管訓(xùn)貴，錢中秋，余莎莎，陳云蕓，曹春芳

(泰州學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州225300)

丟番圖方程:x3±1=Dy2(D＞0，D無平方因子)，是一類重要的丟番圖方程，其整數(shù)解已有不少人研究過［1－5］．本文利用遞歸序列、同余式、平方剩余、Pell 方程的解的性質(zhì)證明了．

定理1 丟番圖方程:

僅有整數(shù)解(x，y)=(1，0)．

引理1［6］丟番圖方程x4－3y2=1 無正整數(shù)解．

引理2［6］丟番圖方程x2－3y4=1 僅有正整數(shù)解x=2，y=1 和x=7，y=2．

定理證明:因為gcd(x－1，x2+x+1)=1 或3，故方程(1)給出以下8 種可能的分解:

①x－1=481u2，x2+x+1=v2，y=uv，gcd(u，v)=1;②x－1=u2，x2+x+1=481v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

③x－1=13u2，x2+x+1=37v2，y=uv，gcd(u，v)=1;④x－1=37u2，x2+x+1=13v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

⑤x－1=1443u2，x2+x+1=3v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;⑥x－1=3u2，x2+x+1=1443v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;

⑦x－1=39u2，x2+x+1=111v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;⑧x－1=111u2，x2+x+1=39v2，y=3uv，gcd(u，v)=1．

以下討論這8 種情況所給的方程(1)的整數(shù)解．

對于情形① 解第二式，得x=0，－1，均不適合第一式，故該情形方程(1)無整數(shù)解．

因為u2≡0，1，4(mod8)，利用同余的性質(zhì)可知情形②，③，④不成立．

對于情形⑤ 將第一式代入第二式得(2v)2－3(962u2+1)2=1，故有:

若n≡0(mod2)，則yn≡0(mod2)，此時式(2)不成立;若n≡3(mod4)，則yn≡7(mod8)，由式(2)知:2u2≡6(mod8)，即u2≡3(mod4)，這也不可能;所以必有:n≡1(mod4)．令n=4k+1(k∈Z)，容易驗證下列各式成立:

將n=4k+1 及式(4)～(6)代入式(2)得:962u2=y4k+1－1=2x2k+1y2k，即:

又因為gcd(x2k+1，y2k)=gcd(2x2k+3y2k，y2k)=gcd(2x2k，y2k)=gcd(2，y2k)=2，所以下列情形之一成立:

由式(9)的第二式得:xkyk=b2，考慮到gcd(xk，yk)=1，有xk=s2，yk=t2，故(s2)2－3t4=1，根據(jù)引理3 知，s2=1，此時xk=1，則k=0，但由式(9)的第一式知，x1≠26pa2，所以方程(1)無整數(shù)解．

由式(10)的第二式得:xkyk=37b2，考慮到gcd(xk，yk)=1，有:

或:

若式(12)成立，則:

由引理2 知，方程式(14)僅有整數(shù)解(s，t)= (±1，0)，此時y2k=0，則k=0． 但由式(11)的第一式知，x1≠26a2，所以方程(1)無整數(shù)解．

若式(13)成立，則:

由引理3 知，方程(15)僅有整數(shù)解(p，s，t)=(7，±1，±2)和(2，±1，±1)，但p=37，不可能．

由式(11)的第二式得:xkyk=13b2，仿式(10)的討論知，不可能． 故該情形方程(1)無整數(shù)解．

對于情形⑥ 將第一式代入第二式得:3(2u2+1)2－481(2v)2=－1，故有3(2u2+1)2≡－1(mod13)，解得u2≡7，5(mod13)．但模13 的Legendre 符號(7/13)=(5/13)=－1，故該情形方程(1)無整數(shù)解．

對于情形⑦ 將第一式代入第二式得3(26u2+1)2+1=148v2，則有37v2≡1(mod13)，但(37/13)= (11/13)=(2/11)=－1，故該情形方程(1)無整數(shù)解．

對于情形⑧ 由第二式得:

因為方程X2－39Y2=－3 有一個結(jié)合類解，其基本解為而Pell 方程U2－39V2=1 的基本解為25，故方程(16)的全部整數(shù)解為:

因此有:

但Un為奇數(shù)，所以式(17)不成立．故該情形方程(1)無整數(shù)解．綜上，丟番圖方程(1)僅有整數(shù)解(x，y)=(1，0)．證完．

［1］ 柯召，孫琦．關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2［J］．中國科學(xué)，1981，24(12):1453－1457．

［2］ 柯召，孫琦．關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2［J］．四川大學(xué)學(xué)報，1981，18(2):1－5．

［3］ 羅明．關(guān)于不定方程x3±1=14y2［J］．重慶交通學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，1995，41(3):112－115．

［4］ 羅明，黃勇慶．關(guān)于不定方程x3－1=26y2［J］．西南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，29(6):5－7．

［5］ 韓云娜．關(guān)于Diophantine 方程x3－1=38y2［J］．科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10(1):169－171．

［6］ 曹珍富．丟番圖方程引論［M］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989．