摘 要： 本文從四個方面，利用方程、不等式與函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)與方程、不等式的轉(zhuǎn)化，不僅幫助學(xué)生解題，而且可以活躍學(xué)生思維，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，探索解題捷徑，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，收到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞： 方程 不等式 函數(shù) 思想探討

函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題.

方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系.

函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看做二元方程y- f（x）=0.函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點.

函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f（x）>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式.

函數(shù)與方程是密切相聯(lián)的.有時運用方程解函數(shù)問題，把函數(shù)關(guān)系式用解析式表達，并把解析式看做一個方程，通過解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯俊⒂懻?，使問題得以解決.運用函數(shù)的思想處理方程的問題，即把方程中的“未知數(shù)x”升華為函數(shù)的“自變量x”，變靜態(tài)為動態(tài)的函數(shù)的思想和方法.

本文從四個方面，利用方程、不等式與函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)與方程、不等式的轉(zhuǎn)化，不僅幫助學(xué)生解題，而且可以活躍學(xué)生思維，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，開拓解題捷徑，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，收到事半功倍的效果.

一、深入理解概念，靈活解題

∴x=-9

A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性定義

對于任意x∈{-∞，0）∪（0，+∞）

若g（-x）=g（x）成立，則g（x）是偶函數(shù)；

若g（-x）=-g（x）成立，則g（x）是奇函數(shù)；

若g（x）≠g（x）-g（x），則g（x）是非奇非偶函數(shù).

由于函數(shù)關(guān)系式繁瑣，不選用定義證明它的奇偶性.而挖掘其隱含條件，構(gòu)造g（x）與g（-x）的關(guān)系式，體現(xiàn)了方程的思想.

由于G（x）是偶函數(shù)

∴有G（-x）=G（x）

解此方程得：g（-x）=-g（x）

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義

∴g（x）是奇函數(shù).

三、利用函數(shù)特征，巧設(shè)方程

分析：此題一個等式兩個未知量.因此，需利用隱含條件，再造一個方程，組成方程組來解.

解：∵f（x）是偶函數(shù)

∴有f（-x）=f（x）

又∵g（x）是奇函數(shù)

∴有g(shù)（-x）=-g（x）

本題如按常規(guī)方法來解：平方展開，得出一個繁雜的式子，往下思路一般會受阻.下面結(jié)合圖像，利用解析幾何知識來解.

解：y=■+■

=■+■

所以將y看成是坐標(biāo)平面上動點P（x，0）到定點A（0，-3），B（4，5）的距離之和.由于點P在x軸上，點A、B在x軸的兩側(cè)，因此|AP|+|BP|的最小值就是|AB|.（三角形兩邊之和必大于第三邊）

∴y■=|AB|=■=4■

此題這樣處理，大大簡化了運算量，而且很直觀.

例6：當(dāng)k∈（0，1/2）時，方程■=kx解的個數(shù)為（？搖 ？搖）

A.0 B.1 C.2 D.3

分析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y=kx，k∈（0，1/2）和y=■的圖像，得到三個交點，故選D.

例7：已知x，y∈[-π/4，π/4]，a∈R且x■+sinx-2a=04y■+siny·cosy+a=0，則cos（x+2y）=？搖？搖 ？搖？搖.

解：已知表明x和-2y是方程u■-sinu-2a=0的根，

而f（u）=u■+sinu-2a在u∈[-π/4，π/4]為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以x=-2y，

即cos（x+2y）=1.

函數(shù)思想與方程思想結(jié)合起來處理例7的綜合問題.

總之，對函數(shù)的研究離不開方程、不等式知識，在處理有關(guān)方程、不等式的問題也離不開函數(shù)的觀點，關(guān)鍵在于溝通它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，系統(tǒng)地把握數(shù)學(xué)知識，尋找解決問題的捷徑.

參考文獻：

[1]蔡林森.教學(xué)革命——蔡林森與先學(xué)后教.首都師范大學(xué)出版社，2010，2.

[2]車希海.現(xiàn)代職業(yè)教育教學(xué)實用手冊.山東科學(xué)技術(shù)出版社，2008，8，第一版.

[3]徐長青.簡約教學(xué)在返璞歸真中見實效.中國教育報，2010-5-21.

[4]譚平，陳勇，巫俊平，熊德雅.打造“和諧教育”特色.促進學(xué)校內(nèi)涵發(fā)展.中國教育報，2010-6-14.