數(shù)與形是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個最古老的,也是最基本的研究對象,它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化,如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景,而借助其背景圖形的性質(zhì),可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體,以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論.可見數(shù)形結(jié)合,不僅是一種重要的解題方法,也是一種重要的思維方法.
作為一種數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為以下兩種情形:第一,借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性,即“以數(shù)解形”;第二,借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系,即“以形助數(shù)”.
■ 以數(shù)解形
當(dāng)我們探究幾何問題的解題思路受阻,或雖有辦法但很艱難時,我們常常考慮能否將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,而轉(zhuǎn)化的常用方法是解析法即建立坐標(biāo)系;還可引進(jìn)復(fù)平面用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識解決,綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法,??傻玫胶啙嵉慕夥? 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應(yīng)用.
■ 如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于圓E,E為圓心,AC⊥BD,AC,BD交于點O,G為CD邊上的中點,EF⊥AB,垂足為F,求證:OG=EF.
■
圖1
思路點撥 本題用幾何的方法證明不易,可考慮用解析法,適當(dāng)建立坐標(biāo)系,將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征,所以巧妙利用這一性質(zhì)就可以闡明“形”的某些屬性,從而準(zhǔn)確澄清“形”的模糊,使問題得以解決.
破解 以兩條對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,如圖2.
設(shè)點A,B,C,D的坐標(biāo)分別為(-a,0),(0,-b),(c,0),(0,d). 由F,G分別為AB,CD的中點,知F-■,-■,G■,■.
■
圖2
又E同時在AC,BDlSes6GrLmCqH6ZV/SWBSuA==的垂直平分線上,所以E■,■.
由兩點間的距離公式可得EF=OG=■.
■ 如圖3,已知平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F(xiàn),O分別為PA,PB,AC的中點,AC=16,PA=PC=10.
■
圖3
(1)設(shè)G是OC的中點,證明:FG∥平面BOE;
(2)證明:在△ABO內(nèi)存在一點M,使FM⊥平面BOE.
思路點撥 用空間向量法解立體幾何問題的一般步驟:
(1)建立合理的空間直角坐標(biāo)系.
①當(dāng)圖形中有三條兩兩垂直且共點的直線時,通常分別以這三條直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.
②當(dāng)圖形中沒有現(xiàn)成的兩兩垂直的三條直線時,可根據(jù)實際情況構(gòu)造出滿足條件的三條直線,如圖形中有直線與平面垂直時,可選擇這條直線與這個平面的兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸.
(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo). 求出圖形中與題目條件和結(jié)論相關(guān)的所有點的坐標(biāo).
(3)求出相關(guān)平面的一個法向量. 所有與平面相關(guān)的問題都是通過它的一個法向量來實現(xiàn)的.
(4)通過合理運算得到所需結(jié)論.
破解 連結(jié)PO,由題意可得OB,OC,OP兩兩垂直. 如圖4,以O(shè)為原點,射線OB,OC,OP為坐標(biāo)軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),B(8,0,0),A(0,-8,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(xiàn)(4,0,3),G(0,4,0).
■
圖4
(1)■=(4,-4,3),■=(0,-4,3),■=(8,0,0).
設(shè)n=(a,b,1)是平面BOE的一個法向量,則n·■=8a=0及n·■=-4b+3=0,所以a=0,b=■,n=0,■,1,所以n·■=0.
直線FG不在平面BOE內(nèi),所以FG∥平面BOE.
(2)設(shè)△ABO內(nèi)滿足條件的點M的坐標(biāo)為M(x,y,0),則■=(x-4,y,-3),由于FM⊥平面BOE,由■·■=0,■·■=0得-4y+3×(-3)=0,8(x-4)=0,即x=4,y=-■. 所以在△ABO內(nèi)存在點M4,-■使FM⊥平面BOE.
■ 已知m>1,直線l:x-my-■=0,橢圓C:■+y2=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H. 若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.
■
圖5
思路點撥 題設(shè)所描述的語言都非常形象直觀,同學(xué)們很容易就能畫出對應(yīng)的圖形,但是要求出實數(shù)m的范圍,卻不是靠看圖就能看出來的,這需要我們把圖形語言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語言,然后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運算來求得m的精確范圍.
破解 不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則重心G的坐標(biāo)為■,■,重心H的坐標(biāo)為■,■,則GH2=■+■. 設(shè)M是GH的中點,則M■,■.
由題知原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),我們可將此“形”的信息翻譯為“數(shù)”的不等式:2MO 即可得4■■+■■<■+■,也即x1x2+y1y2<0(?鄢). 從(?鄢)式我們聯(lián)想到了韋達(dá)定理,于是聯(lián)立方程x=my+■,■+y2=1,消去x得2y2+my+■-1=0. 因為Δ=m2-8■-1=-m2+8>0,解得m2<8,且有y■+y■=-■,y■y■=■-■,所以x1x2+y1y2=my1+■my2+■+y1y2=(m2+1)■-■. 將其代入(?鄢)式得■-■<0,解得m2<4. 又因為m>1且Δ>0,所以1 ■ 1.一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”,封閉區(qū)域邊界曲線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”,下面四個平面區(qū)域(陰影部分)的周率從左到右依次記為τ1,τ2,τ3,τ4,則下列關(guān)系中正確的為( ) ■ 圖6 A. τ1>τ4>τ3 B. τ3>τ1>τ2 C. τ4>τ2>τ3 D. τ3>τ4>τ1 2. 如圖7,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. ■ 圖7 (1)證明:AP⊥BC. (2)在線段AP上是否存在點M,使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在,求出AM的長;若不存在,請說明理由. 3. 如圖8,過橢圓■+■=1的右焦點M任作一條直線l與橢圓相交于A,B兩點,設(shè)N(2■,0),連結(jié)AN,BN. 求證:∠ANM=∠BNM. ■ 圖8 ■ 以形解數(shù) 由于圖形具有生動性和直觀性的特點,恰當(dāng)?shù)乩脠D形就能使得復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而使問題靈活、簡潔、準(zhǔn)確地獲解.說白了,就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來研究,思路與方法便在圖形中直觀顯示出來,不僅可以加深對數(shù)量關(guān)系的理解,而且還能簡化運算過程,起到事半功倍的效果. 1. 利用圖形研究方程或不等式的解 解方程或不等式時,如果方程或不等式兩邊表達(dá)式有明顯的幾何意義,或通過某種方式可與圖形建立聯(lián)系,則可設(shè)法構(gòu)造圖形,將方程或不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個特定的問題,可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.” ■ 解不等式3x-2+3x+1≤6(x∈R). 思路點撥 本題如果直接解不等式,需要進(jìn)行分類討論,而考慮幾何意義,其解法極為簡潔. 破解 設(shè)z=3x,則在數(shù)軸上z-2+z+1≤6的圖形是以■為中點,長度為6的一條線段,兩端點分別為-■,■,所以-■≤3x≤■,即原不等式的解集為-■,■. ■ 解關(guān)于x的不等式■≥a-x. 思路點撥 本題若試圖化無理不等式為有理不等式,可能會有很多同學(xué)弄不清分類的標(biāo)準(zhǔn);而若能轉(zhuǎn)變思路,運用數(shù)形結(jié)合的思想則可以幫助我們明確分類標(biāo)準(zhǔn),從而簡化討論. 破解 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=■和y=a-x的圖象,即一個半圓(x-1)2+y2=4(y≥0)和一條直線(如圖9). ■ 圖9 a為直線在y軸上的截距,直線和半圓相切時,算得a=1+2■,根據(jù)直線與半圓的交點情況,結(jié)合a的取值范圍,得 ①當(dāng)a≤-1時,有-1≤x≤3.
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版2013年4期