胡 學(xué) 平

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

0 引言與預(yù)備知識(shí)

概率密度估計(jì)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用廣泛,概率密度估計(jì)方法很多,如直方圖估計(jì)、Rosenblatt法[1]、Parzen估計(jì)[2]以及最鄰近估計(jì)[3]等.文獻(xiàn)[3-6]討論了獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本和一些相依隨機(jī)樣本密度函數(shù)的核估計(jì),獲得了其相合性、收斂速度及漸近正態(tài)性等性質(zhì).此外,相依序列的極限理論在金融數(shù)學(xué)、生存數(shù)據(jù)以及水文、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.Joag-Dev等[7]引入了NOD(negatively orthant dependent)概念,并指出任何NA列都是NOD的,并給出了一個(gè)是NOD但不是NA的實(shí)例,即NOD是嚴(yán)格弱于NA的.本文在NOD樣本和m相依[8]樣本下分別進(jìn)一步探討概率密度函數(shù)核估計(jì)的性質(zhì),獲得了核估計(jì)的強(qiáng)相合性、r階相合性及依概率一致收斂性,推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[5-6]的相關(guān)結(jié)論.本文約定C表示正常數(shù),在不同處取不同值.

引理1[3]設(shè)K(u)和g(x)都是定義在(-∞,∞)上的Borel可測(cè)函數(shù),滿足下列條件:

1)K在(-∞,∞)上有界;

(1)

又若g在(-∞,∞)上有界且一致連續(xù),則

(2)

引理2[9]設(shè)隨機(jī)變量序列X1,…,Xn為NOD的,f1,…,fn均為非降函數(shù)(或非增函數(shù)),則隨機(jī)變量f1(X1),…,fn(Xn)仍為NOD的.

證明：易驗(yàn)證?x∈1有ex≤1+x+x2e|x|/2,從而對(duì)t>0,根據(jù)條件|Xk|≤an和EXk=0,可得

(3)

再利用引理2、引理3及式(3)可得

(4)

結(jié)合Markov不等式和式(4)有

1 主要結(jié)果

定理1設(shè){Xn,n≥1}為同分布的NOD隨機(jī)變量序列,K(u)為有界變差概率密度函數(shù).如果:

1)

(5)

2) 密度函數(shù)f(x)在(-∞,∞)上有界或

(6)

同理可證

根據(jù)Borel-Cantelli引理可知結(jié)論成立.

證明:根據(jù)Cr-不等式,有

結(jié)合定理1的證明過(guò)程、Cr-不等式及引理4可得

對(duì)r∈(0,2],利用Jensen不等式可得

注1定理1和定理2減弱了文獻(xiàn)[6]中相應(yīng)定理的條件,且推廣到更廣泛的NOD隨機(jī)樣本情形.

從而只需證明Ik→0,k=1,2.對(duì)于I1,有

易證若K(u)滿足引理1的條件,則K2(u)也滿足,因此根據(jù)式(1)可得

利用Jensen不等式,對(duì)r∈(0,2],有

定理4設(shè){Xn,n≥1}為嚴(yán)平穩(wěn)的m相依隨機(jī)序列,K(u)為概率密度函數(shù).如果滿足下列條件:

2) 密度函數(shù)f(x)在(-∞,∞)上一致連續(xù);

證明:沿用定理3的記號(hào),有

由條件3)和反演公式得

(8)

[1] Rosenblatt M.Remarks on Some Nonparametric Estimates of a Density Function [J].Ann Math Statist,1956,27(3):832-837.

[2] Parzen E.On Estimation of a Probability Density Function and Mode [J].Ann Math Statist,1962,33(3):1065-1076.

[3] 陳希孺,方兆本,李國(guó)英,等.非參數(shù)統(tǒng)計(jì) [M].上海:上海科技出版社,1989.

[4] LIU Yong-hui,WU Qun-ying.Consistency of Nearest Neighbor Estimator of Density Function for Negatively Dependent Samples [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2012,50(6):1141-1145.(劉永輝,吳群英.ND樣本最鄰近密度估計(jì)的相合性 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,50(6):1141-1145.)

[5] YU Zhuo-xi,DONG Zhi-shan,WANG De-hui.Consistency for the Kernel-Type Density Estimator in the Case ofm-Dependent Samples [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2007,45(4):507-510.(于卓熙,董志山,王德輝.m相依樣本概率密度函數(shù)核估計(jì)的相合性 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2007,45(4):507-510.)

[6] WEI Lai-sheng.The Consistencies for the Kernel-Type Density Estimator in the Case of NA Samples [J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2001,21(1):79-87.(韋來(lái)生.NA樣本概率密度函數(shù)核估計(jì)的相合性 [J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2001,21(1):79-87.)

[7] Joag-Dev K,Proschan F.Negative Association of Random Variables with Applications [J].Ann Statist,1983,11(1):286-295.

[8] Chung K L.A Course in Probability Theory [M].New York:Academic Press,1974.

[9] Bozorgnia A,Patterson R F,Taylor R L.Limit Theorems for Dependent Random Variables [C]//Proceedings of the First World Congress on World Congress of Nonlinear Analysts.Hawthorne:Walter de Grutyer &Co,1996:1639-1650.

[10] Kim H C.The Hjek-Rényi Inequality for Weighted Sums of Negatively Orthant Dependent Random Variables [J].Int J Contemp Math Sci,2006,1(6):297-303.