常星星， 孔 瓊， 郭臏化

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255091)

負(fù)循環(huán)碼是一類重要的線性碼．它們具有很好的代數(shù)結(jié)構(gòu)、循環(huán)性，其編碼和譯碼可以利用線性移位寄存器來(lái)實(shí)現(xiàn)．尋找有限域上自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)之一．文獻(xiàn)[1]中研究了下列碼類：(1)有限域Fq上碼長(zhǎng)為2n的單根常循環(huán)碼；(2)Fq上碼長(zhǎng)為2n的單根自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼；(3)Fq上碼長(zhǎng)為2nps的重根常循環(huán)碼．目前Fq上碼長(zhǎng)為2nps的重根自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼尚未給出．本文將給出Fq上碼長(zhǎng)為2nps的重根自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼．

1 預(yù)備知識(shí)

引理1(文獻(xiàn)[1]中引理4和引理5)設(shè)n≥1，d≥2，c是奇數(shù)．

當(dāng)n≤d-1時(shí)，Sn+1={±1,±3,…，±3(2n-1-1)}．

2 主要結(jié)果

下面給出Fq上碼長(zhǎng)為2nps的所有重根自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼．

定理1設(shè)n≥1，s≥1，q=1+2dc，d≥2，c為奇數(shù)．

1)如果n≥d，那么Fq上碼長(zhǎng)為2nps的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有(ps+1)2d-2個(gè)：

2)如果n≤d-1，那么Fq上碼長(zhǎng)為2nps的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有(ps+1)2n-1個(gè)：

又因?yàn)楫?dāng)s取遍集合Sn+1，-s也取遍集合Sn+1，所以，

2)類似可以證明當(dāng)n≤d-1的情況成立．

定理2設(shè)n≥1，s≥1，q=-1+2dc，d≥2，k=1，c為奇數(shù)．

1)如果d=2，那么Fq上碼長(zhǎng)為2nps的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有(ps+1)2d-2個(gè)：

2)如果n≥d≥3，那么Fq上碼長(zhǎng)為2nps的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有(ps+1)2d-2個(gè)：

3) 如果n≤d-1,d≥3，那么不存在Fq上碼長(zhǎng)為2nps自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼．

證明1)和 2)同定理1中的證明類似.

3)如果n≤d-1,d≥3，設(shè)C=〈g(x)〉為Fq上碼長(zhǎng)為2nps的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼，由引理1得

其中0≤j3i≤ps，那么

當(dāng)q=5時(shí)，M1(x)=x2n-1-2，M-1(x)=x2n-1+2；當(dāng)q=3時(shí)，M1(x)=x2n-1-x2n-2-1，M-1(x)=x2n-1+x2n-2-1．根據(jù)定理1和定理2得到下面推論.

推論11)設(shè)q=5，對(duì)任何n≥1，s≥1，F(xiàn)5上碼長(zhǎng)為2n5s的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有5s+1個(gè)：〈(x2n-1-2)v0(x2n-1+2)5s-v0〉，0≤v0≤5s．

2)設(shè)q=3,對(duì)任何n≥2,s≥1，F(xiàn)3上碼長(zhǎng)為2n3s的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有3s+1個(gè)：

〈(x2n-1-x2n-2-1)v0(x2n-1+x2n-2-1)3s-v0〉，0≤v0≤3s．

例 當(dāng)n=1，s=1，那么F5上碼長(zhǎng)為10的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼有6個(gè)，詳情見(jiàn)表1.

表1 F5上碼長(zhǎng)為10的自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼

[1]Gurmeet K．Bakshi, Madhu Raka．A class of constacyclic codes over a finite field[J]．Finite Fields Appl．2012，18: 362-377．

[2]王開(kāi)洪．關(guān)于常循環(huán)碼[J]．渝西學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，1(2):10-12．

[3]馮克勤.糾錯(cuò)碼的代數(shù)理論[M]．北京:清華大學(xué)出版社，2005:56-57．

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