陳 蕾，許文桓

（國(guó)核電力規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院重慶有限公司，重慶 401121）

隨著人們對(duì)GPS定位精度要求的不斷提高，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)給出了一些可能的靜動(dòng)態(tài)的精密單點(diǎn)定位模型［1－4］，在這些定位模型中，為了減少觀(guān)測(cè)誤差和噪聲，消除電離層誤差的偽距和載波相位組合等方法經(jīng)常用到，然而，這種方法不能保證載波相位的整周模糊度的整數(shù)性，這就降低了定位精度，而且這種算法只限于雙頻GPS。

本文提出了一種針對(duì)廉價(jià)的單頻GPS接收機(jī)新的精密單點(diǎn)定位算法，這種算法不需要偽距和載波相位觀(guān)測(cè)量的線(xiàn)性組合，這樣就保持了整周模糊度的整數(shù)性，提高了定位精度。在這個(gè)算法中，L1載波和基于C/A碼的偽距用新的GPS回歸方程和回歸矩陣進(jìn)行描述，這些回歸方程和回歸矩陣作為單頻精密單點(diǎn)定位的觀(guān)測(cè)模型。由電離層延遲、對(duì)流層延遲、衛(wèi)星軌道誤差、衛(wèi)星鐘誤差和接收機(jī)鐘差引起的載波相位和基于C/A碼的偽距誤差，利用合適的誤差模型嵌入到回歸方程中，用最小二乘估計(jì)所有的未知參數(shù)，在估計(jì)的過(guò)程中，考慮觀(guān)測(cè)噪聲的隨機(jī)屬性，提高參數(shù)估計(jì)的可靠性和縮短收斂時(shí)間。此外，由于每一歷元的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)都可以連續(xù)得到，這樣就可以應(yīng)用卡爾曼濾波得到單頻精密單點(diǎn)定位回歸方程。

1 算法模型

1.1 單頻精密單點(diǎn)定位回歸方程

將L1載波相位和基于C/A碼的觀(guān)測(cè)定位數(shù)據(jù)公式［5－9］化為

式中：u≡［xu，yu，zu］T為測(cè)站位置坐標(biāo)向量；sp≡［xp，yp，zp］T為衛(wèi)星P的坐標(biāo)向量（t）為t時(shí)刻測(cè)站u到衛(wèi)星P的偽距；（t）為t時(shí)刻L1載波的相位觀(guān)測(cè)值；τpu為測(cè)站u到衛(wèi)星P的信號(hào)傳播時(shí)間；λ1：L1載波的波長(zhǎng)，數(shù)值為0.190 3m；δIpu（t）、δTpu（t）為電離層、對(duì)流層延遲誤差；δtu（t）、δtp（tτpu）為接收機(jī)在t時(shí)刻和衛(wèi)星在t－τpu時(shí)刻的鐘差；為L(zhǎng)1載波的整周模糊度；為測(cè)量誤差；rpu（t，t－τpu）為t時(shí)刻測(cè)站到t－τpu時(shí)刻衛(wèi)星P的幾何距離。

為了方便表示將

式中，衛(wèi)星坐標(biāo)xp，yp，zp可以通過(guò)導(dǎo)航電文得到，但包含有軌道誤差，本文通過(guò)衛(wèi)星精密星歷軌道化消除了軌道誤差，達(dá)到了精密定位的精度。定義＾sp為已經(jīng)計(jì)算出來(lái)的衛(wèi)星的精確坐標(biāo)，下面為了算法的簡(jiǎn)捷敘述將t，t－τpu省略。

由導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以得到

將式（3）在u＝，（j＝1），sp＝＾sp進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)為

這樣式（1）和式（2）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中：

將式（6）和式（7）用向量矩陣表示為

式中：

υu(píng)≡［，］T，I定 義為ns×ns單 位 矩陣，0定義為［1，1，…，1］T的ns×1向量。

為了得到θu的最小二乘估計(jì)，下面考慮未知參數(shù)和回歸方程的個(gè)數(shù)，從上述可以看出未知變量有4＋7ns個(gè)，即u：3，cδtu：1，s：3ns，cδts：ns，δIu：ns，δTu：ns，NL1，u：ns，而回歸方程個(gè)數(shù)為2ns，這樣就得不到θu的最小二乘解。如果已經(jīng)計(jì)算出了衛(wèi)星的位置坐標(biāo)s，衛(wèi)星鐘差cδts，電離層改正和對(duì)流層改正δIu，δTu。可得

此方程即為單頻GPS精密單點(diǎn)定位的觀(guān)測(cè)模型。式中：

在這種情況下，回歸方程的個(gè)數(shù)為8ns，當(dāng)ns≥4，8ns≥4＋7ns，這樣就可以計(jì)算出未知參數(shù)的準(zhǔn)確值。當(dāng)ns＜4時(shí)，系數(shù)矩陣H＾u（j），E是奇異的，這時(shí)不能夠得到θ的確切值。

對(duì)于式（10）來(lái)說(shuō)，θu的最小二乘估計(jì)值是這樣得到的［10－11］：

式中：R≡Cov［υu(píng)，E］，其誤差方差為

1.2 卡爾曼濾波應(yīng)用于單頻精密單點(diǎn)定位

1.2.1 卡爾曼濾波的觀(guān)測(cè)方程

由式（10）可得

式（13）即為卡爾曼濾波的觀(guān)測(cè)方程。

1.2.2 狀態(tài)向量

在靜態(tài)定位時(shí)，點(diǎn)位的三維坐標(biāo)、接收機(jī)鐘差和模糊度是必須要估計(jì)的，因此，定義靜態(tài)位置狀態(tài)向量

動(dòng)態(tài)定位時(shí)，需要運(yùn)動(dòng)物體的數(shù)學(xué)模型，將接收機(jī)的速度假定為一階馬爾可夫過(guò)程［12－13］，因此，定義動(dòng)態(tài)向量

對(duì)于這2種情況，接收機(jī)鐘差cδtu也假定為一階馬爾可夫過(guò)程，可以得出下面的狀態(tài)方程：

式中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

式中：I為3×3階單位矩陣，D為n維對(duì)角矩陣，對(duì)角元素取值為（2n－1）/（2n＋1），n＝100，Φck＋1，k＝為采樣率。

式中：F為n維對(duì)角矩陣，對(duì)角元素為：2n/（2n＋1），n＝100。w為系統(tǒng)噪聲，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣為

式中：Sdt，S˙dt參考Allan協(xié)方差參數(shù)［14］，Qξ為n維對(duì)角矩陣，對(duì)角元素取值為0.3P，P為用戶(hù)量程精度，可以從衛(wèi)星星歷中求取。從式（13）和式（16）可見(jiàn)，觀(guān)測(cè)方程可以表示為

誤差

其協(xié)方差矩陣

式中：P（t｜t－1）是濾波過(guò)程中η（t｜t－1）的方差矩陣，一般情況下v（t）是均值為0，方差為M（t）的白高斯噪聲［11］。

2 算例分析

實(shí)驗(yàn)采用本文提出的單頻精密單點(diǎn)定位模型，GPS定位的所有誤差都必須考慮，主要通過(guò)2種途徑來(lái)解決：①對(duì)能精確模型化的誤差采用模型改正，如地球旋轉(zhuǎn)改正、相對(duì)論效應(yīng)等都可以采用現(xiàn)有的模型精密改正。②對(duì)于不能精確模型化的誤差以參數(shù)形式進(jìn)行估計(jì)，比如電離層延遲改正，目前還難以用模型精確模擬，則以參數(shù)對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。用載波相位變化率和切比雪夫多項(xiàng)式探測(cè)與修復(fù)周跳，用IGS網(wǎng)站提供的精密星歷對(duì)衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差進(jìn)行擬合求值。

實(shí)驗(yàn)用卡爾曼濾波對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行精密單點(diǎn)定位，采用數(shù)據(jù)為2008－03－11的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，采樣率為1s，觀(guān)測(cè)時(shí)衛(wèi)星數(shù)目都在6～8顆，衛(wèi)星截止高度角為10°，采用事后處理方式，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的精確坐標(biāo)前文已經(jīng)敘述由差分載波相位模型精確得出。得到的單頻精密單點(diǎn)定位結(jié)果與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的精確坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，X，Y，Z坐標(biāo)差如圖1、圖2、圖3所示，觀(guān)測(cè)值均方根差隨歷元變化，如圖4所示。

圖1 單頻精密單點(diǎn)定位結(jié)果X方向與真值差值圖

3 結(jié) 論

從上述圖中可以看出在Z方向比在水平X，Y方向有較大的偏差，Z方向收斂的時(shí)間大于水平方向。對(duì)于所有的數(shù)據(jù)單頻GPS精密單點(diǎn)定位能夠得到比較高的精度，而且定位結(jié)果比較穩(wěn)定，在X方向的偏差小于50cm，在Y方向的偏差小于70cm，在Z方向的偏差小于1m，均方根在30～38cm之間。

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