劉金良

(南京財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,南京 210046)

(2012年8月18日收到;2012年9月20日收到修改稿)

1 引言

由于許多實際系統(tǒng),如internet、電力系統(tǒng)、智能交通網(wǎng)絡(luò)等都可以通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型進行描述,因此,近年來,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)成為研究熱點問題,受到物理、通信、計算機以及生命科學(xué)等領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[1?4].其中,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題更是備受關(guān)注.所謂復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步是指性質(zhì)相同或相近的兩個或多個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),通過系統(tǒng)間的相互作用,使得在不同初始條件下的各種演化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)逐漸接近,最后達到全同的狀態(tài).有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題已經(jīng)有很多研究成果.文獻[5]利用滑?？刂品▽σ?guī)則網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題進行了研究,針對一個混沌系統(tǒng)進行控制或驅(qū)使一個混沌系統(tǒng)同步于另一個混沌態(tài)的滑?？刂品ㄍ茝V到由多個混沌系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究中,同時設(shè)計了網(wǎng)絡(luò)滑模面以及控制輸入,并依據(jù)穩(wěn)定性理論分析了它們的有效性.基于網(wǎng)絡(luò)拆分思想并運用Lyapunov穩(wěn)定性理論,文獻[6]研究了一類具有非線性耦合的多重邊賦權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),給出了該類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步準(zhǔn)則.文獻[7]對一類具有不相同節(jié)點和非線性擾動的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題進行了研究,作者通過使用自適應(yīng)控制和脈沖控制的方法給出了具有更小保守性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù).

與此同時,在實際的動態(tài)系統(tǒng)中,很多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步受到時滯的影響,如通訊網(wǎng)絡(luò)總信號的傳播通常是有時滯的,病毒在傳播中也是存在一定的時滯的.而時滯可能導(dǎo)致復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)性能下降,甚至震蕩或不穩(wěn)定,因此,為了更好地模擬實際網(wǎng)絡(luò),在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模過程中,應(yīng)該充分考慮到時滯所到來的影響.文獻[8,9]通過使用Lyapunov穩(wěn)定性理論對一類具有耦合時滯的線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行了研究,給出了具有更小保守型的同步判據(jù).文獻[10]對一類具有耦合時滯的連續(xù)和離散的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動態(tài)系統(tǒng)的同步問題進行了研究,然后通過對時滯進行劃分的思想,借助分段分析的方法得到了時滯依賴的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的充分性判據(jù),由于該方法利用了更多的時滯信息,因此得到的結(jié)論具有更小的保守性.文獻[11]對一類具有隨機非線性和概率時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究了其族同步問題,然后基于隨機分析的理論得到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)時滯概率分布依賴的族同步判據(jù).

考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的復(fù)雜性,其動態(tài)系統(tǒng)的節(jié)點非線性是很難確定的,因此考慮其節(jié)點的隨機變化就變得很有意義.已經(jīng)有不少文獻對節(jié)點互異的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行了研究.文獻[12]對星形網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)進行了研究,結(jié)果表明隨著耦合強度的增大,網(wǎng)絡(luò)中相鄰結(jié)點的兩個系統(tǒng)之間存在相同步現(xiàn)象,而且相同步行為與定義的量化指標(biāo)之間存在較準(zhǔn)確的對應(yīng)關(guān)系.文獻[13]對節(jié)點結(jié)構(gòu)互異的離散型時空混沌系統(tǒng)構(gòu)成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的反同步問題進行了研究,通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù),確定了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中連接節(jié)點之間的耦合函數(shù)的結(jié)構(gòu)以及控制增益的取值范圍,進而發(fā)現(xiàn)整個網(wǎng)絡(luò)存在穩(wěn)定的混沌反同步現(xiàn)象.

基于上述討論,本文研究了具有隨機節(jié)點分布的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題,通過引入一個服從Bernulli分布的隨機變量來表示節(jié)點的隨機變化.通過使用Lyapunov穩(wěn)定性理論和隨機系統(tǒng)理論給出了該類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定的充分性判據(jù),其中,這些判據(jù)是以便于計算機matlab求解的線性矩陣不等式的形式給出.需要指出的是,該充分性判據(jù)不僅與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)時延有關(guān),還與節(jié)點結(jié)構(gòu)的概率分布有關(guān).

2 網(wǎng)絡(luò)模型與預(yù)備條件

考慮由N個節(jié)點構(gòu)成的連續(xù)復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò),每個節(jié)點是n維子系統(tǒng),其模型為

其中 xi(t)=(xi1(t),xi2(t),···,xin(t))T∈ Rn為第 i個節(jié)點的狀態(tài)變量;A,B是已知矩陣;f1(·),f2(·)∈Rn是連續(xù)可微的向量函數(shù);Γl∈Rn×n(l=1,2)是已知的常數(shù)正定對角矩陣,表示內(nèi)部耦合矩陣;G=(gij)∈RN×N是耦合配置矩陣,表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點間的耦合強度,其元素gij定義為:若在節(jié)點i和節(jié)點 j(i?=j)間有連接,則gij=gji＞0,否則gij=gji=0(i?=j).矩陣G的對角元素定義[11]為

τ(t)為時變時滯,滿足τ1≤τ(t)≤τ2,其中 0≤τ1≤τ2,這里時滯下界τ1可以為0;δ(t)服從Bernulli分布,定義如下:

假設(shè)δ(t)滿足

則

注1 與傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[3?5]不同的是,這里用服從Bernulli分布的隨機變量δ(t)來表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)孤立節(jié)點動力學(xué)行為的隨機變化.由δ(t)的定義可知,在復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)中,非線性函數(shù)f1(·)與 f2(·)按照 δ(t)進行隨機切換.

注2 系統(tǒng)模型(1)是具有一定代表性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型,首先該模型考慮了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點動力學(xué)行為的隨機變化,其次模型考慮了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的時滯,而且模型中既包含非時滯耦合項也包含時滯耦合項.

假設(shè)1 對任何u,v∈Rn,非線性函數(shù) f1(·)與f2(·)滿足以下扇形區(qū)域條件:

注3 由假設(shè)1可知

其中

?表示對稱矩陣所對應(yīng)的對稱元素(下同).

使用矩陣的Kronecker積,系統(tǒng)(1)可以重寫為緊湊形式:

其中

給出本文主要結(jié)論之前,首先給出如下引理.

引理1[14]對給定的τ1≤τ(t)≤τ2,x(t)∈Rn,以及任意的正定矩陣R∈Rn×n,有

引理2[15]假定0≤τm≤τ(t)≤τM,1,2以及?是已知的維數(shù)匹配矩陣,則

成立,當(dāng)且僅當(dāng)下面式子成立

3 主要結(jié)論

本節(jié)給出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(9)式同步的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.定義

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(9)式可以重寫為

定理1 對于給定的時滯信息0≤τ1＜τ2和節(jié)點概率分布信息δ0∈[0,1],系統(tǒng)(1)同步漸近穩(wěn)定,若存在正定矩陣P＞0,Q1＞0,Q2＞0,R1＞0,R2＞ 0,合適維數(shù)的矩陣 Ni,Mi(i=1,2,···,6),以及適當(dāng)維數(shù)的對角矩陣Λ1和Λ2,使得下面的線性矩陣不等式對s=1,2成立:

其中

證明 構(gòu)造如下形式的Lyapunov泛函:

其中V1(xt)=xT(t)P x(t),

則V(xt)沿系統(tǒng)(14)式求如下算子運算:

并對其取數(shù)學(xué)期望得:

由引理1可知

而

由假設(shè)1和注3,存在對角陣Λ1和Λ2使得下式成立

應(yīng)用自由權(quán)矩陣,有

注意到存在矩陣R2,使得

將(22)和(23)式代入(17)式的右邊,結(jié)合(18)—(25)式,可得

由(15)式可知,當(dāng)s=1,2,利用Schur補引理,可得

再由引理2,可得

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論,系統(tǒng)(14)式同步漸近穩(wěn)定,于是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)是同步漸近穩(wěn)定的.

注4 由定理1可以看出,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的同步漸近穩(wěn)定不僅依賴于狀態(tài)時延τ1,τ2,還依賴于節(jié)點結(jié)構(gòu)的概率分布.

下面給出上面結(jié)果的一個特例,其證明類似定理1的證明.

當(dāng)δ(t)=1,也即不考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的隨機節(jié)點結(jié)構(gòu)的變化,此時系統(tǒng)(1)退化成

利用Kronecker積,系統(tǒng)(30)式可以重寫為下面緊湊形式:

定義

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(31)式可以重寫為

類似于定理1,構(gòu)造如下Lyapunov泛函

使用自由權(quán)矩陣N和M:

可以得到如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(30)式同步的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

定理2 對于給定的時滯信息0≤τ1＜τ2,系統(tǒng)(30)同步漸近穩(wěn)定,若存在正定矩陣P＞0,Q1＞0,Q2＞0,R1＞0,R2＞0,合適維數(shù)的矩陣Ni,Mi(i=1,2,···,5) 以及適當(dāng)維數(shù)的對角矩陣Λ,使得下面的線性矩陣不等式對s=1,2成立:

其中

4 數(shù)值仿真

考慮如下具有5個節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),每個節(jié)點的動力學(xué)行為通過如下系統(tǒng)來描述:

其中

假設(shè)外部耦合矩陣與內(nèi)部耦合矩陣可以分別通過如下形式給出:

當(dāng)節(jié)點的概率分布δ0=0.7,令時滯下界τ1=0.1,通過定理1,通過使用matlab的LMI工具箱求解(15)式可得,時滯上界τ2=1.3,并且對不同的節(jié)點概率分布δ0,當(dāng)τ1=0.1時,可以分別得到對應(yīng)的時滯上界τ2(見表1).

選擇如下初始條件:

當(dāng) τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6,可得圖 1 和圖 2 仿真曲線.其中,圖1給出了時滯τ(t)的變化規(guī)律,圖2給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(9)式的狀態(tài)相應(yīng)曲線,其中xj(i=1,2,···,5;j=1,2)表示第 i個節(jié)點的第j個狀態(tài),由該曲線可以看出該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以很快達到同步.

圖1 當(dāng)τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時,時滯τ(t)的變化曲線

表1 對于不同的δ0(τ1=0.1),系統(tǒng)所允許的最大時滯τ2

圖2 當(dāng)τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)狀態(tài)曲線

上面的算例里面,我們僅選擇N=5,隨著節(jié)點的增多,上面結(jié)論也能很好地使得系統(tǒng)達到同步.如其他條件不變,當(dāng)N=10,外部耦合矩陣

當(dāng)初始狀態(tài)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(9)式的狀態(tài)相應(yīng)曲線如圖3所示.

圖3 當(dāng)τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)狀態(tài)曲線

5 結(jié)論

本文對一類具有隨機節(jié)點分布的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題進行了研究.借助Lyapunov穩(wěn)定性理論和隨機系統(tǒng)理論給出了該類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定的充分性判據(jù).其中,這些判據(jù)是以便于計算機matlab求解的線性矩陣不等式的形式給出.仿真算例表明了本文方法的有效性.

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