(杭州電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

在自然界以及工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，大量的物體表面幾何(包括常用的二次曲面等)皆為旋轉(zhuǎn)曲面，因此研究快速高效且利于分析的旋轉(zhuǎn)曲面的幾何造型方法在CAD/CAM 中具有十分重要的意義。從初始多邊形或網(wǎng)格按照一定的規(guī)則不斷細(xì)分逼近光滑曲線或曲面的造型技術(shù)，這一技術(shù)在20世紀(jì)末得到了很好的發(fā)展和應(yīng)用，日漸成為幾何造型的一個(gè)重要研究方向[1-3]。由于細(xì)分模型具有概念簡單易于修改，能從一般拓?fù)涞目刂凭W(wǎng)格高效、分層遞進(jìn)地定義光滑形體等優(yōu)點(diǎn)成為三維動(dòng)畫造型的首選方法，目前應(yīng)用最廣的三維動(dòng)畫制作軟件MAYA系統(tǒng)也是以細(xì)分曲面為造型工具的。關(guān)于細(xì)分造型技術(shù)的主要方法與分析詳見文獻(xiàn)4。常用的二次曲面屬于旋轉(zhuǎn)曲面，可以用NURBS 曲面精確表示，但其有理形式給計(jì)算和分析帶來不便，另外，NRUBS 也不具有分層細(xì)分的性質(zhì)，因此包含二次曲面在內(nèi)的旋轉(zhuǎn)曲面的精確表示及細(xì)分方法成為一項(xiàng)重要的研究課題。文獻(xiàn)5 中提出了動(dòng)態(tài)的Do-Sabin 細(xì)分推廣方法，其極限曲面為雙二次的三角B樣條曲面，從而可細(xì)分生成包括圓柱面、球面和橢球面的雙二次旋轉(zhuǎn)曲面，文獻(xiàn)6 中提出了基于CB樣條的雙三次的細(xì)分方法，其極限曲面為雙二次的三角B樣條曲面，可細(xì)分生成包括圓柱面、球面和橢球面及圓環(huán)面的雙三次旋轉(zhuǎn)曲面，文獻(xiàn)7 中進(jìn)一步提出了基于雙三次三角B樣條及雙曲B樣條的細(xì)分方法，在文獻(xiàn)5，6的基礎(chǔ)上，又增加了包括雙曲面在內(nèi)的雙三次三角及雙曲B樣條旋轉(zhuǎn)曲面的細(xì)分生成能力。但已有方法能細(xì)分生成旋轉(zhuǎn)曲面在兩個(gè)方向上只限于均次數(shù)和均參數(shù)的情況，因此能生成的旋轉(zhuǎn)曲面的類型和形狀調(diào)整方式都十分受限。文獻(xiàn)8 中提出了一種基于推廣B樣條的曲線細(xì)分方法，它能細(xì)分生成所有二次曲線、三角及雙曲函數(shù)曲線、螺旋線、懸鏈線等，其極限曲線為任意次帶張力參數(shù)的推廣B樣條曲線，本文將這種細(xì)分方法推廣到旋轉(zhuǎn)曲面的細(xì)分生成方法，可細(xì)分生成比已有方法豐富得多的旋轉(zhuǎn)曲面，同時(shí)可從兩個(gè)方向調(diào)整曲面形狀。

1 非齊次旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分

非齊次旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分方法實(shí)際上是文獻(xiàn)8 中提出的曲線細(xì)分向旋轉(zhuǎn)曲面的推廣，將簡要介紹這種曲線細(xì)分算法向張量積曲面的推廣，在此基礎(chǔ)上給出旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分初始控制網(wǎng)格的詳細(xì)構(gòu)造方法。

1.1 基于推廣B樣條的張量積曲面細(xì)分

文獻(xiàn)8 中提出的基于推廣B樣條的曲線細(xì)分規(guī)則可描述如下:令為第k層細(xì)分時(shí)的控制頂點(diǎn)序列，那么對(duì)于d次細(xì)分而言，第k層細(xì)分新的控制頂點(diǎn)序列通過兩大步驟產(chǎn)生，即線性細(xì)分和d-2次平均細(xì)分，如:

式中，參數(shù)uk隨細(xì)分次數(shù)而變化，因此該細(xì)分方法為動(dòng)態(tài)細(xì)分，其初始值u0預(yù)先給定，uk隨細(xì)分次數(shù)變化的迭代公式為當(dāng)k→∞時(shí)，該細(xì)分方法收斂到d次帶張力參數(shù)u0的推廣B樣條光滑曲線(Cd-1階連續(xù))，證明詳見文獻(xiàn)8。進(jìn)一步將其推廣到張量積曲面，得到基于推廣B樣條的張量積曲面細(xì)分算法。

(1)初始化k=1，給定細(xì)分最大次數(shù)K;

(2)對(duì)當(dāng)前細(xì)分控制網(wǎng)格Mk-1逐行實(shí)施du次帶張力參數(shù)uk-1的推廣B樣條曲線細(xì)分得到中間控制網(wǎng)格Qk;

(3)對(duì)中間控制網(wǎng)格Qk逐列實(shí)施dv次帶張力參數(shù)vk-1的推廣B樣條曲線細(xì)分，得到新控制網(wǎng)格Mk;

(5)若k≤K，轉(zhuǎn)k至第2步，否則細(xì)分結(jié)束，控制網(wǎng)格MK為最終細(xì)分結(jié)果，與曲線情形同理，當(dāng)K 足夠大時(shí)，該細(xì)分方法逼近極限曲面，即du×dv次的推廣B樣條張量積曲面，且處處保持Cmin(du，dv)-1階連續(xù)。

1.2 旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分控制網(wǎng)格構(gòu)造方法

旋轉(zhuǎn)曲面可看作張量積曲面的一種，典型的旋轉(zhuǎn)曲面是母線繞軸線旋轉(zhuǎn)一周形成，因此它們在其中一個(gè)參數(shù)方向上形狀為一個(gè)整圓，而整圓可用推廣B樣條精確表示，并可細(xì)分生成，最低采用二次推廣B樣條即可，具體方法詳見文獻(xiàn)8。若旋轉(zhuǎn)曲面的母線可用基于推廣B樣條細(xì)分方法生成，為保證另一方向?yàn)閳A，按以下方法可構(gòu)造出細(xì)分初始控制網(wǎng)格，從而可運(yùn)用算法1 細(xì)分生成該旋轉(zhuǎn)曲面。

算法2 (旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分初始控制網(wǎng)格構(gòu)造)令Cg為母線，可用推廣B樣條曲線表示，其控制多邊形為Pg，該母線繞軸線(不失一般性假設(shè)為z軸)旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面為Sr，則可由算法1 細(xì)分生成，初始控制網(wǎng)格Mr按如下方法構(gòu)造:

(1)若Cg是常用的解析曲線段(二次曲線、三角函數(shù)及雙曲函數(shù)曲線、螺旋線、懸鏈線等)，其對(duì)應(yīng)的推廣B樣條次數(shù)dg、細(xì)分控制多邊形Pg及張力參數(shù)vg需根據(jù)文獻(xiàn)8的方法確定，若Cg是一般的推廣B樣條曲線，則這3 項(xiàng)均為已知，直接進(jìn)入下一步;

(2)在旋轉(zhuǎn)方向采用2次的推廣B樣條表示圓，因此整圓用4 段曲線表示，控制多邊形為正方形，張力參數(shù)為cos(詳見文獻(xiàn)8)，計(jì)首末兩段重復(fù)的兩個(gè)頂點(diǎn)共6個(gè)控制頂點(diǎn)，因此首先將擴(kuò)展為6列形成一個(gè)初始網(wǎng)格

(3)修改初始網(wǎng)格使得旋轉(zhuǎn)方向上的每一排控制頂點(diǎn)恰好定義一個(gè)圓，修改后的控制網(wǎng)格為Mr=，其中(:，:，3)=(Pg)z;

(4)以Mr為細(xì)分初始控制網(wǎng)格，母線方向的次數(shù)和張力參數(shù)分別取dg、vg，旋轉(zhuǎn)方向的次數(shù)和張力參數(shù)分別取2、cos運(yùn)用算法1 即可細(xì)分生成旋轉(zhuǎn)曲面Sr。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

旋轉(zhuǎn)曲面構(gòu)造實(shí)例，并與已有方法進(jìn)行比較分析。由前所述，只要母線能用基于推廣B樣條細(xì)分曲線表示，則其繞軸線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面皆可由算法2 構(gòu)造出初始網(wǎng)格，由算法1 細(xì)分生成。3組不同旋轉(zhuǎn)曲面生成圖如圖1-3所示:

圖1 基于推廣B樣條旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分生成示意圖

圖2 以常用曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分造型

圖3 張力參數(shù)對(duì)4-2次花瓶造型旋轉(zhuǎn)曲面形狀的影響

圖1給出了以雙曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面細(xì)分生成的示意圖，旋轉(zhuǎn)曲面為雙二次，由圖1(a)中初始網(wǎng)格細(xì)分5次即可得到圖1(c)所示的非常光滑的細(xì)分曲面結(jié)果。由于兩方向的張力參數(shù)分別為非均參，因此已有方法無法實(shí)現(xiàn)。

圖2給出了更多利用本文方法細(xì)分造型以常用曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面的例子，其中圖2(a)中為雙二次圓錐曲面，圖2(b)中為雙二次圓環(huán)面，圖2(c)中為3-2次以正弦曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面，由于該旋轉(zhuǎn)曲面是非齊次的，已有方法無法表示。

圖3為張力參數(shù)對(duì)4-2次的花瓶旋轉(zhuǎn)曲面造型，圖3(a)中vg=0.1，圖3(b)中vg=2，圖3(c)中vg=5。v方向次數(shù)高于3次，兩方向的張力參數(shù)也不相同，已有方法無法實(shí)現(xiàn)，可以保持初始控制網(wǎng)格及u方向參數(shù)不變，通過改變v方向參數(shù)精細(xì)地調(diào)整旋轉(zhuǎn)曲面的形狀，可以看到，v方向參數(shù)越大，結(jié)果曲面越靠近初始控制網(wǎng)格。

3 結(jié)束語

本文提出的旋轉(zhuǎn)曲面的細(xì)分生成方法一方面繼承了細(xì)分方法的造型優(yōu)勢，另一方面又繼承了推廣B樣條能精確表示常用的二次曲面以及一些經(jīng)典的有理曲線或三角雙曲曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面的優(yōu)點(diǎn)。常見的曲面細(xì)分方法有基于雙三次B-樣條的Catmull-Clark 細(xì)分、基于雙二次均勻B-樣條的Doo-Sabin 細(xì)分等。與已有方法相比，由于本文方法具有任意次、非齊次、非均參的優(yōu)勢，而已有方法僅限于雙二次或雙三次，且兩個(gè)方向參數(shù)必須相同，因此本文方法能造型比已有方法豐富得多的旋轉(zhuǎn)曲面，并能方便直觀地調(diào)整旋轉(zhuǎn)曲面形狀。

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