張景富 張德兵 張 強(qiáng) 岳宏野 王 博 楊金龍

（東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

注水泥施工結(jié)束后，水泥漿通過(guò)凝結(jié)與硬化形成水泥環(huán)，將套管和地層膠結(jié)在一起組成了套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體，實(shí)現(xiàn)水泥環(huán)的封固作用。因此，油氣井施工外載荷作用下，套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體的承載能力決定了水泥環(huán)的封固可靠性。就組成固結(jié)體的材料及結(jié)構(gòu)特征而言，由于水泥環(huán)、水泥環(huán)與套管及地層膠結(jié)界面的強(qiáng)度極限及變形能力遠(yuǎn)低于套管，因此載荷作用下套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體的承載能力將取決于水泥環(huán)界面產(chǎn)生的荷載響應(yīng)狀況，過(guò)高的載荷作用下可能會(huì)造成水泥環(huán)膠結(jié)界面脫開(kāi)、水泥環(huán)內(nèi)部出現(xiàn)裂紋等結(jié)構(gòu)破壞形式，危及套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體的結(jié)構(gòu)完整性［1～5］。顯然，當(dāng)水泥環(huán)膠結(jié)界面脫開(kāi)或水泥環(huán)本體遭到破壞時(shí)，以往力學(xué)模型建立過(guò)程中有關(guān)接觸聯(lián)結(jié)變形連續(xù)的假設(shè)將不再成立，由此所獲得的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度將受到影響。因此，需要建立能夠有效模擬加載與卸載作用下水泥環(huán)界面接觸與分離狀態(tài)的力學(xué)模型，以便更準(zhǔn)確地反映井下實(shí)際工況條件下套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，為評(píng)價(jià)井下載荷作用下固結(jié)體結(jié)構(gòu)完整性狀態(tài)提供力學(xué)依據(jù)。為此，依據(jù)力學(xué)原理及有限元理論，在分析套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體力學(xué)作用關(guān)系的基礎(chǔ)上，考慮加載與卸載不同載荷作用、地應(yīng)力的合理加載方式［5］、載荷作用下水泥環(huán)膠結(jié)界面接觸與分離狀態(tài)、載荷作用下水泥環(huán)存在的彈塑性變形形式，建立了固結(jié)體接觸有限元力學(xué)模型，分析了水泥環(huán)彈性常數(shù)對(duì)固結(jié)體結(jié)構(gòu)完整性的影響規(guī)律，為合理設(shè)計(jì)水泥環(huán)力學(xué)性能參數(shù)及施工作業(yè)參數(shù)提供依據(jù)，為實(shí)施高質(zhì)量固井施工及保障油氣井正常生產(chǎn)提供技術(shù)支持。

1 套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體接觸有限元力學(xué)模型

油氣井套管試壓、壓裂等管內(nèi)加壓施工作業(yè)過(guò)程中，在套管內(nèi)加壓、卸壓及地應(yīng)力作用下套管與水泥環(huán)固結(jié)組合體（圖1a）將產(chǎn)生應(yīng)力與變形響應(yīng)。依據(jù)力學(xué)原理和有限元理論可以建立任意井深套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體的平面應(yīng)變力學(xué)模型，采用PLANE183 平面應(yīng)變單元，對(duì)套管—水泥環(huán)—地層進(jìn)行單元離散，并選取1/2 模型進(jìn)行分析（圖1b）。分析過(guò)程中，為了提高單元精度，以原4 節(jié)點(diǎn)矩形單元為基礎(chǔ)，在矩形的每邊中點(diǎn)各增加1 個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成8節(jié)點(diǎn)矩形單元，有16 個(gè)自由度。

圖1 套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體及其有限元模型

考慮到載荷作用下，固結(jié)體內(nèi)水泥環(huán)材料存在彈塑性線性與非線性變形問(wèn)題，可以采用微增量形式將彈塑性應(yīng)力增量和應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系近似地表示為

式中，Δσ 為應(yīng)力增量；Δε 為應(yīng)變?cè)隽?；Dep為彈塑性矩陣，它是單元當(dāng)時(shí)應(yīng)力水平的函數(shù)，與增量無(wú)關(guān)。因此，式（1）可以看作是線性的。

實(shí)際上，在固結(jié)體加載初期，固結(jié)體內(nèi)部產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變是彈性的，因此可以用線性彈性理論進(jìn)行計(jì)算。但如果開(kāi)始有單元進(jìn)入屈服，就應(yīng)采取式（1）的增量加載方式，實(shí)現(xiàn)線性化處理的目的。即在具備一定的應(yīng)力σ0、應(yīng)變?chǔ)?和位移δ0的基礎(chǔ)上，逐步增加載荷，使每次增加的載荷適當(dāng)小，實(shí)現(xiàn)用系列線性問(wèn)題替代求解非線性問(wèn)題。對(duì)于卸載過(guò)程，只要將彈性矩陣D 代替彈塑性矩陣Dep即成為線性彈性問(wèn)題。對(duì)于載荷增量和應(yīng)變?cè)隽縿偤锰幱谟蓮椥赃M(jìn)入塑性的過(guò)渡區(qū)域的單元，其彈塑性矩陣Depa不同于彈性矩陣D 和彈塑性Dep矩陣

式中，m 為單元應(yīng)力達(dá)到屈服所需等效應(yīng)變?cè)隽颗c本次載荷增量所引起等效應(yīng)變?cè)隽恐取?/p>

對(duì)于通過(guò)n 次加載增量方式完成的加載，平衡方程可表達(dá)為如下形式

其中

式中，ΔFn為加載增量，Δσn、Δεn、Δδn分別為第n 次施加的應(yīng)力、應(yīng)變和位移增量；σn-1、εn-1、δn-1分別為第n 次加載前一次（即n-1 次）原有的應(yīng)力、應(yīng)變和位移量；σn、εn、δn分別為第n 次加載后的應(yīng)力、應(yīng)變和位移量；Kn-1為第n-1 次加載后具有的單元?jiǎng)偠染仃?，由彈、塑性矩陣?jì)算。

當(dāng)考慮水泥環(huán)界面膠結(jié)強(qiáng)度對(duì)固結(jié)體應(yīng)力應(yīng)變的影響時(shí)，界面膠結(jié)力學(xué)關(guān)系可以描述為

式中，σ 為界面法向接觸應(yīng)力（拉伸）；kn為界面法向接觸剛度，由加載初期線彈性段斜率確定；u 為界面接觸間隙；dn為界面分離系數(shù)。

載荷作用下，界面撕開(kāi)階段始于法向接觸應(yīng)力達(dá)到界面膠結(jié)強(qiáng)度的時(shí)刻，此后，界面接觸間隙逐漸增大，當(dāng)法向接觸應(yīng)力為0 且界面存在間隙時(shí)，界面完全撕開(kāi)。

上述分析結(jié)果表明，載荷作用下套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體的承載能力及結(jié)構(gòu)完整性主要取決于兩個(gè)方面，其一是水泥環(huán)第一、二膠結(jié)界面的承載能力，當(dāng)施加于膠結(jié)界面的應(yīng)力高于界面膠結(jié)強(qiáng)度或受拉伸撕裂狀態(tài)時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生膠結(jié)界面破壞；其二是水泥環(huán)本體的承載能力，當(dāng)外載荷超過(guò)水泥石的強(qiáng)度極限時(shí)，水泥環(huán)將產(chǎn)生強(qiáng)度破壞。

2 水泥環(huán)彈性參數(shù)的影響

利用上述有限元模型對(duì)套管內(nèi)加載與卸載后水泥環(huán)界面應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算（計(jì)算中約定：壓應(yīng)力為正值，拉應(yīng)力為負(fù)值）。計(jì)算過(guò)程中參照相關(guān)油田實(shí)際選取了條件參數(shù)，其中，井眼直徑241.3 mm，套管直徑177.8 mm，套管壁厚12.65 mm，井壁圍巖地層半徑1 m；套管彈性模量210 GPa，泊松比0.3；水泥環(huán)抗壓強(qiáng)度23.51 MPa，第一界面膠結(jié)強(qiáng)度1.57 MPa，第二界面膠結(jié)強(qiáng)度0.18 MPa；地層巖石彈性模量24 GPa，泊松比0.25。

2.1 彈性模量的影響

圖2、圖3 給出了水泥環(huán)屈服強(qiáng)度16 MPa、泊松比0.178、地應(yīng)力20 MPa 套管內(nèi)施加31 MPa 及地應(yīng)力2 MPa 套管內(nèi)施加70 MPa 載荷作用條件下水泥環(huán)彈性模量對(duì)加載與卸載后界面接觸壓力的影響曲線。

圖2 地應(yīng)力20 MPa、套管內(nèi)加載31 MPa 條件下 水泥環(huán)彈性模量對(duì)膠結(jié)界面接觸壓力的影響

圖3 地應(yīng)力2 MPa、套管內(nèi)加載70 MPa 條件下 水泥環(huán)彈性模量對(duì)膠結(jié)界面接觸壓力的影響

由圖2、圖3 可以看出，套管內(nèi)加載后，不同地應(yīng)力、套管內(nèi)壓載荷條件下，水泥環(huán)第一界面接觸壓力始終高于第二界面接觸壓力；隨水泥環(huán)彈性模量增加，第一、第二界面的接觸壓力初期增幅較大而后期趨于平緩。產(chǎn)生上述結(jié)果可能是由于水泥環(huán)彈性模量增加，水泥環(huán)抗擠剛度增強(qiáng)，水泥環(huán)本體承擔(dān)來(lái)自套管的應(yīng)力隨之增大，受力后徑向變形量減小，導(dǎo)致與水泥環(huán)相鄰的第一、第二界面的接觸壓力也增大；當(dāng)水泥環(huán)彈性模量達(dá)到一定程度后，水泥環(huán)能承擔(dān)套管傳遞來(lái)的應(yīng)力將達(dá)到一個(gè)上限值，隨彈性模量繼續(xù)增加承擔(dān)套管傳遞來(lái)的應(yīng)力不會(huì)有明顯改變，后期曲線趨于平穩(wěn)。

圖2、圖3 對(duì)比分析結(jié)果進(jìn)一步表明，對(duì)于不同的地應(yīng)力地層，水泥環(huán)接觸界面壓力大小有很大差別。高地應(yīng)力地層條件下，即便是對(duì)于相對(duì)較低的套管內(nèi)加載載荷（31 MPa），水泥環(huán)接觸界面所產(chǎn)生的接觸壓力也要高于低地應(yīng)力高套管內(nèi)加載載荷（70 MPa）條件下的水泥環(huán)界面接觸壓力。上述結(jié)果表明，套管內(nèi)加載后，載荷作用下水泥環(huán)在高地應(yīng)力地層比低地應(yīng)力地層時(shí)更易于產(chǎn)生強(qiáng)度破壞，水泥環(huán)彈性模量越高，水泥環(huán)產(chǎn)生強(qiáng)度破壞的可能性越大。

卸載后水泥環(huán)彈性模量對(duì)界面接觸壓力的影響與地應(yīng)力有很大關(guān)系。較高地應(yīng)力條件下，卸載后第一、第二界面的接觸壓力隨水泥環(huán)彈性模量增加呈增加趨勢(shì)。低地應(yīng)力條件下，第二界面接觸壓力隨彈性模量增加而增加，但第一界面接觸壓力受彈性模量的影響規(guī)律相對(duì)較復(fù)雜，接觸壓力最高點(diǎn)在6 GPa 左右，而最低點(diǎn)出現(xiàn)在30 GPa 左右；當(dāng)彈性模量達(dá)到15 GPa 時(shí)，第一界面接觸壓力已經(jīng)由壓力變?yōu)槔?，出現(xiàn)了界面被撕開(kāi)的趨勢(shì)；當(dāng)彈性模量為30 GPa 時(shí)，界面拉伸應(yīng)力已接近于第一界面的臨界破壞膠結(jié)強(qiáng)度，水泥環(huán)的完整性存在隱患。

綜上分析，水泥環(huán)的彈性模量較小時(shí)，變形能力強(qiáng)，載荷作用下不易于產(chǎn)生結(jié)構(gòu)破壞，卸載后抗撕裂能力較好。因此，工程中適當(dāng)選取低彈性模量水泥環(huán)對(duì)于保障水泥環(huán)結(jié)構(gòu)完整性是有利的。

2.2 泊松比的影響

圖4、圖5 給出了水泥環(huán)屈服強(qiáng)度10 MPa、彈性模量4.71 GPa、地應(yīng)力30 MPa 套管內(nèi)施加31 MPa和地應(yīng)力1 MPa 套管內(nèi)施加70 MPa 載荷作用條件下水泥環(huán)泊松比對(duì)加載與卸載后界面接觸壓力的影響曲線。

圖4 地應(yīng)力30 MPa、套管內(nèi)加載31 MPa 條件下水泥環(huán)泊松比對(duì)膠結(jié)界面接觸壓力的影響

圖5 地應(yīng)力1 MPa、套管內(nèi)加載70 MPa 條件下 水泥環(huán)泊松比對(duì)膠結(jié)界面接觸壓力的影響

由圖4、圖5 可見(jiàn)，加載后，第一界面接觸壓力大于第二界面接觸壓力。高地應(yīng)力地層加載條件下水泥環(huán)界面接觸壓力高于低地應(yīng)力地層條件下水泥環(huán)界面接觸壓力。泊松比增大，界面接觸壓力增加，且高地應(yīng)力地層條件下增加幅度較大。上述結(jié)果表明，高地應(yīng)力地層、高泊松比條件下，水泥環(huán)接觸界面壓力相對(duì)較高，更易于發(fā)生水泥環(huán)強(qiáng)度破壞。

卸載后，隨泊松比增大，界面接觸壓力也呈上升趨勢(shì)。高地應(yīng)力條件下，第一界面接觸壓力高于第二界面；低地應(yīng)力條件下，第一界面接觸壓力低于第二界面。對(duì)于圖4 的高地應(yīng)力地層加載條件，卸載后水泥環(huán)界面接觸壓力均保持為正值，說(shuō)明卸載過(guò)程中水泥環(huán)與套管及地層間能夠保持較好的接觸；但對(duì)于圖5 低地應(yīng)力加載條件，卸載后，第一、第二界面接觸壓力相對(duì)較低，特別是第一界面，當(dāng)泊松比較小時(shí)（小于等于0.178 時(shí)），界面接觸壓力變?yōu)槔鞈?yīng)力，界面存在撕開(kāi)的傾向，但隨著泊松比的增大，其接觸壓力由拉力變?yōu)閴毫Γf(shuō)明此種環(huán)境及載荷作用條件下泊松比較大時(shí)，水泥環(huán)抗撕開(kāi)的能力較強(qiáng)。

上述分析結(jié)果表明，水泥環(huán)泊松比對(duì)結(jié)構(gòu)完整性的影響與地應(yīng)力條件有很大關(guān)系。對(duì)于高地應(yīng)力地層環(huán)境，泊松比越小，其抗破壞的能力越強(qiáng)；而對(duì)于低地應(yīng)力地層，泊松比越大，膠結(jié)界面抗撕開(kāi)的能力越好。由此，在工程實(shí)際中設(shè)計(jì)和選擇水泥環(huán)泊松比時(shí)，應(yīng)根據(jù)井深等具體情況綜合考慮加載、卸載兩種載荷作用方式進(jìn)行優(yōu)選。

3 結(jié)論

（1）考慮膠結(jié)界面承載限度及水泥環(huán)彈塑性變形，建立了套管—水泥環(huán)—地層固結(jié)體接觸有限元力學(xué)模型。

（2）水泥環(huán)的彈性模量較小時(shí)，變形能力強(qiáng)，載荷作用下不易于產(chǎn)生結(jié)構(gòu)破壞，卸載后抗撕裂能力較好。工程中適當(dāng)選取低彈性模量水泥環(huán)對(duì)于保障水泥環(huán)結(jié)構(gòu)完整性是有利的。

（3）高地應(yīng)力地層環(huán)境，泊松比越小，其抗破壞的能力越強(qiáng)；低地應(yīng)力地層，泊松比越大，膠結(jié)界面抗撕開(kāi)的能力越好。應(yīng)根據(jù)井深等具體情況綜合考慮加載、卸載兩種載荷作用方式對(duì)泊松比進(jìn)行優(yōu)選。

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