陳鳳德，趙 亮

（福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350108）

一類非自治兩種群浮游生物相克模型的絕滅性

陳鳳德，趙 亮

（福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350108）

研究了非自治兩種群浮游生物相克模型.通過構造適當?shù)慕^滅函數(shù)，得到了保證系統(tǒng)中某個種群絕滅和另外一個種群全局吸引的充分性條件.所得的結果補充了前人的工作.

浮游生物；競爭；毒素；絕滅

本文探討如下兩種群浮游生物相克模型的絕滅性問題：其中，x1，x2分別代表兩個相互競爭的浮游生物種群在t時刻的種群密度；bi（i＝1，2）表示兩種群的內稟增長率，bi／aii（i＝1，2）表示兩種群的環(huán)境容納量，aii（i＝1，2）表示種群內競爭系數(shù)，aij（i≠j；i，j＝1，2）表示種群間競爭系數(shù)；γx1x n2刻畫第二個種群釋放毒素對第一個種群的影響大小.

對于有界連續(xù)函數(shù)f（t），定義

在系統(tǒng)（1）中，恒設：

（H1）bi（t），aij（t）（i，j＝1，2）和γ（t）都是連續(xù)嚴格正函數(shù)且滿足如下條件：

考慮到系統(tǒng)的生態(tài)學含義，只考慮系統(tǒng)的初值滿足x1（0）＞0，x2（0）＞0的解的運行狀態(tài).容易知道，在假設（H1）下，對所有的t≥0，系統(tǒng)的解x1（t）＞0，x2（t）＞0.

近年來，浮游生物相克模型引起了學者們的高度 重 視［1－9］.當n＝2 時，Sole' 等［3］和 M.Bandyopadhyay［4］研究了模型（1）的自治情形，探討了系統(tǒng)的正平衡點的穩(wěn)定性；最近，林玉花等［5］認為非自治情形更為合理，在條件（H1）成立的條件下探討了系統(tǒng)的持久性和全局吸引性等動力學行為；王海娜等［6］認為人類對自然資源的開發(fā)利用更為重要，他們在模型（1）的基礎上，進一步提出了具有反饋控制的浮游生物競爭模型，并得到了所研究系統(tǒng)的持久性和穩(wěn)定性的充分性條件.但是，文獻［5－6］均未探討系統(tǒng)的絕滅性.絕滅性是生態(tài)系統(tǒng)研究中的一個重要課題，對物種或者自然資源的保護和開發(fā)等有直接的關系.此外，對一般情形的n進行探討也是很有必要的，前述文獻所研究的模型為其特例.

本文的目的旨在通過發(fā)展文獻［8－9］的分析手法，對系統(tǒng)（1）的絕滅性進行詳細的探討.主要結果如下.

引理［5］對于系統(tǒng)（1）的任一正解（x1（t），x2（t））T，均有

注1 在沒有考慮毒素影響時，系統(tǒng)（1）退化為經(jīng)典的兩種群Lotka－Volterra競爭系統(tǒng)，條件（3）足以保證第二個種群絕滅；定理1表明，雖然此時第二個種群可以通過向第一個種群釋放毒素來提高自己的競爭力，但是當毒素濃度足夠小且滿足不等式（4）時，第二個種群仍然趨于絕滅.

注2 在沒有考慮毒素影響時，系統(tǒng)（1）退化為經(jīng)典的兩種群Lotka－Volterra競爭系統(tǒng)，條件（15）足以保證第一個種群絕滅；定理2表明，此時第二個種群可以進一步向第一個種群釋放毒素.這使得第一個種群更處于不利的競爭地位，從而仍然趨于絕滅.

［1］ Maynard S J. Models in Ecology［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1974.

［2］ Chattophadyay J.Effect of Toxic Substances on a Two Species Competitive System［J］.Ecological Modelling，1996，84（1／2／3）：287－289.

［3］ Sole'J，Garcia－Ladona E，Ruardij P，et al.Modelling Allelopathy among Marine Algae ［J］. Ecological Modelling，2005，183（4）：373－384.

［4］ Bandyopadhyay M.Dynamical Analysis of an Allelopathic Phytoplankton Model［J］.Journal of Biological Systems，2006，14（2）：205－217.

［5］ 林玉花，陳鳳德，王海娜，等.一類非自治兩種群浮游生物相克模型的持久性和全局吸引性［J］.沈陽大學學報：自然科學版，2012，24（6）：7－10.

（Lin Yuhua， Chen Fengde， Wang Haina， et al.Permanence and Global Attractivity of a Non－Autonomous Two Species Allelopathic Phytoplankton Model［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2012，24（6）：7－10.）

［6］ 王海娜，陳鳳德，林玉花，等.具有反饋控制的非自治兩種群浮游生物相克系統(tǒng)的持久性和全局吸引性［J］.沈陽大學學報：自然科學版，2013，25（3）：173－176.

（Wang Haina， Chen Fengde， Lin Yuhua， et al.Permanence and Global Attractivity of Non－Autonomous Allelopathic Phytoplankton Model for Two Species with Feedback Controls［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2013，25（3）：173－176.）

［7］ 徐寶樹，岳曉寧.一類帶狀態(tài)反饋捕食－食餌兩種群功能性反應系統(tǒng)模型控制分析［J］.沈陽大學學報，2005，17（6）：82－85.

（Xu Baoshu，Yue Xiaoning.Analysis of Predator－prey Model with Functional Responses［J］.Journal of Shenyang University，2005，17（6）：82－85.）

［8］ Li Z，Chen F D.Extinction in Two Dimensional Nonautonomous Lotka－Volterra Systems with the Effect of Toxic Substances［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，182（1）：684－690.

［9］ Chen F D，Li Z，Chen X X，et al.Dynamic Behaviors of a Delay Differential Equation Model of Plankton Allelopathy［J］.Journal Computation and Applied Mathematics，2007，206（2）：733－754.

Extinction of a Non－autonomous Two Species Allelopathic Phytoplankton Model

ChenFengde，ZhaoLiang
（College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China）

The non－autonomous two species allelopathic phytoplankton model is studied.By constructing some suitable Lyapunov type extinction functions，sufficient conditions which guarantee the extinction of species and the global attractivity of another species are obtained.The results supplement some known results.

phytoplankton；competition；toxicity；extinction

O 175.14

A

2095－5456（2014）01－0001－03

2013－08－20

國家自然科學基金資助項目（11201075）；福建省自然科學基金資助項目（2013J01011）；福建省教育廳基金資助項目（JA13361）.

陳鳳德（1974－），男，福建屏南人，福州大學教授.

李 艷】