王永亮，王國誠，馬 麗，郝 耐

（1.清華大學(xué) 土木工程系，北京 100084；2.天津城市建設(shè)學(xué)院 土木工程系，天津 300384；3.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083）

0 引 言

大跨度空間結(jié)構(gòu)中的施威德勒型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)具有造型新穎、自重小、承載力大、受力合理、用料經(jīng)濟(jì)、施工便捷等優(yōu)點(diǎn)，是具有廣闊發(fā)展前景的新型結(jié)構(gòu)形式。目前，對該結(jié)構(gòu)形式的動力特性研究相對較少，相關(guān)理論尚有欠缺，采用較多的是照搬早期網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的理論。有限元法出現(xiàn)之前，將網(wǎng)殼看成是連續(xù)化的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析［1］，這樣求解的結(jié)果既不經(jīng)濟(jì)又不準(zhǔn)確；有限元法出現(xiàn)之后，可以進(jìn)行大規(guī)模計(jì)算，對實(shí)際工程中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行全過程分析，得到相對可靠的結(jié)果。雙層網(wǎng)殼不易發(fā)生失穩(wěn)破壞，但單層網(wǎng)殼整體相對較薄，剛度差，容易失穩(wěn)，穩(wěn)定性分析的重要性就凸顯出來［2－5］。目前，已有學(xué)者對此問題進(jìn)行了相關(guān)分析，研究取得了一定進(jìn)展。Shen等［6］、郭海山等［7］對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動力特性分析，討論了結(jié)構(gòu)失效機(jī)理；鄧長根等［8］對施威德勒型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的自振頻率、失穩(wěn)荷載之間的關(guān)系進(jìn)行討論，給出了相關(guān)擬合公式，并利用自振頻率來估計(jì)失穩(wěn)荷載；劉祚秋等［9］結(jié)合實(shí)際工程中施威德勒型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性屈曲分析，根據(jù)結(jié)果對原方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；楊飏等［10］討論了地震作用、桿件截面形式、屋面荷載等對結(jié)構(gòu)的影響；盧成江等［11］研究了初始幾何缺陷、荷載不對稱、材料非線性等對結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性影響；計(jì)靜等［12］采用非線性有限元理論對施威德勒型網(wǎng)殼的整體穩(wěn)定性進(jìn)行了全過程分析。本文中筆者對施威德勒型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析，并將特征值屈曲分析的模態(tài)作為初始幾何缺陷，進(jìn)一步進(jìn)行幾何非線性屈曲分析。

1 特征值方程

施威德勒型單層球面網(wǎng)殼線性和非線性振動、穩(wěn)定問題的控制方程均屬于常微分方程組特征值問題，其中需要求解的自振頻率、失穩(wěn)荷載對應(yīng)于特征值，振型、失穩(wěn)模態(tài)對應(yīng)于特征向量。下面分別對其理論進(jìn)行討論，在不考慮阻尼的影響時(shí)，可得到球面網(wǎng)殼的線性動力平衡方程［13］，即

式中：M 為質(zhì)量矩陣；K為考慮初始應(yīng)力矩陣影響的剛度矩陣；K0為球面網(wǎng)殼線性剛度矩陣；Kσ為球面網(wǎng)殼初始應(yīng)力矩陣；λ為荷載因子；U，U″分別為位移向量和加速度向量。

由式（1），（2）可得

式中：Ω為考慮初應(yīng)力矩陣影響的結(jié)構(gòu)自振頻率。

當(dāng)Ω＝0時(shí)，式（3）可以轉(zhuǎn)化為線性屈曲分析的特征值方程，即

式中：Ψ為失穩(wěn)模態(tài)因子。

此時(shí)，λ，Ψ分別對應(yīng)線性失穩(wěn)荷載和失穩(wěn)模態(tài)。

在網(wǎng)殼失穩(wěn)前階段，當(dāng)外荷載逐漸增加并趨于失穩(wěn)臨界荷載時(shí)，式（1）中正定的剛度矩陣K趨于非正定。當(dāng)外荷載達(dá)到失穩(wěn)臨界荷載時(shí)，剛度矩陣K為奇異矩陣。剛度矩陣K逐漸趨于奇異意味著與之對應(yīng)的結(jié)構(gòu)自振頻率Ω也逐漸趨于0。

非線性振動分析時(shí)，忽略結(jié)構(gòu)的阻尼，文獻(xiàn)［14］中的結(jié)構(gòu)動力平衡方程的增量形式可以表示為

式中：KT為球面網(wǎng)殼幾何非線性切線剛度矩陣；KN（λ）為球面網(wǎng)殼受荷載因子影響的網(wǎng)殼大位移剛度矩陣；ΔU，ΔU″分別為球面網(wǎng)殼位移增量向量和加速度增量向量。

由式（5），（6）可得

式中：ΩN為考慮結(jié)構(gòu)初應(yīng)力矩陣以及大位移剛度矩陣影響的結(jié)構(gòu)自振頻率。

當(dāng)ΩN＝0時(shí)，式（7）可以轉(zhuǎn)化為非線性屈曲分析的特征值方程，即

此時(shí)，λ，Ψ分別對應(yīng)非線性失穩(wěn)荷載和失穩(wěn)模態(tài)。

對球面網(wǎng)殼進(jìn)行特征值屈曲分析，可以先了解結(jié)構(gòu)屈曲的大致形狀，初步估計(jì)非線性屈曲的結(jié)果。特征值屈曲的失穩(wěn)模態(tài)可以為非線性屈曲提供很好的初始解，進(jìn)一步分析球面網(wǎng)殼的整體穩(wěn)定性。弧長法能很好地分析幾何非線性和邊界非線性問題，可以提供特征值屈曲分析的完整信息，具有穩(wěn)定可靠的超越極值點(diǎn)的能力，所以對上述問題進(jìn)行非線性分析時(shí)均采用弧長法。

2 固有振動特性

2.1 計(jì)算模型

筆者對60m跨度的施威德勒型單層球面網(wǎng)殼進(jìn)行分析，該結(jié)構(gòu)球面半徑為45m，Q235鋼管，桿件的阻尼比為0.023，固有振動特性分析時(shí)采用Rayleigh阻尼，鋼管的截面尺寸為120mm×4mm，均布質(zhì)量為200kg·m－2，鋼管的彈性模量E＝208GPa。

本文中網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的桿件只受拉或壓，不受剪力或彎矩作用。采用ANSYS進(jìn)行有限元分析時(shí)，選用Beam4單元來模擬球面網(wǎng)殼的桿件。Beam4單元是一種可用于承受拉、壓、彎、扭的單軸受力的空間單元，該單元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上有6個(gè)自由度，即x，y，z三個(gè)軸方向的線位移和繞x，y，z三個(gè)軸的角位移，其可用于計(jì)算應(yīng)力硬化及大變形的問題，故本文中采用Beam4單元是合適的，能夠很好地反映施威德勒型單層球面網(wǎng)殼中鋼管的實(shí)際工作狀態(tài)。建立的有限元模型如圖1所示。位移邊界條件為：周邊支座節(jié)點(diǎn)采用固定鉸支座，即固定支座節(jié)點(diǎn)處發(fā)生線位移。

2.2 固有振動特性分析

現(xiàn)通過上述模型進(jìn)行固有振動求解，進(jìn)而分析施威德勒型單層球面網(wǎng)殼的固有振動特性，對結(jié)構(gòu)前6階模態(tài)采用Block Lanzcos模態(tài)提取法進(jìn)行分析和提取，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率，如表1所示，其相應(yīng)的振型如圖2所示。分析結(jié)構(gòu)的自振頻率，可知第2階和第3階、第4階和第5階的自振頻率分別相等，而且從振型上來看，也是呈現(xiàn)出變形對稱關(guān)系，這是因?yàn)樵撌┩吕招蛦螌忧蛎婢W(wǎng)殼屬于對稱結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)了重頻。從圖2可以看出，第1階變形形式呈現(xiàn)出全面下陷的趨勢，在結(jié)構(gòu)主要變形中占有很大的比例，是該結(jié)構(gòu)應(yīng)該重點(diǎn)分析的變形模式。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite Element Model

表1 前6階自振頻率Tab.1 The First Six Natural Frequencies

圖2 前6階振型Fig.2 The First Six Vibration Modes

3 特征值屈曲分析

雙層網(wǎng)殼不易發(fā)生失穩(wěn)破壞，但單層網(wǎng)殼整體相對較薄，剛度差，容易失穩(wěn)，穩(wěn)定性分析就顯得十分重要。對球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析已經(jīng)取得了很大進(jìn)展，但初始幾何缺陷、荷載不對稱、材料非線性等對結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性影響進(jìn)行的探索還不夠。在結(jié)構(gòu)實(shí)際工作狀態(tài)下，多是條件十分復(fù)雜、環(huán)境相對多變的狀況，這就需要對結(jié)構(gòu)的非線性屈曲特性進(jìn)行分析。本文中擬對含有初始幾何缺陷的結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性屈曲分析，將初始幾何缺陷作為該結(jié)構(gòu)的特征值屈曲模態(tài)，通過考察特征值屈曲和非線性屈曲，找出施威德勒型單層球面網(wǎng)殼非線性屈曲的固有特性，討論非線性屈曲分析的必要性。

對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析，即線性穩(wěn)定分析，分析圖1中的有限元模型在均布荷載作用下的整體穩(wěn)定性。特征值屈曲分析分為3個(gè)步驟：①設(shè)置預(yù)應(yīng)力并執(zhí)行一次靜力分析；②計(jì)算屈曲模態(tài)；③擴(kuò)展屈曲模態(tài)。進(jìn)行靜力分析后，采用第2節(jié)中的Block Lanzcos模態(tài)提取法提取前4階屈曲模態(tài)，得到的屈曲荷載如表2所示，其相應(yīng)的屈曲模態(tài)如圖3所示。

表2 前4階屈曲荷載Tab.2 The First Four Buckling Loads

4 考慮初始幾何缺陷的非線性屈曲

現(xiàn)將特征值屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性屈曲分析，筆者在有限元非線性屈曲分析時(shí)采用的是常規(guī)的弧長法。采用該弧長法可以得到施威德勒型單層球面網(wǎng)殼整體穩(wěn)定的全過程荷載－位移曲線，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)非線性屈曲臨界荷載。本文中直接給出引入特征值屈曲失穩(wěn)模態(tài)后得到的前4階非線性屈曲荷載，如表3所示，其相應(yīng)的非線性屈曲模態(tài)如圖4所示。

結(jié)合第3節(jié)中得到的線性屈曲模態(tài)，得到非線性屈曲荷載差ΔPn，即

由圖5可以看出，當(dāng)ΔPn＞0時(shí)，即每階的非線性特征值屈曲荷載均小于相應(yīng)的線性屈曲荷載，表明僅對施威德勒型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性屈曲分析是不夠的，進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)存在穩(wěn)定性問題，應(yīng)進(jìn)行非線性屈曲分析或校核。

圖3 前4階線性屈曲模態(tài)Fig.3 The First Four Linear Buckling Modes

表3 前4階非線性屈曲荷載Tab.3 The First Four Nonlinear Linear Buckling Loads

5 結(jié)語

從本文中的分析可以看出，施威德勒型單層球面網(wǎng)殼非線性特征值屈曲荷載小于相應(yīng)的線性屈曲荷載，表明僅對該結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行整體線性穩(wěn)定分析是偏于不安全的，有必要進(jìn)行非線性穩(wěn)定分析。其線性屈曲荷載是相應(yīng)非線性特征值屈曲荷載的上界，可以用來初步估計(jì)非線性特征值屈曲荷載。施威德勒型單層球面網(wǎng)殼屬于幾何缺陷敏感性的結(jié)構(gòu)，今后需要進(jìn)一步研究幾何形式非對稱、結(jié)構(gòu)支承形式有變化以及材料非線性等的屈曲問題。

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