趙 勇，劉建新，牛青坡

（中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院 河南 洛陽(yáng) 471000）

在武器研制各階段的試驗(yàn)中，幾乎所有的產(chǎn)品試驗(yàn)中都能收集到成敗型數(shù)據(jù)[1]，如引信作用可靠性試驗(yàn)中引信的啟動(dòng)成功與失敗。鑒于時(shí)間和成本的考慮，如何在一定試驗(yàn)量的情況下正確評(píng)估武器的性能是人們?cè)谖淦餍阅荑b定中急需解決的難題。為此提出了應(yīng)用Bayes評(píng)估的小子樣理論，Bayes小子樣試驗(yàn)鑒定方法[2]。Bayes顯著特點(diǎn)是運(yùn)用了多種驗(yàn)前信息，特別是大量的仿真信息[3]。由于大量的驗(yàn)前信息的應(yīng)用，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息就有被驗(yàn)前信息“淹沒”的危險(xiǎn)，從而削弱了現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息在武器系統(tǒng)評(píng)估中的地位，造成鑒定結(jié)果主要由驗(yàn)前信息決定的現(xiàn)象。因此，在應(yīng)用Bayes方法評(píng)估武器性能時(shí)，即使驗(yàn)前信息和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息通過了相容性檢驗(yàn)，也不免讓人們對(duì)Bayes方法心生疑慮[4]。在成敗型試驗(yàn)中，如果驗(yàn)前信息本身就是主觀設(shè)定或者可信度不高，而在運(yùn)用Bayes方法時(shí)又是將驗(yàn)前信息和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息簡(jiǎn)單的混合使用，就必然會(huì)引起人們上述的擔(dān)心。所以科學(xué)的使用驗(yàn)前信息和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息就成為消除人們疑慮的關(guān)鍵。

1 可信度的概念

這里，我們利用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法，在一致性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，給出嚴(yán)格的驗(yàn)前信息可信度的概念。

記X=(X1, …Xn1)為仿真信息或歷史信息；Y=(Y1, …Yn2)為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息。為了檢驗(yàn)這兩種信息是否一致或是否屬于同一總體，引入競(jìng)擇假設(shè)：

H0：X和Y屬于同一總體；

H1：X和Y不屬于同一總體。

若已知：當(dāng)H0為真而拒絕H0的概率為α，即棄真的概率為α；而當(dāng)H0為真而采納H0的概率為1- α。

為了引入驗(yàn)前子樣（仿真子樣）的可信度，記

A:采納H0的事件；

根據(jù)上述內(nèi)容可得：

定義：當(dāng)采納了H0之下，H0成立的概率，即X和Y屬于同一總體的概率，稱為驗(yàn)前子樣X的可信度。即可信度為P(H0|A) 。

2 可信度的計(jì)算

依據(jù)上述定義，利用Bayes公式可得

式中：

P(A|H1) =β為采偽概率，即當(dāng)H1為真而采納了H0的概率。這樣驗(yàn)前信息的可信度可表示為：

在應(yīng)用中，X為驗(yàn)前子樣，如仿真所獲得的子樣；Y為現(xiàn)場(chǎng)（真實(shí)）試驗(yàn)所表示的子樣。因此所謂X的可信度就是以Y作為比較標(biāo)準(zhǔn)，X和Y吻合的程度。

由可信度的表達(dá)式，計(jì)算中必須給出P(H0)、α和β。其中P(H0)是驗(yàn)前概率，α是棄真概率，β是采偽概率。上述參數(shù)必須在試驗(yàn)之前計(jì)算出來，如果在試驗(yàn)之前沒有任何信息可以利用，則可以取P(H0)=0.5。當(dāng)然，這只是一種設(shè)想，必須十分慎重，例如X是仿真子樣，則經(jīng)過仿真中的V.V&A處置，不能認(rèn)為P(H0)=0.5，至少有 P(H0)＞0.5。

如果取 P(H0)=0.5，此時(shí)上式簡(jiǎn)化為

2.1 P(H0)的計(jì)算

驗(yàn)前概率P(H0)指的是獲得現(xiàn)場(chǎng)信息之前，事件H0成立的概率，它的大小反映的實(shí)際上是獲取驗(yàn)前信息的方法或過程的可信度[5]。這種可信度受驗(yàn)前信息獲取時(shí)的試驗(yàn)方法、試驗(yàn)條件、試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法以及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等多種因素的影響。下面通過引入信息似然比來確定P(H0)，假設(shè)由信息I1，可得到一個(gè)概率向量:

0111

由于H0和H1是對(duì)立假設(shè)，所以p1(H0)和p1(H1)滿足下列關(guān)系：

信息似然比與概率之間的相互確定關(guān)系為：

給出信息I1后，再給出信息I2的條件似然比用l01(I2/I1)表示：

于是可以給出：

對(duì)于n種相互獨(dú)立的信息，可以導(dǎo)出：

從一般意義上來說，由于各種信息來自于與之相對(duì)應(yīng)的不同方面，所以在大多數(shù)情況下，不同來源的信息是相互獨(dú)立的。所以有n種信息的情況下，信息似然比與概率之間的相互確定關(guān)系為：

需要說明的是如果在實(shí)驗(yàn)之前沒有驗(yàn)前信息可以利用，則可以取P(H0)=0.5，當(dāng)然這只是一種設(shè)想，必須十分慎重。例如，如果Z0是仿真子樣，則經(jīng)過仿真中的V.V＆A處置，不能認(rèn)為P(H0)=0.5，至少應(yīng)有P(H0)＞ 0.5。

2.2 α和β的確定

由于α和β分別代表了生產(chǎn)方的風(fēng)險(xiǎn)（棄真）和使用方的風(fēng)險(xiǎn)（存?zhèn)危?，所以在進(jìn)行檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)從工程實(shí)際情況來確定α和β。需要指出的是，要一般給出β的解析式是很困難的。對(duì)于有驗(yàn)前信息可以利用的情況，可以利用上節(jié)2.1的方法來計(jì)算P(H0)。采用“風(fēng)險(xiǎn)上平等對(duì)待的原則”來計(jì)算α和β（工程上一般取1%—5%）。此時(shí)驗(yàn)前子樣的可信度為：

3 可信度在Bayes評(píng)估中的應(yīng)用

在裝備試驗(yàn)中，常常會(huì)遇到成敗型試驗(yàn)產(chǎn)品，這種成敗型產(chǎn)品待檢參數(shù)服從二項(xiàng)分布。例如引信啟動(dòng)的可靠度、導(dǎo)彈的命中概率[6]、雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別率等，本文以某型號(hào)導(dǎo)彈的飛行打靶試驗(yàn)為例進(jìn)行討論。設(shè)導(dǎo)彈命中率θ的先驗(yàn)分布為Beta分布，即

式中，α0,β0為分布參數(shù)，可由驗(yàn)前信息計(jì)算。若在打靶試驗(yàn)之前獲得驗(yàn)前信息（仿真）經(jīng)折合得到數(shù)據(jù)Z0=(m1,n1)，其中m1是經(jīng)折合后打靶試驗(yàn)命中次數(shù)，n1是經(jīng)折合后打靶試驗(yàn)次數(shù)。則

當(dāng)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)打靶試驗(yàn)得到數(shù)據(jù)Z1=(m2,n2)后，θ的后驗(yàn)分布仍為貝塔分布。其中m2是現(xiàn)場(chǎng)打靶試驗(yàn)命中次數(shù)，n2是現(xiàn)場(chǎng)打靶試驗(yàn)次數(shù)。θ的后驗(yàn)分布為：

式中分布參數(shù)α, β為

從而導(dǎo)彈命中率θ的Bayes估計(jì)為

對(duì)于導(dǎo)彈命中概率的檢驗(yàn)，構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

λ 為檢出比（0 ＜ λ ＜ 1 ）。

運(yùn)用Bayes檢驗(yàn),如果決策不等式

則采納H0；如果決策不等式

則采納H1。其中d為鑒別比，且滿足

P(H0)=P(H0|Z1)P(H0|A)為原假設(shè)H0的驗(yàn)前概率，由驗(yàn)前信息確定，且

P(H1)為備擇假設(shè)H1的驗(yàn)前概率。由于H0和H1是對(duì)立假設(shè)，所以

在上述Bayes估計(jì)中，如果不顧驗(yàn)前信息可信度的大小，直接將驗(yàn)前信息簡(jiǎn)單的用于Bayes統(tǒng)計(jì)推斷中，在驗(yàn)前信息量（仿真信息）巨大的情況下，必將造成“淹沒”現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象，此時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)在幾乎起不到任何作用。

同樣在上述的Bayes假設(shè)檢驗(yàn)中，如果不顧驗(yàn)前信息可信度的大小，此時(shí)，如果驗(yàn)前樣本巨大（遠(yuǎn)超出現(xiàn)場(chǎng)樣本），則驗(yàn)前信息將作出必然采納H0或H1的決策。若必然采納H1，即P(H0)=0。則式（24）的不等式必成立，即不管現(xiàn)場(chǎng)子樣如何取值，必將使采納H1的不等式成立。此時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)信息不起任何作用，完全被大量的現(xiàn)場(chǎng)信息所“淹沒”。所以在使用驗(yàn)前信息時(shí)必須考慮其可信度，于是真實(shí)的驗(yàn)前概率P(H0)* ：

其中，P(H0)表示在獲得現(xiàn)場(chǎng)子樣Z1前假設(shè)H0成立的概率。P(H0|A)表示驗(yàn)前子樣Z0的可信度。在應(yīng)用中，所謂的驗(yàn)前子樣Z0的可信度也就是以現(xiàn)場(chǎng)子樣Z1為標(biāo)準(zhǔn)，Z0和Z1的吻合程度。這樣即使驗(yàn)前子樣的容量很大，提供的信息非常豐富，即

但由于此時(shí)真實(shí)的驗(yàn)前概率為P(H0)* ：

在計(jì)算中就不能將大量的驗(yàn)前子樣與現(xiàn)場(chǎng)子樣直接簡(jiǎn)單的混用。

故引入驗(yàn)前信息可信度后不存在大量驗(yàn)前子樣（如仿真信息）“淹沒”現(xiàn)場(chǎng)子樣的情況。不會(huì)再出現(xiàn)驗(yàn)前信息在可信度不高的情況下決定試驗(yàn)決策的情況；當(dāng)然此時(shí)在做參數(shù)θ 的Bayes推斷統(tǒng)計(jì)時(shí)，同樣由于驗(yàn)前子樣可信度的存在，不能將驗(yàn)前子樣直接與現(xiàn)場(chǎng)子樣簡(jiǎn)單的混合使用，必須將現(xiàn)場(chǎng)子樣重新折合后才能使用，這樣必將引起權(quán)系數(shù)γ的變化，就不會(huì)在大量驗(yàn)前子樣可信度較低的情況下，驗(yàn)前子樣決定參數(shù)θ 的Bayes推斷統(tǒng)計(jì)的結(jié)果。

4 結(jié) 論

事實(shí)上，在武器系統(tǒng)成敗型試驗(yàn)中，使用Bayes方法評(píng)估產(chǎn)品性能的最關(guān)鍵問題是驗(yàn)前信息的收集過程必須真實(shí)可靠，也就是說驗(yàn)前信息在使用時(shí)其可信度P(H0|A)必須要高。從而才能保證在使用Bayes方法作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)其結(jié)果的正確性。

對(duì)于成敗型試驗(yàn)的Bayes統(tǒng)計(jì)推斷，如果驗(yàn)前概率高(此時(shí)驗(yàn)前子樣可信度高，驗(yàn)前子樣數(shù)據(jù)不需要經(jīng)過折合直接使用，權(quán)系數(shù)γ較大)，則驗(yàn)前信息對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果“貢獻(xiàn)”更大。對(duì)于Bayes假設(shè)檢驗(yàn)，如果驗(yàn)前概率高(即驗(yàn)前信息有利于假設(shè)H0)，則檢驗(yàn)方案容易接受假設(shè)H0，也即正確的利用了驗(yàn)前信息，得到了更合理的評(píng)估結(jié)論。

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