姜 軍，王朝霞，卓 嘎，馮建尚，聶濤遠

(1.西藏大學工學院，西藏拉薩 850000;2.西藏大學學工處，西藏拉薩 850000)

在小波變換出現(xiàn)的十幾年里，小波分析以驚人的速度完成了理論建造過程，其應用領域也迅速從數(shù)學、信號分析拓展到物理、天文、地理、生物、化學等其他學科，并取得了出色的應用效果。在2－D圖像情況下，圖像大多信息包含在邊緣中，而小波變換只能反映“過”邊緣(Across Edge)特性，而無法表達“沿”邊緣(Along Edge)特性［1］。另外，圖像處理中一般采用的離散小波變換核只具有有限方向，即水平、垂直和對角，它顯然是各向同性(Isotropy)的，無法更精確地表達沿邊緣的方向?？梢娫趫D像處理中，最好能獲得比小波基表達能力更強的基函數(shù)，針對小波變換的上述缺點，Candès和Donoh于1999年提出了Curvelet變換的概念。而Curvelet僅是眾多多尺度幾何分析的一種方式。目前，提出的多尺度幾何分析方法主要有:Ridgelet變換、Curvelet變換、Bandelet變換等。不同X－let方法的出現(xiàn)，所能有效描述函數(shù)特征的不同方面，Ridgelet能有效地描述圖像的直線特征;Curvelet提出的初衷則是為了對高維空間中含奇異曲線或者曲面的函數(shù)進行“稀疏”表示1－4。

1 曲波變換理論

曲波變換實質(zhì)上是由脊波理論衍生而來。單尺度脊波變換的基本尺度s是固定的，而曲波變換則是在所有可能的尺度s≥0上進行分解，即利用多尺度脊波變換。曲波變換是由一種特殊的濾波過程和多尺度脊波變換組合而成。

下面采用圖例來對比說明小波變換對于奇異曲線描述的局限性，Curvelet變換是如何獲得曲線的“稀疏”表示。

圖1(a)表示了用二維可分離小波逼近圖像中奇異曲線的過程。由一維小波張成的二維小波基具有正方形的支撐區(qū)間，在不同的分辨率下，其支撐區(qū)間為不同尺寸大小的正方形，在第j個尺度的二維小波分解中，每一個小波局部化于一個相應的邊長為2－j×2－j的方形區(qū)域。由于通過邊緣的不連續(xù)性是空間分布的，這種不連續(xù)性會廣泛地和小波級數(shù)展開中的許多項“相交”，最終表現(xiàn)為小波不能“稀疏”表示線狀奇異性。而事實上，具有線或面奇異的函數(shù)在高維空間中非常普遍，如自然圖像沿邊緣的不連續(xù)性。在二維的情形，小波不能利用水平集的正則性，這是因為小波的正方形支集不隨圖像幾何而調(diào)整。

在二維情況，當圖像具有奇異曲線并且曲線是二次可微的，則曲波可以自適應地“跟蹤”奇異曲線。圖1(b)為用Curvelet逼近圖像中的奇異曲線的過程，其基的支撐區(qū)間表現(xiàn)為長條形，滿足尺度關系width=length，將這個關系稱為“各向異性尺度關系”(Anisotropy Sealing Relation)。從兩圖的比較可以看出，當尺度加細時，幾個“長條形”基的支撐區(qū)間就可以覆蓋整條奇異曲線，并且這種基還具有方向性，因而可以對曲線奇異性進行更稀疏的表示［2］。

圖1 小波和曲波的基結構對曲線的表示

第一代Curvelet變換的數(shù)字實現(xiàn)比較復雜，需要子帶分解、平滑分塊和Ridgele分析等一系列步驟，而且Curvelet金字塔的分解也帶來了巨大的數(shù)據(jù)冗余量，因此E.J.Candes等又提出了實現(xiàn)更簡單、更便于理解的第二代Curvelet變換算法［3－4］。即構建了新的曲波緊致框架，它是新的基于頻域的曲波實現(xiàn)方法，本質(zhì)上是含不連續(xù)C2曲線的對象的最優(yōu)稀疏表示。新框架直接從頻域進行多尺度分析，不再象脊波或第一代曲波變換那樣依賴幾何多尺度特性［5－6］。

圖2 離散曲波的頻域圖

第二代數(shù)字Curvelet變換的實現(xiàn)與第一代截然不同，但二者具有共同的體系結構。連續(xù)域中頻率窗Uj將頻域光滑地分成角度不同的環(huán)形，這種分割方法并不適合圖像的二維笛卡爾坐標系，因此，采用同中心的方塊區(qū)域Uj來替代，如圖2所示。

現(xiàn)定義笛卡爾坐標系中的頻率窗函數(shù)為Uj，l(ω)=Wj(ω)Vj(Sθlω)，其中

φ被定義為一維低通窗口的內(nèi)積

而 Sθ為剪切矩陣其中，θl并非等間距的，但是斜率是等間距的。

由此離散Curvelet變換定義為

2 魯棒數(shù)字圖像水印算法

曲波變換也是第二代小波變換，鑒于曲波能對二維乃至高維空間中含奇異曲線或者曲面的函數(shù)進行更“稀疏”地表示這一特性，國內(nèi)外眾多學者和研究人員嘗試將曲波變換應用于數(shù)字水印技術，希望利用曲波變換后具有多尺度和各向異性的特點，以提高水印系統(tǒng)的魯棒性。目前，在曲波域數(shù)字水印技術的研究中，有的研究者將水印信息嵌入到低頻系數(shù)中，有的選擇中高頻系數(shù)進行嵌入，還有的選擇多尺度的重要系數(shù)嵌入，取得了一些成果，但水印系統(tǒng)的魯棒性都不是很好。為此，提出了一種基于Curvelet變換的數(shù)字水印技術算法，算法首先對原始圖像進行曲波變換，再將水印圖像嵌入到曲波變換后的粗尺度系數(shù)中，在保證嵌入圖像的不可見性和魯棒性的前提下，尋找到了近乎最優(yōu)的水印嵌入位置和嵌入強度。并能通過一定的算法檢測出嵌入的水印圖像。

2.1 算法框圖

算法的系統(tǒng)框圖如下，圖3(a)是嵌入過程，而圖3(b)則是提取過程。

2.2 水印信號的嵌入與提取

選取標準的256×256的256灰度級Lena圖像作為原始圖像，21×21的含有“姜”文本字樣的二值圖像作為水印圖像，為獲得理想的效果，應該選擇較粗字體的文本圖像。載體圖像和水印圖像分別如圖4(a)、圖4(b)所示。選擇粗尺度層的系數(shù)進行嵌入，按照提出的水印嵌入和提取算法進行實驗，并計算嵌入水印后的載體圖像PSNR值和提取出的水印NC值來定量分析結果。具體的水印嵌入步驟如下:

圖3 曲波變換域水印嵌入和提取過程

(1)Curvelet變換。利用基于Wrapping的快速曲波變換(FDCvT)對原始圖像進行曲波變換，其中，參數(shù)nbscales表示曲波變換的尺度，包括從粗尺度層(coarsest level)、細尺度層(detailed level)和最優(yōu)尺度層(finest level)。默認值為(log2(min(M，N))－3)，M和N是圖像的像素值。

(2)嵌入。將水印序列嵌入到曲波變換后的粗尺度系數(shù)中，嵌入規(guī)則如式(3)所示

c'(i，j)(m，n)=c(i，j)(m，n)+alpha × w(k，l)(3)式中，c代表曲波系數(shù);w(k，l)是水印序列;alpha是嵌入強度因子，由用戶定義;c'表示嵌入水印序列后的系數(shù)。

(3)曲波反變換。將式(3)中的c'回送到cell類型曲波系數(shù)的低頻系數(shù)中，再做曲波反變換，就獲得了水印載體圖像，即含水印圖像。

曲波域水印提取是嵌入過程的逆過程，步驟如下:

1)Curvelet變換。利用基于Wrapping的快速曲波變換(FDCvT)對水印載體圖像和原始圖像分別進行曲波變換，得到5尺度的cell類型數(shù)據(jù)，其中粗尺度層系數(shù)是一個21×21的矩陣。

2)提取水印。選取兩幅圖像經(jīng)曲波變換后的粗尺度系數(shù)矩陣按式(4)進行判決，

式中，c'表示嵌入水印序列后的粗尺度系數(shù)矩陣;c表示原始圖像的粗尺度系數(shù)矩陣;alpha是嵌入的強度因子。當c'與c的差值大于等于alpha的一半時，wm_re就判決為1，否則判為0，這個判決結果矩陣就是恢復出來的水印圖像。

未受攻擊時，嵌入和提取水印的試驗結果如圖4所示。

圖4 基于曲波變換的數(shù)字水印嵌入和提取

2.3 不可見性測試

對比圖4(a)原始圖像和圖4(c)水印載體圖像，從肉眼幾乎無法辨識出兩者間的差別。從定量計算的結果得知，PSNR值為 55.76 dB，對比文獻［7］中Curvelet域無攻擊情況下PSNR值為50.12 dB，其性能有顯著提高。NC系數(shù)為0.993 5。該算法在保證能夠完整提取水印的同時，也滿足了水印算法不可見性要求。

2.4 魯棒性測試

數(shù)字水印算法的一個重要性能指標就是水印的抗干擾能力，即當被保護的信息經(jīng)過某種圖像處理后，嵌入的信息應能保持完整性，即不能被輕易的去除，并能以一定的正確概率被檢測到。為此，對嵌入水印后的圖像進行了多項魯棒性實驗，如下所示:

(1)JPEG壓縮攻擊。

圖5(a)QF為90%的JPEG攻擊后的加水印圖像;圖5(b)QF為90%的JPEG壓縮后提取的水印(NC=0.993 5);圖5(c)QF為70%的JPEG攻擊后的加水印圖像;圖5(d)QF為70%的JPEG壓縮后提取的水印(NC=0.990 2);圖5(e)QF為50%的犯EG攻擊后的加水印圖像;圖5(f)QF為50%的JPEG壓縮后提取的水印(NC=0.964 0);圖5(g)QF為30%的JPEG攻擊后的加水印圖像;圖5(h)QF為30%的JPEG壓縮后提取的水印(NC=0.925 6)。

圖5 抗JPEG壓縮攻擊實驗結果

(2)噪聲攻擊。

圖6(a)為高斯白噪聲攻擊后的加水印圖像;圖6(b)為高斯白噪聲攻擊后提取的水印(方差0.001;NC=0.9250);圖6(c)為椒鹽噪聲攻擊后的加水印圖像;圖6(d)為椒鹽噪聲攻擊后提取的水印(噪聲強度0.002;NC=0.950 6)。

(3)濾波攻擊。

圖6 抗噪聲攻擊實驗結果

圖7(a)為高斯低通濾波后的加水印圖像;圖7(b)為經(jīng)高斯低通濾波后恢復的水印圖像(模板尺寸為［3，3］;NC=0.957 0);圖7(c)為中值濾波后的加水印圖像;圖7(d)為經(jīng)中值濾波后恢復的水印圖像(模板尺寸為［3，3］;NC=0.873 0)。

圖7 抗濾波攻擊實驗結果

3 結束語

提出的基于曲波變換的數(shù)字水印算法在抵抗JPEG壓縮、噪聲攻擊、中值濾波等攻擊性能比文獻［7］有所提高，但抗旋轉攻擊性能卻較差。該算法將水印信息嵌入到曲波變換的粗尺度系數(shù)矩陣中，考慮到水印魯棒性和不可見性要求，選擇合理的嵌入強度，使得加水印圖像的不可見性較為理想。由于選擇代表了圖像絕大多數(shù)能量的低頻系數(shù)嵌入，因此文中算法的魯棒性也較強。

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［7］劉玉鳳.基于多尺度技術的數(shù)字圖像水印算法研究［D］.金華:浙江師范大學，2007.