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數(shù)形結(jié)合思想

2013-12-29 00:00:00

數(shù)與形是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個最古老的,也是最基本的研究對象,它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化,如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景,而借助其背景圖形的性質(zhì),可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體,以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論.可見數(shù)形結(jié)合,不僅是一種重要的解題方法,也是一種重要的思維方法.

作為一種數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為以下兩種情形:第一,借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性,即“以數(shù)解形”;第二,借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系,即“以形助數(shù)”.

■ 以數(shù)解形

當(dāng)我們探究幾何問題的解題思路受阻,或雖有辦法但很艱難時,我們常常考慮能否將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,而轉(zhuǎn)化的常用方法是解析法即建立坐標(biāo)系;還可引進(jìn)復(fù)平面用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識解決,綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法,??傻玫胶啙嵉慕夥? 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應(yīng)用.

■ 如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于圓E,E為圓心,AC⊥BD,AC,BD交于點O,G為CD邊上的中點,EF⊥AB,垂足為F,求證:OG=EF.

圖1

思路點撥 本題用幾何的方法證明不易,可考慮用解析法,適當(dāng)建立坐標(biāo)系,將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征,所以巧妙利用這一性質(zhì)就可以闡明“形”的某些屬性,從而準(zhǔn)確澄清“形”的模糊,使問題得以解決.

破解 以兩條對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,如圖2.

設(shè)點A,B,C,D的坐標(biāo)分別為(-a,0),(0,-b),(c,0),(0,d). 由F,G分別為AB,CD的中點,知F-■,-■,G■,■.

圖2

又E同時在AC,BDlSes6GrLmCqH6ZV/SWBSuA==的垂直平分線上,所以E■,■.

由兩點間的距離公式可得EF=OG=■.

■ 如圖3,已知平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F(xiàn),O分別為PA,PB,AC的中點,AC=16,PA=PC=10.

圖3

(1)設(shè)G是OC的中點,證明:FG∥平面BOE;

(2)證明:在△ABO內(nèi)存在一點M,使FM⊥平面BOE.

思路點撥 用空間向量法解立體幾何問題的一般步驟:

(1)建立合理的空間直角坐標(biāo)系.

①當(dāng)圖形中有三條兩兩垂直且共點的直線時,通常分別以這三條直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.

②當(dāng)圖形中沒有現(xiàn)成的兩兩垂直的三條直線時,可根據(jù)實際情況構(gòu)造出滿足條件的三條直線,如圖形中有直線與平面垂直時,可選擇這條直線與這個平面的兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸.

(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo). 求出圖形中與題目條件和結(jié)論相關(guān)的所有點的坐標(biāo).

(3)求出相關(guān)平面的一個法向量. 所有與平面相關(guān)的問題都是通過它的一個法向量來實現(xiàn)的.

(4)通過合理運算得到所需結(jié)論.

破解 連結(jié)PO,由題意可得OB,OC,OP兩兩垂直. 如圖4,以O(shè)為原點,射線OB,OC,OP為坐標(biāo)軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),B(8,0,0),A(0,-8,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(xiàn)(4,0,3),G(0,4,0).

圖4

(1)■=(4,-4,3),■=(0,-4,3),■=(8,0,0).

設(shè)n=(a,b,1)是平面BOE的一個法向量,則n·■=8a=0及n·■=-4b+3=0,所以a=0,b=■,n=0,■,1,所以n·■=0.

直線FG不在平面BOE內(nèi),所以FG∥平面BOE.

(2)設(shè)△ABO內(nèi)滿足條件的點M的坐標(biāo)為M(x,y,0),則■=(x-4,y,-3),由于FM⊥平面BOE,由■·■=0,■·■=0得-4y+3×(-3)=0,8(x-4)=0,即x=4,y=-■. 所以在△ABO內(nèi)存在點M4,-■使FM⊥平面BOE.

■ 已知m>1,直線l:x-my-■=0,橢圓C:■+y2=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H. 若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

圖5

思路點撥 題設(shè)所描述的語言都非常形象直觀,同學(xué)們很容易就能畫出對應(yīng)的圖形,但是要求出實數(shù)m的范圍,卻不是靠看圖就能看出來的,這需要我們把圖形語言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語言,然后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運算來求得m的精確范圍.

破解 不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則重心G的坐標(biāo)為■,■,重心H的坐標(biāo)為■,■,則GH2=■+■. 設(shè)M是GH的中點,則M■,■.

由題知原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),我們可將此“形”的信息翻譯為“數(shù)”的不等式:2MO

即可得4■■+■■<■+■,也即x1x2+y1y2<0(?鄢).

從(?鄢)式我們聯(lián)想到了韋達(dá)定理,于是聯(lián)立方程x=my+■,■+y2=1,消去x得2y2+my+■-1=0. 因為Δ=m2-8■-1=-m2+8>0,解得m2<8,且有y■+y■=-■,y■y■=■-■,所以x1x2+y1y2=my1+■my2+■+y1y2=(m2+1)■-■.

將其代入(?鄢)式得■-■<0,解得m2<4. 又因為m>1且Δ>0,所以1

1.一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”,封閉區(qū)域邊界曲線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”,下面四個平面區(qū)域(陰影部分)的周率從左到右依次記為τ1,τ2,τ3,τ4,則下列關(guān)系中正確的為( )

圖6

A. τ1>τ4>τ3 B. τ3>τ1>τ2

C. τ4>τ2>τ3 D. τ3>τ4>τ1

2. 如圖7,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

圖7

(1)證明:AP⊥BC.

(2)在線段AP上是否存在點M,使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在,求出AM的長;若不存在,請說明理由.

3. 如圖8,過橢圓■+■=1的右焦點M任作一條直線l與橢圓相交于A,B兩點,設(shè)N(2■,0),連結(jié)AN,BN. 求證:∠ANM=∠BNM.

圖8

■ 以形解數(shù)

由于圖形具有生動性和直觀性的特點,恰當(dāng)?shù)乩脠D形就能使得復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而使問題靈活、簡潔、準(zhǔn)確地獲解.說白了,就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來研究,思路與方法便在圖形中直觀顯示出來,不僅可以加深對數(shù)量關(guān)系的理解,而且還能簡化運算過程,起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時,如果方程或不等式兩邊表達(dá)式有明顯的幾何意義,或通過某種方式可與圖形建立聯(lián)系,則可設(shè)法構(gòu)造圖形,將方程或不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個特定的問題,可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”

■ 解不等式3x-2+3x+1≤6(x∈R).

思路點撥 本題如果直接解不等式,需要進(jìn)行分類討論,而考慮幾何意義,其解法極為簡潔.

破解 設(shè)z=3x,則在數(shù)軸上z-2+z+1≤6的圖形是以■為中點,長度為6的一條線段,兩端點分別為-■,■,所以-■≤3x≤■,即原不等式的解集為-■,■.

■ 解關(guān)于x的不等式■≥a-x.

思路點撥 本題若試圖化無理不等式為有理不等式,可能會有很多同學(xué)弄不清分類的標(biāo)準(zhǔn);而若能轉(zhuǎn)變思路,運用數(shù)形結(jié)合的思想則可以幫助我們明確分類標(biāo)準(zhǔn),從而簡化討論.

破解 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=■和y=a-x的圖象,即一個半圓(x-1)2+y2=4(y≥0)和一條直線(如圖9).

圖9

a為直線在y軸上的截距,直線和半圓相切時,算得a=1+2■,根據(jù)直線與半圓的交點情況,結(jié)合a的取值范圍,得

①當(dāng)a≤-1時,有-1≤x≤3.

②當(dāng)-1

③當(dāng)3

④當(dāng)a>1+2■時,不等式無解.

■ 若已知關(guān)于x的方程■=kx+2只有一個實數(shù)根,則k的取值范圍為( )

A. k=0

B. k=0或k>1

C. k>1或k<-1

D. k=0或k>1或k<-1

思路點撥 本題用代數(shù)知識求解,不僅復(fù)雜、煩瑣,而且很容易出錯,結(jié)果是花費了大量的時間和精力,仍然無法得出正確答案. 充分利用方程兩邊式子所具有的幾何意義,結(jié)合圖形,答案便一目了然.

破解 關(guān)于x的方程■=kx+2只有一個實數(shù)根,等價于函數(shù)y=■,y=kx+2的圖象只有一個公共點,作出函數(shù)圖象,如圖10. 由圖象可知,直線與半圓只有一個公共點時,k=0或k>1或k<-1,故選D.

圖10

■ 方程x2+■x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+■的圖象與函數(shù)y=■的圖象交點的橫坐標(biāo). 若方程x4+ax-4=0的各個實根x1,x2,…,xk(k≤4)所對應(yīng)的點x1,■(i=1,2,…k)均在直線y=x的同側(cè),則實數(shù)a的取值范圍是______.

思路點撥 根據(jù)題中條件自然想到把方程x4+ax-4=0變形為x3+a=■,從而把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x3+a與函數(shù)y=■的圖象交點的橫坐標(biāo),再利用圖象求解.

圖11

破解 方程x4+ax-4=0的各個實根可視為函數(shù)y=x3+a和函數(shù)y=■的圖象交點的橫坐標(biāo). 在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出y=x,y=■,y=x3+a的圖象,如圖11所示,A(2,2),B(-2,-2).

當(dāng)y=x3+a的圖象分別過B,A時,a等于6和-6. 由圖象上、下平移可知,當(dāng)a<-6或a>6時交點均在直線y=x的同側(cè).

1. 若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時, f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log4x的零點個數(shù)為( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 函數(shù)y=■的圖象與函數(shù)y=2sinπx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于_______.

3. 若關(guān)于x的不等式x2<2-x-a至少有一個負(fù)數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是_______.

2. 利用圖形求最值(值域)

數(shù)學(xué)問題中一些最值(值域)問題,若數(shù)量關(guān)系可賦予幾何意義的,考慮采用數(shù)形結(jié)合的方法,??蓱{借特殊位置、圖形性質(zhì)等直觀的優(yōu)勢而簡潔求解.

■ 求函數(shù)y=■的值域.

思路點撥 求解此題的常規(guī)方法是將其變形為2y=sinx-ycosx,然后將等式右邊合成一個三角函數(shù),再利用三角函數(shù)的有界性求得y的取值范圍. 除此之外,我們也可用數(shù)形結(jié)合的思想求解.

破解 由已知,原函數(shù)可變形為y=■,其幾何含義是過點A(cosx,sinx)和B(-2,0)的直線的斜率,而A是單位圓x2+y2=1上的動點.

圖12

由圖12可知,當(dāng)過B(-2,0)作圓的切線時,直線AB的斜率到達(dá)最大或最小.容易算得ymax=■,ymin= -■,所以y∈-■,■.

■ 求函數(shù)y=■+■的最大值.

思路點撥 本題易想到的是用換元法去掉根式,得y=u+v,注意到根式中兩式的關(guān)系得新元的關(guān)系式,此關(guān)系式具有明顯的幾何意義.

破解 令u=■(u≥0),v=■(v≥0),則y=u+v.

由5-2x=u2,x-2=v2,■得u2+2v2=1,且u≥0,v≥0. 問題轉(zhuǎn)化為求直線y=u+v與橢圓u2+2v2=1有公共點時,直線的縱截距y的最大值.

由圖13可知,當(dāng)直線與橢圓相切時,相應(yīng)的縱截距最大,此時y=■,故函數(shù)y的最大值為■.

圖13

注:數(shù)學(xué)中的最值問題是比較常見的,有的最值問題若用一般的方法很難奏效,這種情況下可根據(jù)數(shù)學(xué)問題中的條件或結(jié)論,構(gòu)造出相應(yīng)的圖形來“幫忙”,利用圖形的特征來優(yōu)化解題過程,從而使問題迎刃而解.

1. 求函數(shù)f(x)=■(0≤x≤π)的值域.

2. 求函數(shù)f(x)=■+■的值域.

3. 函數(shù)f(x)=■(0≤x≤2π)的值域為______.

3. 數(shù)形滲透

數(shù)形結(jié)合的思想方法,不僅是幾何問題用代數(shù)方法思考,或是代數(shù)(包括三角)問題由圖形去思考,而是密切聯(lián)系,相互滲透的統(tǒng)一整體.解題時尤其是解較為綜合的題目,請注意靈活使用.

■ 已知向量a≠e,e=1滿足對任意t∈R,恒有a-te≥a-e,則( )

A. a⊥e B. a⊥(a-e)

C. e⊥(a-e) D. (a+e)⊥(a-e)

思路點撥 此題如果用代數(shù)方法強行演算的話,雖然也能得到答案,但是運算“成本”太大,而且復(fù)雜的代數(shù)運算也會增加出錯的概率. 考慮到這是一道選擇題,不需要詳細(xì)的推導(dǎo)過程,因此我們不妨“投機取巧”,利用向量的幾何意義,縮短“戰(zhàn)線”.

破解 我們首先畫出向量a和向量e,然后再畫出與向量e共線的向量te,這樣,根據(jù)向量的減法法則,我們可以得到向量a-e和向量a-te. 因為a-te≥a-e對任意的t恒成立,所以向量a-e是所有形如a-te的向量中模長最短的,這說明向量a-e必定非常特殊. 事實上,a-e與向量e是垂直的,即有e⊥(a-e),故選C.

■ 若實數(shù)x,y滿足不等式組x+3y-3≥0,2x-y-3≤0,x-my+1≥0,且x+y的最大值為9,則實數(shù)m=______.

思路點撥 這是個線性規(guī)劃問題,常規(guī)的方法是通過畫出約束條件所表示的幾何圖形來解決,但是約束條件x-my+1≥0中含有字母m,這就使得其圖象不能準(zhǔn)確地被畫出,該怎么辦呢?仔細(xì)觀察后我們發(fā)現(xiàn),直線x-my+1=0必過定點(-1,0),但是仍無法確定此直線的傾斜程度,因此確定直線的傾斜程度就成為解決此題的突破口.

破解 不妨設(shè)z=x+y,則y=-x+z, 結(jié)合圖象知,當(dāng)直線x-my+1=0繞著(-1,0)旋轉(zhuǎn)的時候,只有當(dāng)斜率■∈(0,2)時,才能讓函數(shù)y=-x+z的截距能取到最大值,如圖14所示.

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-x+z經(jīng)過點A時,z取到最大值9.

聯(lián)立直線y=-x+9,2x-y-3=0,解得A(4,5),代入x-my+1=0中,得m=1.

圖14

1.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是邊BC上一點,DC=2BD,則■·■=_______.

2. 已知動點P(a,b)在不等式組x+y-2≤0,x-y≥0,y≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運動,則w=■的取值范圍是__________.

3. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,求a4的最大值.

■ 參考答案

1 以數(shù)解形

1. 準(zhǔn)確理解區(qū)域“直徑”“周率”概念的含義是求解本題的突破口.

第一個區(qū)域:先補成一個長方形,如圖15甲所示,設(shè)長為a,寬為b,則周率τ1=■=■≤2■. 第二個區(qū)域:設(shè)大圓半徑為2,則周率τ2=■=π. 第三個區(qū)域:將原圖補成一個三角形,如圖15乙所示,設(shè)邊長為a,則周率τ3=■=3. 第四個區(qū)域:如圖15丙所示,設(shè)此區(qū)域外接正六邊形邊長為a,則周率τ4=■=2■,故選C.

甲 乙 丙

圖15

2. (1)因為AB=AC,D為BC的中點,所以AD⊥BC,又因PO⊥平面ABC,因此PO⊥BC,所以BC⊥平面POA,則AP⊥BC.

(2)不妨以AD所在直線為y軸,OP為z軸,O為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖16所示,則由題意得O(0,0,0),A(0,-3,0),D(0,2,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4). 設(shè)■=λ■,■=(0,3,4).

圖16

設(shè)平面AMC的法向量為n1=(x1,y1,z1),■=(-4,5,0),■=(0,3λ,4λ). 因為n1·■=0,n1·■=0,所以-4x1+5y1=0,3λy1+4λz1=0,則n1=(5,4,-3).

設(shè)平面BMC的法向量為n2=(x2,y2,z2),■=(8,0,0),■=■+■=(-4,-5,0)+(0,3λ,4λ)=(-4,-5+3λ,4λ).

因為n2·■=0,n2·■=0,所以x2=0,-4x2+(-5+3λ)y2+4λz2=0,則可得n2=(0,4λ,5-3λ). 若二面角A-MC-B為直二面角,則16λ-3(5-3λ)=0,得λ=■,此時AM=λAP=■×5=3.

3. 易得M(■,0),所以可設(shè)直線AB的方程為x=ty+■,A(x1,y1),B(x2,y2),則x1=ty1+■,x2=ty2+■. 把x=ty+■代入橢圓方程x2+2y2-4=0可得(t2+2)y2+2■ty-2=0,所以y■+y■=■,y■y■=■. 所以直線AN的斜率kNA=■=■,直線BN的斜率kNB=■=■,所以由此得kNA+kNB=■+■=■[2ty■y■-■·(y■+y■)]=■·2t■-■■=0,所以直線AN和BN的傾斜角互補,即∠ANM=∠BNM成立.

2 以形解數(shù)

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

1. 偶函數(shù)f(x)的周期為2,且x∈[0,1]時,f(x)=x,作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖17所示,而函數(shù)y=f(x)-log■x的零點即為函數(shù)y=f(x)與y=log■x的圖象的交點橫坐標(biāo). 由圖象可知,交點有6個,故函數(shù)y=f(x)-log■x的零點有6個,故選D.

圖17

2. 由題意知y=■=■的圖象是雙曲線,且關(guān)于點(1,0)成中心對稱. 又y=2sinπx的周期為T=■=2,也關(guān)于點(1,0)成中心對稱,因此兩圖象的交點也一定關(guān)于點(1,0)成中心對稱,如圖18所示. 可知兩個圖象在[-2,4]上有8個交點,因此8個交點的橫坐標(biāo)之和x1+x2+…+x8=2×4=8.

圖18

3. 不等式x2<2-x-a至少有一個負(fù)數(shù)解,即x-a<2-x2有負(fù)數(shù)解. 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x-a和y=2-x2的圖象,如圖19所示. 當(dāng)y=x-a與y=2-x2相切時,求得a=-■,將y=x-a右移到圖中位置時,不等式剛好無負(fù)數(shù)解,此時a=2,所以實數(shù)a的取值范圍是-■,2.

圖19

2. 利用圖形求最值(值域)

1. f(x)的幾何意義是單位圓上的部分點(cosx,sinx)(-1≤cosx≤1,0≤sinx≤1)與點(4,2■)確定的直線斜率,如圖20所示,得k■=■,kPA=■,所以函數(shù)f(x)的值域為■,■.

圖20

2. 令u=■,v=■,則u2+v2=2(u≥0,v≥0).

它表示以原點為圓心,■為半徑的一段圓?。ㄔ诘谝幌笙迌?nèi)). 又y=f(x)=■u+v,即v=-■u+y. 所以函數(shù)y的值域可以看成直線v=-■u+y與這段圓弧有交點時,直線在v軸上截距的取值范圍. 結(jié)合圖21,易知此取值范圍為[■,■],故所求函數(shù)f(x)的值域為[■,■].

圖21

3. 當(dāng)x=■時, f(x)=0;當(dāng)x≠■時,可知f(x)=■= -■= -■.

其中■表示單位圓上的點P(sinx,cosx)與點Q(1,1)連線的斜率.

如圖22所示:■∈[0,+∞),則f(x)∈[-1,0). 綜上,f(x)∈[-1,0].

圖22

3. 數(shù)形滲透

1. 建立如圖23所示的坐標(biāo)系,則A(0,0),B(-1,■),C(1,0),設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),則■=(x+1,y-■),■=(1-x,-y).

圖23

因為D是邊BC上一點,DC=2BD,所以1-x=2x+2,-y=2y-2■,解得x=-■,y=■.

所以■=-■,■,■=(2,-■),所以■·■=-■.

2. w=■=1+■=1+k,k為定點(1,2)與可行域上動點連線的斜率,由數(shù)形結(jié)合得斜率k的取值范圍為(-∞,-2]∪[2,+∞),所以w的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞).

3. 由題意得2a1+3d≥5,a1+2d≤3,a4=a1+3d,則問題轉(zhuǎn)化為:已知實數(shù)x,y滿足約束條件2x+3y≥5,x+2y≤3,求z=x+3y的最大值.

作出約束條件2x+3y≥5,x+2y≤3對應(yīng)的平面區(qū)域(如圖24),將目標(biāo)函數(shù)z=x+3y變形為y=-■x+■,它表示斜率為-■,在y軸上的截距為■的直線. 平移直線y=-■x+■,當(dāng)直線經(jīng)過點A(1,1)時,直線在y軸上的截距最大,對應(yīng)的z最大,此時,zmax=1+3=4,所以a4的最大值為4. ■

圖24

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