gè)抽象過程，將問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)最小值問題。

3.3 實(shí)施階段

為能夠解決轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題，這就要求了必須進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)理論的傳授。此時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已經(jīng)被調(diào)動(dòng)起來，因此，教師要做的工作主要是講授和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)極值、最值 的相關(guān)理論，明確極值、最值的概念，極值的必要條件和極值的兩個(gè)充分條件和最值的存在性和求解過程。經(jīng)過這個(gè)階段后，學(xué)生做好了有關(guān)求一元函數(shù)的最值問題的相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備。

3.4 解決階段

在解決問題這一階段，相對(duì)來說就比較簡(jiǎn)單。學(xué)生只需應(yīng)用剛剛學(xué)會(huì)的利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算一元函數(shù)最值的理論求解即可，其過程如下。

這表明分兩次操作，萃取劑等分情況下，萃取效果最好。

3.5 檢驗(yàn)階段

在教學(xué)過程中，教師需要清楚明確地知道學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)，學(xué)生也希望能夠?qū)ψ约盒聦W(xué)的方法和理論進(jìn)行實(shí)踐。此時(shí)，教師可以提出一些新的問題，供學(xué)生進(jìn)行深入研究，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果。如，教師可以將先前所提的問題進(jìn)行推廣，得到問題：假設(shè)萃取分三次，如何用量萃取效果？如果分為n次呢？進(jìn)而還可以提出問題，分n次和分n+1次，哪種情況會(huì)萃取效果更好？這樣不但為學(xué)生提供了思考的空間，同時(shí)也更加加深了學(xué)生對(duì)優(yōu)化萃取問題的理解。

3.6 總結(jié)階段

總結(jié)和反思是問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)中必不可少的，只有進(jìn)行了總結(jié)和反思，才能使學(xué)生在今后學(xué)習(xí)中進(jìn)行自我探究過程中少走彎路，進(jìn)而積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)解決問題的直覺，也能使學(xué)生充分意識(shí)到數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的實(shí)用性，領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，更能讓學(xué)生主動(dòng)投身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

有一點(diǎn)還需說明的是，問題在整個(gè)過程中是不斷產(chǎn)生的，并不單單只有求解萃取優(yōu)問題一個(gè)的。事實(shí)上，在講極值的必要條件時(shí)，會(huì)產(chǎn)生為什么函數(shù)在一階可導(dǎo)且取到極值時(shí)，則該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)必須為0這一問題。極值點(diǎn)一階導(dǎo)在圖像上具有何種形態(tài)等等一系列問題。由于篇幅所限，我們只從主體結(jié)構(gòu)出發(fā)，就不再深入到每個(gè)細(xì)節(jié)上去討論了。

4 結(jié)束語(yǔ)

以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是實(shí)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原理之一，能夠在教學(xué)中體現(xiàn)創(chuàng)新精神和發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。結(jié)合化生類專業(yè)特點(diǎn)，以專業(yè)實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)高等數(shù)學(xué)課程適對(duì)性教學(xué)，不但能使化生類專業(yè)大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)得到大幅提升，同時(shí)也為他們的化學(xué)科研素質(zhì)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)起到積極推進(jìn)作用。

[1]張奠宙,張蔭南.新概念:用問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7(3):8-10.

[2]張奠宙,柴俊.關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些基本原理[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(3):37-38,41.

[3]上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,中山大學(xué)數(shù)學(xué)系力學(xué)系,上海師范學(xué)院數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(化、生、地類專業(yè)）[M].北京:高等教育出版社,1978.

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1673-2219（2014）05-0019-03

2014－01－09

湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（湘教通[2011]315號(hào)）；湖南科技學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目（湘科院教字[2013]6號(hào)）。

劉春梅（1981－），女，山西五臺(tái)人，湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，講師，博士，研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解和數(shù)學(xué)教學(xué)。

(責(zé)任編校：何俊華)