盧勤勤, 李新民, 張 霞

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255091； 2. 青島大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266071； 3. 山東省淄博市公路管理局, 山東 淄博 255000)

Weibull分布廣泛應(yīng)用于可靠性工程,是可靠性工程中重要的分布,其概率密度為

(1)

其中λ>0為尺度參數(shù),k>0為形狀參數(shù).其在t時刻的可靠度函數(shù)

對于單個Weibull分布型元件的定時結(jié)尾數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)的置信區(qū)間已得到較好解決[1],但對于有兩個Weibull分布型元件組成的串聯(lián)系統(tǒng),卻極少有文獻(xiàn)對其系統(tǒng)可靠性的置信區(qū)間進(jìn)行研究.本文將基于Weerahandi[2]的廣義樞軸量和廣義置信區(qū)間的概念,建立系統(tǒng)可靠性的廣義置信區(qū)間.因此,本文中對廣義樞軸量和廣義置信區(qū)間的基本概念和理論進(jìn)行介紹,然后基于服從Weibull分布的兩個元件的定時結(jié)尾數(shù)據(jù)構(gòu)造了R(t)廣義樞軸量以及其廣義置信區(qū)間,并且在此基礎(chǔ)上,又討論了廣義置信區(qū)間的頻率性質(zhì).并從理論上證明了由廣義樞軸量所確定的可靠性的廣義置信區(qū)間就是頻率意義下的實(shí)際置信水平.

1 可靠性函數(shù)的廣義置信區(qū)間

1.1 串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

R(t)=R1(t)R2(t)=

1.2 廣義置信區(qū)間

由于討厭參數(shù)的存在,很難利用傳統(tǒng)的建立置信區(qū)間的方法得到精確的置信區(qū)間. Weerahandi[2]給出了廣義區(qū)間估計的概念.設(shè)X為觀測向量,其密度函數(shù)為f(x,ξ),ξ=(θ,η)為未知參數(shù),其中θ∈Θ為興趣參數(shù),η為討厭參數(shù).令T=t(X;x,ξ)是X,x和ξ的函數(shù),如果T滿足以下兩條性質(zhì)：

(i)?x,T的概率分布Px與未知參數(shù)無關(guān)；

(ii)若X=x,t(x;x,ξ)不依賴于討厭參數(shù)η,則稱T為廣義樞軸量.

于是,對給定的置信水平γ,任意給定x,可以定義θ的廣義置信區(qū)間.

1.3 基本構(gòu)造方法

其中，函數(shù)f(t)=ete-et,-∞

(2)

(3)

則，由Hannig等[6]知，μi和σi的Fiducial模型為

(4)

于是θ1+θ2的Fiducial模型為

(5)

(6)

由于求解可靠性R(t)的廣義樞軸量的精確分布比較困難,下面給出了計算廣義置信區(qū)間的模擬計算方法，步驟如下：

1)對于給定樣本數(shù)據(jù)Y1,Y2,…,Yn1和Y1,Y2,…,Yn2我們通過換元的方法,令Z=lnY得到服從極值分布的定時截尾壽命數(shù)據(jù)Z1,Z2,…,Zn1,Zn1+1,Zn1+2,…,Zn1+n2.

4)由以上數(shù)據(jù)及公式(5),計算Tθ1+θ2的觀測值為T(θ1+θ2)i.

5)將T(θ1+θ2)i由大到小排序,的到其順序統(tǒng)計量T(θ1+θ2)(1)

(exp(-T(θ1+θ2)(U)),exp(-T(θ1+θ2)(L))).

2 模擬計算

廣義置信區(qū)間的覆蓋率并不一定等于我們要求的置信水平,下面將通過數(shù)值模擬的方法研究所得可靠性函數(shù)R(t)的廣義置信區(qū)間的頻率性質(zhì).

對于由兩個獨(dú)立的Weibull元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，兩Weibull分布的樣本容量分別為n1=n2=10,并且當(dāng)形狀參數(shù)取值為k1=k2=1時,尺度參數(shù)分別為λ1=λ2=2,10；當(dāng)k1=k2=2時，尺度參數(shù)分別為λ1=λ2=2,置信水平為1-α=0.95，模擬次數(shù)為M=1 000次.在計算R(t)的廣義置信區(qū)間時，對于每一個樣本數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)極值分布的樣本容量均為N=1 000次.計算結(jié)果見表1.

表1 可靠性函數(shù)的廣義置信區(qū)間的覆蓋率

從表1中可以看出,可靠性函數(shù)的廣義置信區(qū)間覆蓋率比較穩(wěn)定,且當(dāng)尺度參數(shù)較大時比較接近真實(shí)的置信水平.

3結(jié)束語

本文對由兩個獨(dú)立的兩參數(shù)Weibull分布分別組成的串聯(lián)系統(tǒng),利用廣義樞軸量以及廣義置信區(qū)間的概念,將原樣本數(shù)據(jù)換元后得到服從極值分布的樣本數(shù)據(jù),構(gòu)造其所需要的Fiducial模型,建立了它的可靠性函數(shù)的廣義置信區(qū)間，并給出了計算R(t)的廣義置信區(qū)間的算法.模擬結(jié)果表明廣義置信區(qū)間的覆蓋率比較令人滿意.

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