包新安

例1 如圖1，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，BE與CF相交于點G，設(shè) = a， = b，試用a，b表示 .

解 設(shè)λ，μ∈R.令 =λ ，則 = + = +λ =b+λ（-b+ a）= a+（1-λ）b.又令 = μ ，則 = + = +μ =a+μ（-a+ b）=（1-μ）a+ b.

由平面向量基本定理，可知 =1-μ，1-λ= ，解得λ=μ= .

所以 = a+ b.

例2 如圖2，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，BE與CF相交于點G，求證：點G在邊BC的中線AM上，且AG=2GM.

證明 令 = a， =b.由例1的結(jié)論可知 = a+ b= （a+b）.由 = （a+b），可得 = + = （a+b），即 =2 .

所以，點G在邊BC的中線AM上，且AG=2GM.

例3 在△ABO中，點C在邊OA上，點D在邊BO上，OA= 4OC，OB=2OD，AD與BC相交于點M，試確定交點M的位置.

解 設(shè) = a， = b，λ，μ∈R.

令 =λ ，則 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ ，則 = + = + μ = b+μ（-b+ a）= a+（1-μ）b.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， =1-μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，點M在AD與BC上的相對位置就確定了.

例4 在平行四邊形ABCD中，點E在邊CD上，DE=2EC，F(xiàn)為AD的中點，求AE與BF的交點I的位置.

解 設(shè)λ，μ∈R.令 = a， =b， =λ ，則 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ = μ（ + ）= μ（b+ a）= a+μb.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， = μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，點I在AE與BF上的相對位置就確定了.

小結(jié) 在平面幾何中，用向量法確定兩條線段交點的位置更具有規(guī)律性，運算量小，容易在一般問題中應(yīng)用.（責(zé)任編校/馮琪）

例1 如圖1，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，BE與CF相交于點G，設(shè) = a， = b，試用a，b表示 .

解 設(shè)λ，μ∈R.令 =λ ，則 = + = +λ =b+λ（-b+ a）= a+（1-λ）b.又令 = μ ，則 = + = +μ =a+μ（-a+ b）=（1-μ）a+ b.

由平面向量基本定理，可知 =1-μ，1-λ= ，解得λ=μ= .

所以 = a+ b.

例2 如圖2，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，BE與CF相交于點G，求證：點G在邊BC的中線AM上，且AG=2GM.

證明 令 = a， =b.由例1的結(jié)論可知 = a+ b= （a+b）.由 = （a+b），可得 = + = （a+b），即 =2 .

所以，點G在邊BC的中線AM上，且AG=2GM.

例3 在△ABO中，點C在邊OA上，點D在邊BO上，OA= 4OC，OB=2OD，AD與BC相交于點M，試確定交點M的位置.

解 設(shè) = a， = b，λ，μ∈R.

令 =λ ，則 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ ，則 = + = + μ = b+μ（-b+ a）= a+（1-μ）b.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， =1-μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，點M在AD與BC上的相對位置就確定了.

例4 在平行四邊形ABCD中，點E在邊CD上，DE=2EC，F(xiàn)為AD的中點，求AE與BF的交點I的位置.

解 設(shè)λ，μ∈R.令 = a， =b， =λ ，則 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ = μ（ + ）= μ（b+ a）= a+μb.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， = μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，點I在AE與BF上的相對位置就確定了.

小結(jié) 在平面幾何中，用向量法確定兩條線段交點的位置更具有規(guī)律性，運算量小，容易在一般問題中應(yīng)用.（責(zé)任編校/馮琪）

例1 如圖1，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，BE與CF相交于點G，設(shè) = a， = b，試用a，b表示 .

解 設(shè)λ，μ∈R.令 =λ ，則 = + = +λ =b+λ（-b+ a）= a+（1-λ）b.又令 = μ ，則 = + = +μ =a+μ（-a+ b）=（1-μ）a+ b.

由平面向量基本定理，可知 =1-μ，1-λ= ，解得λ=μ= .

所以 = a+ b.

例2 如圖2，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，BE與CF相交于點G，求證：點G在邊BC的中線AM上，且AG=2GM.

證明 令 = a， =b.由例1的結(jié)論可知 = a+ b= （a+b）.由 = （a+b），可得 = + = （a+b），即 =2 .

所以，點G在邊BC的中線AM上，且AG=2GM.

例3 在△ABO中，點C在邊OA上，點D在邊BO上，OA= 4OC，OB=2OD，AD與BC相交于點M，試確定交點M的位置.

解 設(shè) = a， = b，λ，μ∈R.

令 =λ ，則 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ ，則 = + = + μ = b+μ（-b+ a）= a+（1-μ）b.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， =1-μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，點M在AD與BC上的相對位置就確定了.

例4 在平行四邊形ABCD中，點E在邊CD上，DE=2EC，F(xiàn)為AD的中點，求AE與BF的交點I的位置.

解 設(shè)λ，μ∈R.令 = a， =b， =λ ，則 = + = +λ = a+λ（-a+ b）=（1-λ）a+ b.又令 = μ = μ（ + ）= μ（b+ a）= a+μb.

由平面向量基本定理，可知1-λ= ， = μ，解得λ= ，μ= .

所以 = ， = ，點I在AE與BF上的相對位置就確定了.

小結(jié) 在平面幾何中，用向量法確定兩條線段交點的位置更具有規(guī)律性，運算量小，容易在一般問題中應(yīng)用.（責(zé)任編校/馮琪）