摘 要： 本文主要探討反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的構(gòu)造模式及其重要性.在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用反例能夠有效地誘發(fā)學(xué)生的求知欲，促使其主動(dòng)積極地學(xué)習(xí)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有更進(jìn)一步的理解.不僅有利于學(xué)生全面正確地理解、掌握數(shù)學(xué)的基本概念和基本定理，而且促使學(xué)生養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯(cuò)誤的習(xí)慣，更能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維.

關(guān)鍵詞： 反例 思維判斷力 邏輯規(guī)律 特殊值 數(shù)學(xué)教學(xué)

美國數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆說：“數(shù)學(xué)由兩大類——證明和反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個(gè)主要目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例.”提出證明，就是根據(jù)已知概念和真命題遵照邏輯規(guī)律運(yùn)用正確邏輯方法去證明某個(gè)命題的真實(shí)性，構(gòu)造反例，就是為了證明某個(gè)命題不真，構(gòu)造一個(gè)且只需構(gòu)造—個(gè)符合于題設(shè)條件但命題結(jié)論不成立的特例，即反例.本文從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度討論反例的作用.

一、培養(yǎng)獨(dú)立的思維判斷力，增強(qiáng)趣味性

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的能力，尤其是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.思維屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，要達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的目的，必須重視構(gòu)造反例這一重要途徑.構(gòu)造反例是一個(gè)快速而無規(guī)則的探索性過程，它有利于活躍學(xué)生的思維，廣開學(xué)生的思路，同時(shí)也可培養(yǎng)學(xué)生從多方面、多角度認(rèn)識(shí)問題和解決問題的習(xí)慣，有效地增強(qiáng)學(xué)生思維的敏捷性，逐步增強(qiáng)獨(dú)立的思維判斷力.

在教學(xué)過程中，適時(shí)舉一些數(shù)學(xué)史上的著名反例，不但能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且對(duì)學(xué)生形成概念、系統(tǒng)掌握知識(shí)有很大的幫助.如在講無理數(shù)概念時(shí)，可以談?wù)剶?shù)的概念的形成和發(fā)展，特別是導(dǎo)致數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)的反例，古希臘畢達(dá)哥斯學(xué)派的希帕薩斯發(fā)現(xiàn)正方形一邊與對(duì)角線不能用兩整數(shù)之比表示，嚴(yán)重沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的信條——數(shù)是一切事物的本質(zhì)，整個(gè)有規(guī)定的宇宙的組織，就是數(shù)及數(shù)的關(guān)系的和諧系統(tǒng).“宇宙萬物只能歸結(jié)為整數(shù)，最多也只能歸結(jié)為兩整數(shù)比”.希帕薩斯因此而被拋入大海，成為數(shù)學(xué)史上的一大悲劇.這一反例的發(fā)現(xiàn)，使希薩斯的名字，永遠(yuǎn)被銘刻在神奇的數(shù)學(xué)王國的宮墻上.接著敘述無理數(shù)數(shù)，學(xué)生的注意力自然很集中.

又如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，必須指出：不完全歸納推理，只是給人們提供了一種猜想，其真實(shí)性必須通過論證肯定或否定.由于反例在否定命題時(shí)具有巨大的作用，因此利用反例可以輕而易舉地否定一些著名命題.1640年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪猜測(cè)所有形如Fn=2+1（n為非負(fù)整數(shù)）型的數(shù)都是素?cái)?shù)，驗(yàn)證F=3，F(xiàn)=5，F(xiàn)=17，F(xiàn)=257，F(xiàn)=65537都是素?cái)?shù)，因此，當(dāng)時(shí)誰都不知道費(fèi)爾瑪?shù)牟聹y(cè)是否正確，直到1732年，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉指出F5=641×6700417，從而一舉推翻了費(fèi)爾瑪猜想.

二、構(gòu)造獨(dú)特的解題模式，尋找矛盾

構(gòu)造反例在證偽過程中起到了巨大的作用，而且構(gòu)造反例是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的重要途徑之一，因此教學(xué)中應(yīng)予以足夠的重視.如何構(gòu)造反例呢？選擇特殊值、極端情形或相反情形，常?？墒顾e反例簡潔且易于構(gòu)造，—般構(gòu)造反例解題的模式是：

問題條件特點(diǎn)解析→（選擇特殊值極端相反情形）→構(gòu)造反例→（得出結(jié)論）→原命題不真.

我們經(jīng)常使用的反證法，是首先假定所要證明的結(jié)論不成立，然后在這個(gè)假定下進(jìn)行一系列符合邏輯的推理，直到得出一個(gè)矛盾的結(jié)論，并據(jù)此推翻原先的假定，從而確認(rèn)所要證明的結(jié)論成立.其中，尋找矛盾是證題過程的核心所在，而揭露矛盾的一個(gè)有效方法，就是構(gòu)造反例.

所以在由這些線段所組成的三角形中必有銳角三角形.

三、探尋問題的錯(cuò)誤所在，深化理解

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不僅要能夠運(yùn)用正確的例子深刻詮釋知識(shí)點(diǎn)，而且要能夠運(yùn)用一些恰當(dāng)?shù)姆蠢龔牧硪粋€(gè)角度緊抓住概念或規(guī)則的本質(zhì)，彌補(bǔ)正面教學(xué)的不足，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，讓他們留有深刻的印象.比如，中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列極限的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)等概念和運(yùn)算法則等，對(duì)于剛接觸的人來說，對(duì)它們的認(rèn)知常常模糊不清.在教學(xué)這些知識(shí)點(diǎn)的zgAm5RVtmDtH0eSd+/kNaw==時(shí)候，假如從正面闡述，那么學(xué)生就很難理解，如果結(jié)合一些反例論述，效果就會(huì)事半功倍.

（一）有利于幫助掌握定理、公式和法則

例3：若a=A，b=B，那么（a+b）=A+B，反之，可否成立？

解析：反之不成立.如果直接說明難以入手，而舉出反例論述，就可以使學(xué)生記憶深深刻.例如：a=+n，b=-n，顯然（a+b）存在，但a和b就都不存在了.

例4：二項(xiàng)式定理的教學(xué)中，剛接觸者常習(xí)慣于記憶通項(xiàng)公式T=Cxa對(duì)于形似（3a-4b）的式子，因而認(rèn)為它的第四項(xiàng)系數(shù)是C，這顯然是“誤入歧途”，實(shí)際上應(yīng)該是C3·（-4）.

（二）有利于正確指出錯(cuò)誤

對(duì)學(xué)生解題中的錯(cuò)誤必須及時(shí)予以糾正.偶然性的錯(cuò)誤，要求學(xué)生仔細(xì)思考，讓他們自己作出改正或補(bǔ)充；原則性的錯(cuò)誤，要求學(xué)生明白錯(cuò)誤的原因，直到弄懂為止，而指出錯(cuò)誤最為有效的辦法之一便是舉出反例.

例5：在平面幾何中，“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這個(gè)定理中“平行”二字常常被“忽略不計(jì)”.這也可舉一個(gè)反例，舉一個(gè)四邊形ABCD，兩對(duì)角線AC⊥BD，但要證明它不是菱形，這樣就可以促使學(xué)生深入理解定理中“平行”二字的重要性.

又如，設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=/2，已知點(diǎn)P（0，3/2）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)的距離是.求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

這是一道高考題，解法頗多，在此我們不加以贅述.下面用反例法剖析一種常見的解題錯(cuò)誤.

反例在駁斥謬論、揭露詭辯、修正錯(cuò)誤上有著重要作用，它有助于學(xué)生正確掌握題解方法.面對(duì)一個(gè)問題的解答，可運(yùn)用反例檢驗(yàn)答案是否正確，假如發(fā)現(xiàn)不對(duì)，就能夠引導(dǎo)我們探尋錯(cuò)誤的原因.

式并不等價(jià)，盡管滿足前者時(shí)，也能滿足后者，但滿足后者時(shí)，卻不能滿足前者，所以是錯(cuò)誤的，答案應(yīng)為-5

在當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，—般對(duì)提出證明比較重視，而對(duì)構(gòu)造反例有所忽視.從思維方法來看，構(gòu)造反例法是較高層次的思維方法之一，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的一種重要手段，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維起著不可估量的作用.所以，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)重視反例法的運(yùn)用.

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