(杭州電子科技大學運籌與控制研究所，浙江杭州310018)

0 引 言

對于大多數(shù)種群而言，個體的尺度指標對其生存和繁殖具有決定性作用。目前，基于尺度結(jié)構(gòu)的種群模型已引起廣泛關(guān)注[1]。從總體上看，研究成果還不多。主要的結(jié)果有，一類尺度結(jié)構(gòu)種群模型的解的局部存在性及其對初始條件的依賴性[2];模型正解的局部存在性及全局有界性[3];種群個體由外界環(huán)境的遷入后對種群動力學行為的影響，及再生數(shù)與解的穩(wěn)定性之間的關(guān)系[4];基于尺度結(jié)構(gòu)的并且?guī)в羞w移項的非線性種群動力系統(tǒng)平衡態(tài)的存在唯一性及其穩(wěn)定性[5];以及周期環(huán)境中年齡依賴的線性種群模型的動力學[6]。本文研究周期環(huán)境中具有尺度結(jié)構(gòu)的線性種群模型的定性行為。

1 模型

為適應(yīng)環(huán)境的季節(jié)性變化，建立如下的具有周期參數(shù)的種群模型:

式中，u(x，t)表示t時刻尺度為x的種群個體密度;生命參數(shù)β(x，t)、μ(x，t)、V(x，t)分別表示t時刻尺度為x個體的繁殖率、死亡率和尺度增長率;常數(shù)l表示個體不能超越的最大尺度;常數(shù)T ＞0為環(huán)境變化周期。

本文采用的基本假設(shè)如下:定義Q=[0，l)×[0，∞)，(1)0≤β(x，t)為常數(shù)，且β(x，t)=其中是一個有界的連續(xù)函數(shù)，對于?t∈[0，∞)，有V(l，t)=0 且V(x，t)關(guān)于x 滿足局部Lipschitz條件，V(x，t)＞0，且V(x，t)=V(x，t+T)a.e.Q。

2 解的定義

定義1 稱初始條件x(t0)=x0下，常微分方程x'(t)=V(x，t)的唯一解為通過點(t0，x0)的特征曲線，記為x=φ(t;t0，x0)。

定義3 記L∞T(Q)= {h(x，t)∈L∞(Q):h(x，t)=h(x，t+T)}，若u(x，t)∈L∞T(Q)沿著每條特征曲線φ 絕對連續(xù)，且滿足:

式中，函數(shù)u(x，t)為式1的解。

注記1 由于u(x，t)沿著每條特征曲線φ 絕對連續(xù)，因此式2中的第二式是有意義的。

3 模型的適定性

記x-t 平面上通過點(0，0)的特征曲線為z(t)。對第一象限上任意固定點(x，t)，當x≤z(t)，定義其初始時刻為= (t，x)，有φ(t;，0)=x?φ(;t，x)=0?？紤]滿足式2 中第一式和第二式的函數(shù)u(x，t)。當t ＞z-1(l)時，根據(jù)定義1和定義2 知:

令σ=φ(s;t，x)，則s=φ-1(σ;t，x)，且dσ=V(φ(s;t，x)，s)ds=V(σ，φ-1(σ;t，x))ds。故由積分變量替換知:

式中，b(t)為如下Volterra 積分方程的解:

則式3 必為式1的解。

于是，總結(jié)上述分析即有下列結(jié)果:

引理1 設(shè)b(t)∈L∞T(R)是式8的解，則式5 給出的u(x，t)是式1的解。進一步，式5 解的唯一性保證了式1 解的唯一性。

現(xiàn)在討論式8 解的存在唯一性。為此，對滿足假設(shè)2的固定的μ，定義如下的有界線性算子，Pμ:

由于K(·，·;μ)∈L∞(Q)并且K(t，x;μ)=K(t+T，x;μ)a.e.(x，t)∈Q。從而式9的定義是合理的。因此式8可以寫成L∞T(R)中如下的抽象方程:

定理1 記r(Pμ)為算子Pμ的譜半徑，如果r(Pμ)＜1，則式10 在L∞T(R)中有唯一解。

證明 對于有界線性算子Pμ的譜σ(Pμ)={λ∈C:Pμ-λe 不可逆}，由于r(Pμ)＜1，則1∈ρ(Pμ)，即Pμ-e可逆。從而式10 在L∞T(R)中有唯一解。

定理2 假設(shè)對?t∈R，有R0(t)＜1，則式1 有唯一的非負解

證明 由引理1 及定理1 知，若對?t∈R，有R0(t)＜1，即可得:

即有r(Pμ)≤R0＜1，則式1 有唯一的解u(x，t)∈L∞T(Q)。

接下來證明解u(x，t)的非負性。由于式5的解是L∞T(R)如下迭代序列的極限:

由假設(shè)1-3 知:對?(x，t)∈Q 有K(t，x;μ)≥0，于是就有bn(t)≥0。從而就有極限b(t)≥0，于是由式5 知u(x，t)≥0。

綜上所述:若?t∈R，有R0(t)＜1，則式1 有唯一的非負解u(x，t)∈L∞T(Q)。

以下兩個結(jié)果表明解關(guān)于死亡率和出生率的單調(diào)性:

定理3 設(shè)uμ(x，t)為式1 對應(yīng)于μ的解，若μ1(x，t)≥μ2(x，t)a.e.(x，t)∈Q，則uμ1(x，t)≤uμ2(x，t)a.e.(x，t)∈Q。

證明 當μ1(x，t)≥μ2(x，t)a.e.(x，t)∈Q時，由式7可知:K(t，x;μ1)≤K(t，x;μ2)，從而結(jié)合式12可得:bμ1(t)≤bμ2(t)，進一步由式5可知:uμ1(x，t)≤uμ2(x，t)。

定理4 設(shè)uβ(x，t)為式1 對應(yīng)于β的解，若β1(x，t)≥β2(x，t)a.e.(x，t)∈Q，則uβ1(x，t)≥uβ2(x，t)a.e.(x，t)∈Q。

證明 當β1(x，t)≥β2(x，t)a.e.(x，t)∈Q時，由式7可知:K(t，x;μ1)≥K(t，x;μ2)，從而結(jié)合式12可得:bμ1(t)≥bμ2(t)，進一步由式5可知:uβ1(x，t)≥uβ2(x，t)。

4 結(jié)束語

本文研究了一類周期環(huán)境中具有尺度結(jié)構(gòu)的線性種群模型的適定性，討論了模型的解的存在唯一性，并且給出了模型解關(guān)于出生率和死亡率的單調(diào)性。另外本文沒有考慮到種群的遷移和收獲，將進一步探究周期環(huán)境中含遷移項和收獲項的線性模型。

[1]Tuljapurkar S，Caswell H.Structured-Population Model in Marine Terrestrial and Freshwater Systems[M].New York:Chapman＆Hall，1996:83-86.

[2]Kato N，Torikata H.Local existence for a general model of size-dependent population dynamics[J].Abstr Appl，1997，2(5):207-226.

[3]Kato N.Positive global solutions for a general model of size-dependent population dynamics[J].Abstr Appl，2004，5(4):191-206.

[4]Farkas J Z.Structured population:The stabilizing effect of an inflow of newborns form an external source and the net growth rate[J].Appl Math Comput，2008，26(4):547-558.

[5]王海濤，何澤榮，劉炎.帶有Size 結(jié)構(gòu)和遷移的種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].杭州電子科技大學學報，2010，30(1):58-61.

[6]Anita S.Analysis and Control of Age-Dependent Population Dynamics[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publisher，2000:51-56.