專題策劃：巧解立體幾何題得滿分

編者按：平時在與高三學(xué)生通過面對面、電話、網(wǎng)絡(luò)、信件交流時得知，立體幾何解答題在高考試卷中屬于中等難度的題目，平時練習的立體幾何解答題的難度稍高于高考中的立體幾何解答題的難度，因此高考中的立體幾何解答題很容易得滿分.然而事實上，近兩年我們與高考閱卷老師交流后得知，學(xué)生在解答立體幾何解答題時丟分現(xiàn)象嚴重.其實，高考立體幾何解答題考查的知識點就是有數(shù)的幾個，掌握了它們，不想得滿分都難，關(guān)鍵在于你是否真正掌握了它們.

一、平行問題

1.直線與直線平行

策略：要證明直線a∥直線c，只要先找到直線b，證明a∥b且b∥c即可.

例1 如圖1所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH.求證：AB∥GH.

難度系數(shù) 0.60

分析 由AB∥EF，EF∥GH，可知AB∥GH.

證明 在△APQ中，D，E分別是AQ，AP的中點，則G是△APQ的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即GH∥EF.

又EF是△PAB的中位線，所以AB∥EF.

綜上可知AB∥GH.

小結(jié) 三角形的重心分中線為2∶1兩部分.三角形的中位線平行于底邊，且等于底邊的一半.

2.直線與平面平行

策略：平面α外的一條直線a，如果與平面α內(nèi)的一條直線b平行，那么a∥α.

例2 如圖2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點，AA1=AC=CB= ·AB.證明：BC1∥平面A1DC.

難度系數(shù) 0.65

分析 要證明直線與平面平行，只要證明直線與直線平行或者將其轉(zhuǎn)化為證明向量的數(shù)量積為零即可.

證明 （證法1）連接AC1交A1C于點F，連接DF.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AA1=AC，可知四邊形ACC1A1為正方形，故F為AC1的中點.在△ABC1中，由于D為AB的中點，所以DF∥BC1.

由于DF？奐平面A1DC，BC1？埭平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.

（證法2）設(shè)平面A1DC的法向量為n=（a，b，c），則有n· =0，n· =0.

由于 =（- ，0，- ）， =（ ， ，0），所以- a- c=0， a+ b=0. 于是b=c=-a.

取n=（1，-1，-1），由于 =（0，- ， ），n· =0，所以n⊥ ，從而有BC1 ∥平面A1DC.

小結(jié) 用待定系數(shù)法確定平面的一個法向量n，再證明n⊥ ，這是理科考生要掌握的方法.

3.平面與平面平行

策略：要證明平面與平面平行，我們只要先證明其中一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行即可.

例3 如圖3所示，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.

求證：平面EFG∥平面ABC.

難度系數(shù) 0.65

分析 欲證面面平行，先證線面平行，由中點找中點，用三角形中位線的性質(zhì)解答.

證明 由于AS=AB，AF⊥SB，所以點F為SB的中點.由于E，G分別是SA，SC的中點，所以EF∥AB，EG∥AC.所以EF∥平面ABC，EG∥平面ABC.

又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.

小結(jié) 將證明平面與平面平行轉(zhuǎn)化為證明直線與平面平行，將證明直線與平面平行轉(zhuǎn)化為證明直線與直線平行，這體現(xiàn)了立體幾何證明題的“降維思想”.

二、垂直問題

1.直線與直線垂直

策略：由直線與平面垂直，可知直線與該平面內(nèi)的任意直線垂直.另外，也可用向量的數(shù)量積為零來證明.

例4 如圖4所示，四棱錐P-ABCD 的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA= .證明：BD⊥PC.

難度系數(shù) 0.60

分析 要證明BD⊥PC，可先證明BD⊥平面APC或證明 · =0.

證明 （證法1）連接AC交BD于點O，連接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO=DO.由于PB=PD，所以PO⊥BD.

又PO∩AC=O，所以BD⊥平面APC，即BD⊥PC.

（證法2）連接AC交BD于點O，連接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.由于PB=PD，O為BD的中點，所以PO⊥BD.

由于 · = ·（ + ）= · + · =0，所以 ⊥ ，于是有BD⊥PC.

（證法3）連接AC交BD于點O，連接PO.以O(shè)為坐標原點，以O(shè)B所在的直線為x軸，以O(shè)C所在的直線為y軸，以O(shè)P所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系.

由題設(shè)易知△PBD和△BCD是邊長為2的等邊三角形，于是可知B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），從而有 =（-2，0，0）， =（0， ，- ）.

由于 · =-2×0+0× +0×（- ）=0，所以 ⊥ ，即BD⊥PC.

小結(jié) 如果直線與平面垂直，那么直線與該平面內(nèi)的任意直線都垂直.

2.直線與平面垂直

策略：要證明直線與平面垂直，只要先證明直線與該平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C⊥平面BB1D1D.

難度系數(shù) 0.60

分析 找出線段B1D1的中點為E1，先證明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后結(jié)論得證.

證明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

設(shè)B1D1的中點為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小結(jié) 從圖形里的“中點”，再找一個“中點”，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.求證：平面PAC⊥平面PBC.

難度系數(shù) 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC⊥平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是1995年全國高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對提高復(fù)習效率是很有益處的.

安振平，陜西省特級教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽高級教練員.先后擔任全國初等數(shù)學(xué)研究會常務(wù)理事，全國不等式研究會理事，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會常務(wù)理事.已在50多種刊物上發(fā)表文章百余篇，主編高考、中考、競賽圖書20種.閱讀他的其他文章，請點擊《高中生》·高考網(wǎng).

（責任編校/周峰）

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C⊥平面BB1D1D.

難度系數(shù) 0.60

分析 找出線段B1D1的中點為E1，先證明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后結(jié)論得證.

證明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

設(shè)B1D1的中點為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小結(jié) 從圖形里的“中點”，再找一個“中點”，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.求證：平面PAC⊥平面PBC.

難度系數(shù) 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC⊥平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是1995年全國高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對提高復(fù)習效率是很有益處的.

安振平，陜西省特級教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽高級教練員.先后擔任全國初等數(shù)學(xué)研究會常務(wù)理事，全國不等式研究會理事，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會常務(wù)理事.已在50多種刊物上發(fā)表文章百余篇，主編高考、中考、競賽圖書20種.閱讀他的其他文章，請點擊《高中生》·高考網(wǎng).

（責任編校/周峰）

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C⊥平面BB1D1D.

難度系數(shù) 0.60

分析 找出線段B1D1的中點為E1，先證明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后結(jié)論得證.

證明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

設(shè)B1D1的中點為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小結(jié) 從圖形里的“中點”，再找一個“中點”，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.求證：平面PAC⊥平面PBC.

難度系數(shù) 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC⊥平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是1995年全國高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對提高復(fù)習效率是很有益處的.

安振平，陜西省特級教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽高級教練員.先后擔任全國初等數(shù)學(xué)研究會常務(wù)理事，全國不等式研究會理事，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會常務(wù)理事.已在50多種刊物上發(fā)表文章百余篇，主編高考、中考、競賽圖書20種.閱讀他的其他文章，請點擊《高中生》·高考網(wǎng).

（責任編校/周峰）