陳 藏,王 劍

(華北科技學院教務處,北京 東燕郊 101601)

0 引言

自1942年,為了解決偏微分方程的初值問題,以E.Hille與K.Yosida為代表的一些數(shù)學家提出了Banach空間上強連續(xù)半群理論.此后,算子半群理論得到了不斷的充實與發(fā)展.根據(jù)不同應用背景,C半群、積分半群等理論不斷被提出[1-5],在解決偏微分方程領(lǐng)域起著非常重要的作用.分布參數(shù)控制系統(tǒng),現(xiàn)代航天技術(shù)等工程領(lǐng)域中引人注目的問題的數(shù)學模型均為其有力的背景。

廣義分布參數(shù)系統(tǒng),即對時間的偏導數(shù)項的系數(shù)算子不一定可逆的系統(tǒng),是由廣義偏微分方程、廣義積分方程或無限維空間中廣義抽象微分方程所描述的系統(tǒng)的總稱.由于其具有強有力的物理背景,如復合材料的溫度分布問題、電磁耦合超導線路中的電壓分布問題等,近年來得到了廣泛的研究[6-10].文獻[6]研究了下面的齊次與非齊次的廣義分布系統(tǒng)

求解問題,其中E是有界線性算子,A為線性閉算子.通過研究發(fā)現(xiàn)上面的問題要想通過Laplace變換和卷積公式進行計算存在困難,由此提出了廣義預解式和廣義算子半群的概念,從而為研究上述廣義系統(tǒng)的適定性提供了新的方法.該文,推導出指數(shù)有界的廣義算子半群的Laplace逆變換的形式,并在預解式滿足一定的條件時給出了指數(shù)有界的廣義算子半群的留數(shù)型逼近公式.

1 定義及引理

定義1[6]設(shè)E是Banach空間上的有界線性算子,A是閉線性算子,稱ρ(E,A)={λ:λ∈C,(λE-A)-1是Banach空間上的線性算子}為算子A的廣義預解集,ρ(E,A)的余集稱為A的E廣義譜集,記為σ(E,A).對λ∈ρ(E,A),稱R(λE,A)=(λE-A)-1為A的E廣義預解式.

定義2[6]設(shè)X是Banach空間,B(X)是X上的有界線性算子全體,設(shè)單參數(shù)算子{T(t)}t≥0∈B(X),E是一個有界線性算子,若T(t+s)=T(t)ET(s),?t,s≥0,則稱{T(t)}t≥0是由E引導的廣義算子半群,簡稱廣義算子半群.

定義3[6]設(shè)A是X中的閉稠定線性算子,{T(t)}t≥0是強連續(xù)有界線性算子,且存在M>0,ω0∈R,使得‖T(t)‖≤Meω0t成立,E是一個有界線性算子,若下面的式子成立:

此時{T(t)}t≥0稱為由E引導的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群.

引理1[6]若{T(t)}t≥0稱為由E引導的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群,則下面的結(jié)論成立:

(i)T(t)T(s)=T(s)T(t),?s,t≥0;

2 Laplace逆變換

3 廣義算子半群的留數(shù)型逼近

(1)

其中Ti(t)Ex=Resλ=λieλtR(λE,A)Ex,i=1,2，…,這里Reλm+1<β10.

其中Ti(t)Ex=Reλ=λieλtR(λE,A)Ex,另一方面,

(2)

其中B(x)是與λ無關(guān)僅x與有關(guān)的常數(shù),先令λ=μ+iτ,則

故當τ→∞時有

(3)

同理當τ→∞時有

(4)

(5)

將(5)帶入到(1)中即可完成證明.

[1] Tanaka N and Miyadera I.Exponentially Bounded C-Semigroups and Integrated Semigroups[J].Tokyo J.Math,1989，(1):99-115.

[2] NeubranderF.Integrated semigroups and application to the Abstract Cauchy problem.Pacific J of Math, 1988, 135(1):111-155.

[3] Zheng quan. Application of integrated semigroups to higer order abstract Cauchy Problem[J].Systems Science&Mathematical Sciences,1992,5(4):316-327.

[4] Ralph Delaubenfenls. C-Semigroups and strong continuous semigroups[J].Israel Journal of mathematics,1993,(1):227-255.

[5] 鄭權(quán),雷巖松.關(guān)于積分C半群[J].華中理工大學學報,2000,4(20):181-187.

[6] 葛照強,朱廣田,馮德興.廣義算子半群與廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的適定性[J].中國科學:數(shù)學,2010, 40(5):477-495.

[7] Joder L, Femandez M L. An implicit difference methods for the numerical of solution of coupled system of partial differential equations [J]. Appl Math Comput, 1991,(46):127-134.

[8] Lewis F L.A review of 2-D implicit systems [J].Automatic, 1992,(28):345-354.

[9] Hu Y, Peng S G, Li X J. Maximum principle for optimal control problem of nonlinear generalized systems-infinite dimensional case[J].Acta Math Appl Sin,1992,(15):99-104.

[10] Trazska Z, Marszalek W. Singular distributed parameter systems [J]. IEEE Control Theory Appl, 1993,(40):305-308.

[11] Adrent W.Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems [J]. Israel J of Math.1987,(59): 327-352.

[12] 鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,1988.

[13] Hening B. A and Neubrander F. On Representations, Inversions, and Approximation of Laplace Transforms in Banach Spaces[J]. Appl. Anal.,1993,(49):151-170.