阿力木·米吉提

(新疆廣播電視大學(xué)，新疆烏魯木齊830049)

0 引言

E.Glenbe于1989年首次提出了帶有負(fù)顧客(負(fù)神經(jīng)元)的新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［1］，之后他又把負(fù)顧客引進(jìn)了排隊(duì)模型和排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)中［2-3］.E.Glenbe在研究排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，把到達(dá)系統(tǒng)的顧客分成2種:一種是正(普通)顧客，他們到達(dá)系統(tǒng)后接受系統(tǒng)提供的正常服務(wù);另一種是負(fù)顧客，負(fù)顧客是一種新型的顧客，其本身不需要系統(tǒng)提供任何服務(wù)，他們到達(dá)后，若系統(tǒng)是空閑的，則立刻從系統(tǒng)中消失;若系統(tǒng)內(nèi)有接受服務(wù)的正顧客，則立即把他帶走.負(fù)顧客概念的提出，使許多交通、機(jī)械、控制和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域中的現(xiàn)實(shí)問題找到了解決方法，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，從而對負(fù)顧客排隊(duì)進(jìn)行了一系列的研究［4-12］.文獻(xiàn)［10］將負(fù)顧客引進(jìn)非空竭服務(wù)休假且正顧客有流失的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)，利用求吸收分布以及普通M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件，研究了一類帶有負(fù)顧客且正顧客有流失的M/G/1非空竭服務(wù)休假排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件.本文運(yùn)用C0-半群理論研究此系統(tǒng)的時(shí)間依賴解，證明此系統(tǒng)正時(shí)間依賴解的存在唯一性.

1 系統(tǒng)模型及模型的轉(zhuǎn)換

文獻(xiàn)［10］把帶有負(fù)顧客的非空竭服務(wù)休假排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用以下方程組描述:

其中(t，x)∈［0，∞)×［0，∞)，p0(t)表示在時(shí)刻 t顧客已結(jié)束服務(wù)離開系統(tǒng)的概率，p1(t，x)dx表示在時(shí)刻t服務(wù)器正在為顧客服務(wù)，并服務(wù)已逝去的時(shí)間在［x，x+dx)之間的概率，p2(t，x)dx表示在時(shí)刻t服務(wù)器處于工作休假期，并休假已用去的時(shí)間在［x，x+dx)之間的概率.λ-表示負(fù)顧客到達(dá)系統(tǒng)的概率，α表示正常狀態(tài)率，μ(x)表示服務(wù)失效率，υ(x)表示休假失效率.

選取狀態(tài)空間為

顯然X是1個(gè)Banach空間.下面引進(jìn)算子及其定義域.

pi(x)(i=1，2)是絕對連續(xù)函數(shù)}，

D(U)=D(E)=X.

這里p=(p0，p1(x)，p2(x))'，則方程組(1)～(6)可以描述為Banach空間 X上的1個(gè)抽象Cauchy問題:

2 系統(tǒng)(7)非負(fù)解的存在唯一性

證分4步證明此定理.第1步估計(jì)A的豫解式.第2步驗(yàn)證D(A)在X中的稠密性.第3步證明U和E為有界線性算子，進(jìn)而推出A+U+E生成1個(gè)C0-半群T(t).最后由算子的耗散性和Philips定理得到T(t)是1個(gè)正壓縮C0-半群.

對給定的 y∈X，考慮方程(γI-A)p=y，即

解方程(8)和(9)得到

由(10)～(13)式與Fubini定理有(不妨設(shè)γ＞α+υ)

將(15)式代入(14)式得

這里

用Fubini定理推出

從而有

結(jié)合(15)式與(16)式得到

由(12)～(17)式與Fubini定理有

當(dāng)γ＞α+υ時(shí)，(18)式中用了不等式

(18)式表明，當(dāng) γ ＞α+υ時(shí)，(γI-A)-1存在且(γI-A)-1∶X→ D(A)，滿足 ‖(γI-A)-1‖≤1/(γ-α-υ).

由文獻(xiàn)［13］知L在X中稠密.于是只需證明D(A)在L中稠密即可.

任取 p=(p0，p1(x)，p2(x))∈ L，則存在常數(shù)ci＞0，使得 ?x∈［0，ci］，有 pi(x)=0(i=1，2).所以，當(dāng) x∈［0，s］時(shí)，有 pi(x)=0，其中 0＜ s＜min{c1，c2}.定義

這里

則不難驗(yàn)證 fs∈D(A).此外，當(dāng)s→0時(shí)，

這說明D(A)在L中稠密，即D(A)在X中稠密.由上面的2步與Hille-Yosida定理［14］推出A生成1個(gè)C0-半群.

第3步證明U和E是有界線性算子.?p(x)=(p0，p1(x)，p2(x))∈ X 有

以上2式說明U和E是有界算子.由定義容易驗(yàn)證它們是線性算子.結(jié)合 C0-半群的擾動(dòng)理論［14］知A+U+E生成1個(gè)C0-半群T(t).

第4步證明A+U+E是dispersive算子.

對 p(x)=(p0，p1(x)，p2(x))∈ D(A)，令

其中

如果定義Vi={x∈［0，∞)和，則有

對p∈D(A)與上述的φ(x)，由(19)式與邊界條件推出

此式說明算子A+U+E是dispersive.結(jié)合第1步、第2步、第4步和Philips定理得到A+U+E生成1個(gè)正壓縮C0-半群.再由半群的唯一性理論即知，這個(gè)正定壓縮C0-半群就是 T(t).定理1證畢.

類似于定理1的推導(dǎo)過程，易得下面結(jié)果.

推論1A+U生成1個(gè)正定壓縮C0-半群Q(t).

根據(jù)定理1和文獻(xiàn)［15］得到本文主要結(jié)果.

證由定理1與文獻(xiàn)［15］易知系統(tǒng)存在唯一的正時(shí)間依賴解p(t，x)并把它可以表示為

此式與定理1結(jié)合推出

另一方面，pi(t，x)(i=1，2)滿足(1)～(6)式，故有

因此‖p(t，·)‖=‖p(0)‖=1.定理2 證畢.

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