田仲業(yè)，樓夢麟

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

隨著經(jīng)濟(jì)與科技的發(fā)展，人們正在以前所未有的速度建設(shè)著大跨度的結(jié)構(gòu)，同時(shí)大跨結(jié)構(gòu)的跨度也在與日俱增，而這些大跨結(jié)構(gòu)，如大跨橋梁、水壩、大型體育場館等公共設(shè)施，一旦在地震作用下遭受破壞，其所造成的人員傷亡、經(jīng)濟(jì)損失以及對抗震救災(zāi)工作的影響將是極其嚴(yán)重的.然而，與平面展布尺寸小的結(jié)構(gòu)相比，地震動的時(shí)空變化性對大跨結(jié)構(gòu)的 抗 震 性 能 的 影 響 是 不 容 忽 視 的［1］.1965 年，Bogdanoff等［2］通過數(shù)值計(jì)算得出結(jié)論，地震動傳播的時(shí)滯效應(yīng)對大跨度結(jié)構(gòu)的影響是不可忽略的.多次實(shí)際地震的震害也表明了地震動的空間變化性將對大跨結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大影響［3］.在地震動的多點(diǎn)激勵下，結(jié)構(gòu)的受力情況十分復(fù)雜，不僅受到動力地震作用的影響，結(jié)構(gòu)各支點(diǎn)還會因輸入的位移不一致而出現(xiàn)相對位移，所以其破壞可能更為嚴(yán)重.

目前研究大跨結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵地震響應(yīng)的方法主要有三種，時(shí)程分析法、隨機(jī)振動法和反應(yīng)譜法.時(shí)程分析法發(fā)展較為成熟、計(jì)算較為精確，然計(jì)算結(jié)果強(qiáng)烈依賴于所選取的地震動數(shù)據(jù)，不同的地震動輸入下所得計(jì)算結(jié)果可能差別很大，因此為得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，必須對多條地震動時(shí)程進(jìn)行計(jì)算，工作量巨大.隨機(jī)振動分析方法充分地考慮地震發(fā)生的統(tǒng)計(jì)概率特性，在確定了地震動場的功率譜后，計(jì)算得到的是結(jié)構(gòu)各反應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其結(jié)果不依賴于某條地震動時(shí)程，使得計(jì)算工作量大為減少，但隨機(jī)振動法的數(shù)學(xué)處理復(fù)雜，難以被工程設(shè)計(jì)人員接受為工程實(shí)用計(jì)算方法，而且目前各國的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范是以反應(yīng)譜，而非功率譜來描述地震動輸入的，因此，相對于工程實(shí)用而言，反應(yīng)譜分析方法具有較大優(yōu)勢，利用反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時(shí)，可以方便地將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題求解，使得復(fù)雜的地震反應(yīng)計(jì)算變得簡單易行，而且反應(yīng)譜本身也包含了地面運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)特征，運(yùn)用得當(dāng)仍可得出足夠精度的計(jì)算結(jié)果.然而目前通用的反應(yīng)譜分析方法是建立在一致地震激勵基礎(chǔ)上的，直接將其應(yīng)用于大跨度結(jié)構(gòu)的抗震分析，會產(chǎn)生很大誤差［4］，因此，發(fā)展適用于多點(diǎn)激勵的反應(yīng)譜分析方法意義重大.

目前，發(fā)展多點(diǎn)激勵下的反應(yīng)譜分析方法主要有以下三種思路：一是對現(xiàn)行一致激勵反應(yīng)譜法進(jìn)行調(diào)整，使其適用于多點(diǎn)激勵的情況，可稱之為“直接反應(yīng)譜法”；二是根據(jù)多點(diǎn)激勵下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程，將結(jié)構(gòu)反應(yīng)分為擬靜力反應(yīng)與動力反應(yīng)兩部分，得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)在時(shí)域內(nèi)的解的表達(dá)式，從而基于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程的假定，利用隨機(jī)振動法得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)、均方差函數(shù)，最終得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)平均最大值的反應(yīng)譜組合公式，可稱之為“功率譜轉(zhuǎn)反應(yīng)譜法”；三是基于虛擬激勵法，構(gòu)造相應(yīng)的多點(diǎn)虛擬激勵，得出多點(diǎn)激勵下的反應(yīng)譜組合公式.

1 多點(diǎn)激勵下結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

考慮一線彈性體系，上部結(jié)構(gòu)自由度數(shù)共為n，支承點(diǎn)處約束自由度數(shù)共為m，在地面運(yùn)動的多點(diǎn)激勵下，其運(yùn)動微分方程可寫成如下形式［5］：

式中：M、C、K 分別為對應(yīng)于上部結(jié)構(gòu)自由度的n階質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Mg、Cg、Kg分別為對應(yīng)于支承約束自由度的m階質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Mc、Cc、Kc分別為上部結(jié)構(gòu)自由度與支承約束自由度間的耦合質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x··、x·、x分別為對應(yīng)于上部結(jié)構(gòu)自由度的絕對加速度、速度和位移的n維列向量；u··、u·、u分別為對應(yīng)于支承約束自由度的加速度、速度和位移的m維列向量；F 為m維支承反力列向量.

通常，可將上部結(jié)構(gòu)的總位移響應(yīng)x 分解為由各支承點(diǎn)的相對位移引起的擬靜力位移xs和由在地震作用下由慣性力引起的動力位移xd之和［5－6］，即：

其中擬靜力位移xs可用靜力平衡條件求得，即將式（2）代入式（1）中，除去動力影響，即令速度和加速度項(xiàng)為零計(jì)算得到：

式中，R＝－K－1Kc，稱為影響矩陣.

將式（2）—（3）代入式（1）中，并忽略與u·相乘的阻尼力項(xiàng)，得：

將動力位移xd表示為各振型疊加的形式，再引入比例阻尼的假定，得：

式中：φj、Yj（t）、ξj、ωj分別表示結(jié)構(gòu)第j階振型的振型向量、正規(guī)坐標(biāo)、阻尼比和圓頻率表示第k個(gè)約束自由度處地面運(yùn)動加速度；γkj表示在第k個(gè)地面運(yùn)動加速度作用下結(jié)構(gòu)第j振型的振型參與系數(shù).于是可從第k個(gè)支承約束自由度處的地面運(yùn)動的反應(yīng)譜中讀出δkj（t）的最大反應(yīng)Dk（ωj，ξj），再通過一定的振型組合方法，如平方和開平法（SRSS）、完全二次組合（CQC）等，即可得出結(jié)構(gòu)任一自由度上的地震反應(yīng)Z（t）的平均最大值E（Zmax）.

根據(jù)彈性力學(xué)理論，Z（t）可表示為結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)位移和支座位移的線性函數(shù)［7］，即：

式中：qu＝｛qu，1，…qu，m｝，qx＝｛qx，1，…qx，n｝為系數(shù)向量；ak＝qu，k＋qxTRk，bkj＝qTφjγkj分別為多點(diǎn)激勵時(shí)的有效影響系數(shù)和有效振型參與系數(shù).

2 直接反應(yīng)譜法

此種方法思路是直接對現(xiàn)行一致激勵反應(yīng)譜法組合公式進(jìn)行調(diào)整，使其適用于多點(diǎn)激勵的情況，文中稱之為“直接反應(yīng)譜法”.

2.1 Yamamura N 和Tanaka H 提出的分組法［8］

該方法將結(jié)構(gòu)各支承點(diǎn)根據(jù)其空間分布和場地情況分為若干組，相距較近且場地條件相同的支承分為一組，假定每組內(nèi)各支承點(diǎn)的地面運(yùn)動完全相關(guān)且為一致激勵，而各組之間的地面運(yùn)動為互不相關(guān)且為非一致激勵，先將各組支承單獨(dú)受到地震激勵時(shí)結(jié)構(gòu)各振型間的反應(yīng)采用CQC 法組合，再將不同組支承在地震激勵下的反應(yīng)采用SRSS 法組合，以得到結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵下的總反應(yīng).

該方法考慮了地面運(yùn)動的局部場地效應(yīng)，沒有計(jì)及結(jié)構(gòu)反應(yīng)中的擬靜力項(xiàng)及其與動力項(xiàng)的互相關(guān)性，沒有考慮行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)，當(dāng)行波效應(yīng)和部分想干效應(yīng)的影響不顯著時(shí)，如結(jié)構(gòu)不同支承處場地差異很大，或跨越了斷裂帶時(shí)，該方法則具有一定的實(shí)用價(jià)值.

2.2 Berrah M 和Kausel E提出的修正系數(shù)法［9－10］

該方法引入了兩個(gè)修正系數(shù)，一個(gè)用來修正結(jié)構(gòu)各振型反應(yīng)譜值，一個(gè)用來修正振型相關(guān)系數(shù)，如此，可將一致激勵時(shí)的CQC 法推廣到多點(diǎn)激勵中.為便于工程實(shí)踐應(yīng)用，該方法引入地面運(yùn)動為白噪聲的假定，取Loh等［11］所給出的地運(yùn)動相干函數(shù)模型，對頻響函數(shù)及式中系數(shù)進(jìn)行了簡化處理.特別地，針對承受水平地震作用的剪切型框架結(jié)構(gòu)，當(dāng)各柱剛度相近時(shí)，在上述簡化工作的基礎(chǔ)上，還得到了更進(jìn)一步的簡化形式.

該方法可以利用一致激勵時(shí)的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜及組合方法獲得結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵下的反應(yīng)，考慮了行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)，但沒有考慮局部場地效應(yīng)，沒有計(jì)及結(jié)構(gòu)反應(yīng)中的擬靜力項(xiàng)及其與動力項(xiàng)的互相關(guān)性.

2.3 其他直接反應(yīng)譜法

蘇亮和董石麟等［12］針對兩邊支承，且具有對稱性的大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，將結(jié)構(gòu)分為正對稱半結(jié)構(gòu)與反對稱半結(jié)構(gòu)，并將兩邊支座處的地震動輸入分解為相應(yīng)的正對稱分量和反對稱分量，然后將兩個(gè)半結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果疊加，即得到原結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，并基于隨機(jī)振動理論提出了兩點(diǎn)激勵下抗震設(shè)計(jì)的“平均反應(yīng)譜法”，如此將兩點(diǎn)激勵問題轉(zhuǎn)化為一致激勵問題，并可同時(shí)考慮行波效應(yīng)和相干效應(yīng).

樓夢麟和唐玉［13］利用拱橋?qū)ΨQ性，建立了進(jìn)行拱橋地震行波反應(yīng)計(jì)算的一致反應(yīng)譜方法，該方法基于目前工程抗震設(shè)計(jì)中常用的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜，概念簡單，易于工程設(shè)計(jì)人員應(yīng)用.但這一方法的適用面受到限制，還只是適用于單跨的對稱結(jié)構(gòu).

黃明開［14］根據(jù)大質(zhì)量法近似方法的運(yùn)動方程，推導(dǎo)出了基于大質(zhì)量法的直接反應(yīng)譜方法，該方法認(rèn)為，大質(zhì)量體系比原結(jié)構(gòu)體系增加的振型，包括剛體振型在內(nèi)，就是原結(jié)構(gòu)的擬靜力位移的組合，當(dāng)考慮了這些振型后，也就考慮了擬靜力位移的影響，因此，基于大質(zhì)量法的反應(yīng)譜法與一般的反應(yīng)譜法有著同樣完備的理論基礎(chǔ)，相似的計(jì)算公式，相同的計(jì)算精度.

3 功率譜轉(zhuǎn)反應(yīng)譜法

此種方法思路是根據(jù)多點(diǎn)激勵下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程，將結(jié)構(gòu)反應(yīng)分為擬靜力反應(yīng)與動力反應(yīng)兩部分，得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)在時(shí)域內(nèi)的解的表達(dá)式，從而基于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程的假定，利用隨機(jī)振動法得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)、均方差函數(shù)，最終得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)平均最大值的反應(yīng)譜組合公式，文中稱之為“功率譜轉(zhuǎn)反應(yīng)譜法”.

3.1 Der Kiureghian A 和Neuenhofer A 提 出 的 方法［1］及相應(yīng)的簡化方法

該方法常稱之為多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法，簡稱MSRS法，其假定結(jié)構(gòu)各支承處的地面運(yùn)動uk（t）為一系列零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，則結(jié)構(gòu)反應(yīng)也為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，根據(jù)隨機(jī)振動理論，可從式（6）推導(dǎo)出R（t）的自功率譜密度函數(shù)GR（ω）、均方差σ2R，最終得出振型組合方法如下：

當(dāng)?shù)卣鸺顬橐恢录顣r(shí)，可發(fā)現(xiàn)該方法即退化為一致激勵時(shí)的CQC法，該方法也可視為多點(diǎn)激勵下的CQC法，因此，該方法也繼承了CQC 法的缺點(diǎn)，即當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼較小或結(jié)構(gòu)自振周期與地面運(yùn)動持時(shí)相比很長時(shí)，其精度會大大降低，且沒有計(jì)及截?cái)嗟母哳l振型的影響，對于窄帶地面運(yùn)動輸入的情況，精度也較差，這些缺點(diǎn)在運(yùn)用該方法對金門大橋的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜分析中已經(jīng)有所表現(xiàn)［15］.盡管如此，該方法較全面地考慮了行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)及局部場地效應(yīng)的影響，而且較好地反映了各支承點(diǎn)地面運(yùn)動的相關(guān)性和各振型間的相關(guān)性，理論嚴(yán)密，是很有發(fā)展前景的一種分析方法，但其計(jì)算過程復(fù)雜，工作量大，難以為工程設(shè)計(jì)人員接受，因此，如何提高該方法的計(jì)算效率并保證其計(jì)算精度，很多學(xué)者進(jìn)行了進(jìn)一步的研究.

3.1.1 Loh C H 和Ku B D 提出的簡化方法［16］

該方法假定地震波剪切波速與視波速相等，以簡化地面運(yùn)動相干函數(shù)的計(jì)算.在計(jì)算各互相關(guān)系數(shù)時(shí)，將功率譜密度函數(shù)分為實(shí)部和虛部兩部分，分別對其進(jìn)行積分運(yùn)算，同時(shí)引入文獻(xiàn)［9］中對傳遞函數(shù)的簡化并建議對地面運(yùn)動自功率譜密度函數(shù)進(jìn)行簡化［17］，使互相關(guān)系數(shù)的無限積分簡化為直接的數(shù)值積分計(jì)算，大大減少了計(jì)算工作量.該方法同時(shí)指出，在結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中，可以忽略擬靜力反應(yīng)和動力反應(yīng)的相關(guān)項(xiàng)，對計(jì)算精度影響不大.

3.1.2 Kahan M 等提出的簡化方法［18］

該方法是針對地震動空間變化性較小的情況所提出的一種計(jì)算大跨橋梁結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵的簡化方法，使用該方法時(shí)需滿足以下幾個(gè)條件：①地面運(yùn)動各分量之間相互獨(dú)立，各個(gè)方向的地震激勵可以單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算；②結(jié)構(gòu)的擬靜力反應(yīng)和動力反應(yīng)是完全不相關(guān)的，此時(shí)通常需要結(jié)構(gòu)的基本自振頻率大于0.5 Hz；③結(jié)構(gòu)的各階自振頻率相差較大以至于可以忽略各振型之間的相關(guān)性；④相干損失率小于2×10－3s·m－1且視波速大于200m·s－1.該方法通過對相干函數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，分別得到當(dāng)大跨橋梁承受沿結(jié)構(gòu)跨度方向的水平地震激勵、側(cè)向水平地震激勵以及豎向地震激勵時(shí)的振型組合方法.同時(shí)，文獻(xiàn)［18］中提出了如何適當(dāng)選取參與計(jì)算的模態(tài)數(shù)的方法.

該方法可應(yīng)用于大跨橋梁的初步設(shè)計(jì)階段，幫助分析大跨橋梁的地震反應(yīng)，但當(dāng)?shù)卣饎涌臻g變化性較大時(shí)，該簡化公式將不再適用，對此，文獻(xiàn)［18］中給出了地震動空間變化性較大時(shí)，估算橋梁結(jié)構(gòu)最大地震反應(yīng)的計(jì)算公式.

3.1.3 劉先明、孫建梅、葉繼紅等提出的簡化方法［4，19］

該方法是針對大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)所提出的一種簡化方法，其認(rèn)為，在實(shí)際工程中，絕大多數(shù)的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的自振周期小于2s，此時(shí)可忽略結(jié)構(gòu)的擬靜力反應(yīng)與動力反應(yīng)的耦合；且結(jié)構(gòu)跨度一般不會超過500m，各支承點(diǎn)可認(rèn)為處于同一性質(zhì)場地，可假定各支撐處的地面運(yùn)動具有相同的功率譜密度函數(shù).

文獻(xiàn)［4］中通過計(jì)算對比指出，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，可將地面運(yùn)動簡化為白噪聲過程，并且通過對結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)的研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)對于地震波的頻率分量具有較強(qiáng)的選擇性，可近似認(rèn)為地震波中僅有與結(jié)構(gòu)各個(gè)振型頻率相同的成分對結(jié)構(gòu)的相應(yīng)振型反應(yīng)有貢獻(xiàn)，而對其他振型的影響以及其他頻率的波對該振型的貢獻(xiàn)可略去不計(jì).

孫建梅等［19］在計(jì)算時(shí)，將頻響函數(shù)的乘積寫成實(shí)部和虛部和的形式，根據(jù)頻響函數(shù)對地震波的頻率分量有很強(qiáng)的選擇性的性質(zhì)，進(jìn)行簡化處理，并假定地面運(yùn)動為理想白噪聲過程，簡化后省去許多積分運(yùn)算.

此外，Allam 和Datta［20－21］通過與文獻(xiàn)［1］中相同的理論推導(dǎo)過程，得出了地震動多點(diǎn)多維輸入下計(jì)算斜拉橋地震反應(yīng)的反應(yīng)譜法公式，并在分析中適當(dāng)?shù)乜紤]了各支承點(diǎn)地震動的相干性、反應(yīng)的擬靜力分量和不同模態(tài)間的相關(guān)性，但忽略了地震動的行波效應(yīng)和局部場地效應(yīng).

3.2 Heredia－Zavoni E和Vanmarcke E H 提出的方法［22］及相應(yīng)的簡化方法

該方法常稱之為“組合法”，其假定各支承自由度處的地面運(yùn)動為零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程，并認(rèn)為地面運(yùn)動持時(shí)足夠長以使結(jié)構(gòu)的反應(yīng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，由此基于隨機(jī)振動理論，推導(dǎo)出了任意兩個(gè)結(jié)構(gòu)反應(yīng)R（t）和R′（t）間的協(xié)方差，并且在推導(dǎo)過程中指出，該方法適用于結(jié)構(gòu)相鄰兩階模態(tài)的自振頻率之比小于0.7或大于1.2的情況，最后根據(jù)協(xié)方差公式，導(dǎo)出R（t）的方差，并得到相應(yīng)的反應(yīng)譜法振型組合方法如下：

式中：αkli，θkli，φkli為僅與結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān)的系數(shù)；Γ0，kli，Λ1，kli，Λ3，kli稱為譜參數(shù)，其取值與地面運(yùn)動特性和結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān).

將此方法與“MSRS 法”相比可以看出，在擬靜力反應(yīng)項(xiàng)、擬靜力反應(yīng)與動力反應(yīng)的耦合項(xiàng)，兩種方法基本相同，只是在動力反應(yīng)上有所區(qū)別.Der Kiureghian認(rèn)為，雖然此方法計(jì)算效率有所提高，但卻是以犧牲計(jì)算精度為代價(jià)的，為此，雙方曾就各自方法的計(jì)算精度和效率進(jìn)行過爭論［23－24］，而至今也未得出確切結(jié)論，尚有待于進(jìn)一步的理論研究和實(shí)際應(yīng)用加以驗(yàn)證.

3.2.1 劉洪兵、朱晞等提出的簡化方法［25－27］

文獻(xiàn)［25］通過略去結(jié)構(gòu)擬靜力反應(yīng)與動力反應(yīng)的耦聯(lián)項(xiàng)，并采用文獻(xiàn)［9］中的相干函數(shù)模型及其簡化的頻響函數(shù)模型，以及地面運(yùn)動過濾白噪聲模型，以簡化式（8）的計(jì)算.

文獻(xiàn)［26－27］中提出了一種相關(guān)系數(shù)的“離線計(jì)算方法”，即在三維空間內(nèi)，在一定的阻尼比及場地條件下，相關(guān)系數(shù)隨結(jié)構(gòu)自振頻率、地震動在結(jié)構(gòu)各支承間的傳播時(shí)間變化的三維曲線可以事先求得，并將其存儲起來，對不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)可對其直接調(diào)用.

3.2.2 李杰等提出的簡化方法［28］

該方法根據(jù)文獻(xiàn)［22］的思路和推導(dǎo)過程，不僅得出了結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)的均值的組合公式，還得出了結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的組合公式，在計(jì)算公式中的譜參數(shù)時(shí)，假定結(jié)構(gòu)各支撐自由度處的地面運(yùn)動均為理想白噪聲過程，并采用文獻(xiàn)［9］中的相干函數(shù)以及文獻(xiàn)［1］中的反應(yīng)譜與功率譜的轉(zhuǎn)換關(guān)系，再進(jìn)行積分運(yùn)算，進(jìn)而通過觀察總結(jié)以及回歸分析，得出了相關(guān)系數(shù)的近似計(jì)算公式.

文獻(xiàn)［28］通過對一雙塔斜拉橋的抗震分析表明，該方法的計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo模擬給出的結(jié)果比較接近，且具有MSRS法所無法比擬的計(jì)算效率，該方法解決了既有的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法計(jì)算量大、不能給出結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)缺點(diǎn)，并可以推廣應(yīng)用到結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵下的抗震可靠度分析中.

3.3 王君杰等提出的方法［29］

文獻(xiàn)［29］從平穩(wěn)隨機(jī)振動理論出發(fā)，基于對復(fù)模態(tài)物理意義的解釋，提出了計(jì)算一個(gè)適用于多點(diǎn)多維地震動作用下的一般阻尼體系的反應(yīng)譜分析方法（GRSM）.一般阻尼系統(tǒng)的反應(yīng)不僅與模態(tài)位移反應(yīng)有關(guān)，而且與模態(tài)速度反應(yīng)有關(guān)，因此反應(yīng)譜分析方法中增加了與速度反應(yīng)譜有關(guān)的項(xiàng)，經(jīng)典阻尼體系的反應(yīng)譜分析方法即為GRSM 表達(dá)式中的一項(xiàng).文中進(jìn)一步研究表明，對于上部結(jié)構(gòu)分析以及系統(tǒng)內(nèi)無調(diào)諧作用的土－結(jié)構(gòu)相互作用分析，與模態(tài)速度反應(yīng)有關(guān)的項(xiàng)對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的貢獻(xiàn)可以忽略，此時(shí)一般阻尼體系的反應(yīng)譜方法與經(jīng)典反應(yīng)譜方法在數(shù)學(xué)格式上完全相同，只是一般阻尼體系仍需求解復(fù)特征值問題.

4 基于虛擬激勵法的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法

此種方法思路是基于虛擬激勵法，構(gòu)造相應(yīng)的多點(diǎn)虛擬激勵，得出多點(diǎn)激勵下的反應(yīng)譜組合公式.林家浩等人根據(jù)隨機(jī)振動原理提出了一種計(jì)算大型結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的高效算法，即虛擬激勵法［30］，為計(jì)算多點(diǎn)激勵下大跨度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)提供了快捷的計(jì)算方法，一些學(xué)者將此方法與反應(yīng)譜法相結(jié)合，建立了基于虛擬激勵法的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法.

4.1 王淑波提出的振型組合法［31］

文獻(xiàn)［31］中認(rèn)為，前文所述的適用于多點(diǎn)激勵的反應(yīng)譜法，都是基于地面運(yùn)動和結(jié)構(gòu)反應(yīng)為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程的假定而導(dǎo)出的，然而對于自振周期長、自振頻率密集、阻尼比較小的大跨結(jié)構(gòu)而言，起主要貢獻(xiàn)的振型響應(yīng)在地震持時(shí)內(nèi)多數(shù)處于非平穩(wěn)過渡態(tài)，而非平穩(wěn)狀態(tài)，因而在此種情況下，前述方法的精度會大大下降.但是，即使對于非常簡單的體系，確定非平穩(wěn)過程的均方響應(yīng)也是非常復(fù)雜的，難以為工程實(shí)踐所接受.為此，文中從虛擬激勵法入手，通過釋放一些平穩(wěn)過程的假定，推導(dǎo)出了一種可以近似考慮結(jié)構(gòu)反應(yīng)非平穩(wěn)性的振型組合方法，即HOC法.該方法可近似考慮結(jié)構(gòu)反應(yīng)的非平穩(wěn)性，計(jì)算簡便，但無法考慮地震動的局部場地效應(yīng).

4.2 孫建梅、葉繼紅等提出的方法［32－33］

該方法假定結(jié)構(gòu)各支承處地面運(yùn)動功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，并忽略擬靜力反應(yīng)與動力反應(yīng)的耦合項(xiàng)，將頻響函數(shù)的乘積成實(shí)部與虛部的和的形式，根據(jù)積分表達(dá)式的特性，對相關(guān)系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行了簡化，簡化后，雖然表達(dá)式比較復(fù)雜，但積分次數(shù)明顯減少，并通過對北京飛機(jī)維修工程有限公司（AMECO）維修機(jī)庫的數(shù)值計(jì)算表明，簡化后計(jì)算精度沒有損失，計(jì)算結(jié)果仍為精確解，但計(jì)算時(shí)間大大縮短，并且隨著振型個(gè)數(shù)的增加效果越加明顯.

5 其他多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法

Zembaty和Krenk［34］考慮地面運(yùn)動的空間相關(guān)性，基于隨機(jī)振動理論提出了結(jié)構(gòu)抗震分析的剪力反應(yīng)譜法，該方法體現(xiàn)了修正反應(yīng)譜思想，通過適當(dāng)相干函數(shù)考慮地面運(yùn)動的空間變化，粗略地反映了不同支承處的地面運(yùn)動對擬靜力反應(yīng)和動力反應(yīng)的影響.

Jeng和Kasai［35］基于隨機(jī)振動理論提出了計(jì)算地震動行波效應(yīng)下相鄰結(jié)構(gòu)最大相對位移的譜差法，該方法考慮了時(shí)滯效應(yīng)且應(yīng)用方便，但不適用與結(jié)構(gòu)自振周期較小、支承相距較遠(yuǎn)的情況.

Trifunac等［36－37］提出了一種用于計(jì)算大跨結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵下底層柱的地震反應(yīng)的相對位移反應(yīng)譜法（可稱之為SDC 法），該方法直接用物理特性、幾何特性來描述結(jié)構(gòu)各柱的運(yùn)動及地面運(yùn)動，將各柱的剛度作為權(quán)重來確定各柱運(yùn)動的參考點(diǎn)，將多點(diǎn)激勵問題轉(zhuǎn)化為一致激勵問題，可用傳統(tǒng)的一致激勵反應(yīng)譜法來考慮，保持了傳統(tǒng)反應(yīng)譜法的簡便性.文獻(xiàn)［37］提出的6 參數(shù)SDC 法還可考慮地震動轉(zhuǎn)動分量的影響.

夏友柏等［38］提出了一種多點(diǎn)激勵下基于改進(jìn)振型位移法的反應(yīng)譜法，可用較少的振型即可得到結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，但精度不高.

6 需要進(jìn)一步研究的問題

綜上所述，國內(nèi)外諸多學(xué)者已就多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜分析方法進(jìn)行了許多研究工作，并取得了許多有意義的成果.反應(yīng)譜法因其簡便性以及與各國規(guī)范的緊密連接，在結(jié)構(gòu)抗震分析中有著不可取代的作用，因而發(fā)展適用于多點(diǎn)激勵下的反應(yīng)譜法是有著廣泛的應(yīng)用前景的，在這方面，還有著以下問題需進(jìn)一步加以研究：

（1）地震動輸入的確定.作為結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的最基礎(chǔ)的問題，地震動輸入的誤差和不確定性是制約多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法發(fā)展的一大問題，關(guān)于地震波的傳播機(jī)理和相干機(jī)制，以及地震動的空間變化效應(yīng)，還需要進(jìn)一步深入的研究.

（2）長周期反應(yīng)譜的確定.隨著大跨結(jié)構(gòu)跨度的不斷增長，結(jié)構(gòu)的自振周期也越來越長，而目前規(guī)范反應(yīng)譜的長周期分量已不能滿足需求.

（3）計(jì)算效率的提高.目前提出的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法公式大多過于復(fù)雜，計(jì)算過于繁瑣，尚只能作為科研手段，難以在工程設(shè)計(jì)中推廣，如何在保證計(jì)算精度的前提下提高計(jì)算效率，將是多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜分析方法的研究中的熱點(diǎn)之一.

（4）非線性反應(yīng)譜的研究.目前提出的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法尚只能應(yīng)用于線性系統(tǒng)，如何計(jì)算結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性之后的地震反應(yīng)，還需要進(jìn)行大量的研究工作.

（5）輸入的非平穩(wěn)性和反應(yīng)的非平穩(wěn)性的影響.目前的多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法公式的推導(dǎo)多是基于結(jié)構(gòu)反應(yīng)已達(dá)到平穩(wěn)響應(yīng)的假定，但對于大跨度結(jié)構(gòu)來說，在地震作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)很可能尚未達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，如何考慮地震動的非平穩(wěn)性以及結(jié)構(gòu)反應(yīng)的非平穩(wěn)性，尚有待于進(jìn)一步研究.

（6）統(tǒng)一格式的反應(yīng)譜組合公式的確定.盡管目前多點(diǎn)激勵反應(yīng)譜法的研究有很多思路，但若想將其廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)，則需推出一個(gè)統(tǒng)一格式的反應(yīng)譜組合公式，既要保證計(jì)算精度，又要足夠簡明、方便，這還需要科研工作者與工程設(shè)計(jì)人員的通力合作與不懈努力.

［1］ Der Kiureghian A，Neuenhofer A.Response spectrum method for multi－support seismic excitations ［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1992，21：713.

［2］ Bogdanoff J L，Goldberg J E，Schiff A J.The effect of ground transmission time on the response of long structures［J］.Bulletin of the Seismological Society of America，1965，55（3）：627.

［3］ 苗家武，胡世德，范立礎(chǔ).大型橋梁多點(diǎn)激勵效應(yīng)的研究現(xiàn)狀與發(fā)展［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1999，27（2）：189.MIAO Jiawu，HU Shide，F(xiàn)AN Lichun.State of art and development of study on seismic performance of long span bridges under multiple－support excitations［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，1999，27（2）：189.

［4］ 劉先明.大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入反應(yīng)譜理論的研究與應(yīng)用［D］.南京：東南大學(xué)土木工程學(xué)院，2003.LIU Xianming.Response spectrum theory on long span space truss under multiple－support excitations［D］.Nanjing：College of Civil Engineering of Southeast University，2003.

［5］ Clough R，Penzien J.Dynamics of structures［M］.New York：McGraw－Hill，1975.

［6］ Der Kiureghian A，Keshishian P，Hakobian A.Multiple－support response spectrum analysis of the bridges including the site response effect and the MSRS code［R］.Berkeley：Earthquake Engineering Research Center of University of California，Berkeley，1997.

［7］ Konakli K，Der Kiureghian A.Extended MSRS rule for seismic analysis of bridges subjected to differential support motions［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2011，40：1315.

［8］ Yamamura N，Tanaka H.Response analysis of flexible MDF systems for multiple－support seismic excitations ［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1990，19：345.

［9］ Berrah M K，Kausel E.Response spectrum analysis of structures subjected to spatially varying motions ［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1992，21：461.

［10］ Berrah M K，Kausel E.A modal combination rule for spatially varying seismic motions［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1993，22：791.

［11］ Loh C H，Yeh Y.Spatial variation and stochastic modelling of seismic differential ground motion［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1988，16：583.

［12］ Su L，Dong S L，Kato S.A new average response spectrum method for linear response analysis of structures to spatial earthquake ground motions ［J］.Engineering Structures，2006，28：1835.

［13］ 唐玉.考慮行波效應(yīng)的抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2008.TANG Yu.The seismic design spectra considering the wave traveling effect［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，2008.

［14］ 黃明開.非一致激勵下大跨空間結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2009.HUANG Mingkai.Seismic responses analyses of long－span space structure under non uniform excitations［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，2009.

［15］ Nakamura Y，Kiureghian A D，Liu D. Multiple－support response spectrum analysis of the golden gate bridge［R］.Berkeley： Earthquake Engineering Research Center of Universtity of California，Berkeley，1993.

［16］ Loh C H，Ku B D.An efficient analysis of structures response for multiple－support seismic excitations［J］.Engineering Structures，1995，17（1）：15.

［17］ Kaul M.Stochastic characterization of earthquakes through their response spectrum［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1978，6：497.

［18］ Kahan M，Gibert R J，Bard P Y.Influence of seismic waves spatial variability on bridges［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1996，25：795.

［19］ 孫建梅，葉繼紅，程文瀼.多點(diǎn)輸入反應(yīng)譜方法的簡化［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，33（5）：647.SUN Jianwei，YE Jihong，CHENG Wenrang.Simplification of the multi－support response spectrum method［J］.Journal of Southeast University，2003，33（5）：647.

［20］ Allam S M，Datta T K.Seismic behavior of cable－stayed bridges under muti－component random ground motion［J］.Engineering Structures，1999，21：62.

［21］ Allam S M，Datta T K.Seismic behavior of cable－stayed bridges under muti－component random ground motion by response spectrum method［J］.Engineering Structures，2000，22：1367.

［22］ Heredia－Zavoni E，Vanmarcke E H.Seismic random－vibration analysis of multisupport－structural systems［J］.Journal of Engineering Mechanics，1994，120（5）：1107.

［23］ Der Kiureghian A，Neuenhofer A.Discussion on “seismic random－vibration analysis of multi－support structural systems”［J］.Journal of Engineering Mechanics，1995，121（9）：1037.

［24］ Heredia－Zavoni E，Vanmarcke E H.Closure on the discussion on “seismic random－vibration analysis of multi－support structural systems”［J］.Journal of Engineering Mechanics，1995，121（9）：1037.

［25］ 劉洪兵，朱晞.大跨度斜拉橋多支承激勵地震響應(yīng)分析［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2001，34（6）：38.LIU Hongbin，ZHU Xi.Seismic response analysis of long－span cable－stayed bridges under multi－support excitations［J］.China Civil Engineering Journal，2001，34（6）：38.

［26］ 劉洪兵，朱晞，鄭峰.基于三維相關(guān)系數(shù)譜的多支承激勵反應(yīng)譜法［J］.世界地震工程，2005，21（4）：106.LIU Hongbin，ZHU Xi，ZHENG Feng. Multi－supported response spectrum method based on 3D spectrum of correlation coefficients. ［J］. World Information on Earthquake Engineering，2005，21（4）：106.

［27］ 劉洪兵.大跨度橋梁考慮多點(diǎn)激勵及地形效應(yīng)的地震響應(yīng)分析［D］.北京：北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，2000.LIU Hongbin.Seismic analysis of long－span bridges for multisupported excitations and topographic effects［D］.Beijing：School of Civil Engineering and Architecture of Beijing Jiaotong Universtiy，2000.

［28］ 李杰，李建華.多點(diǎn)激勵下結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的反應(yīng)譜方法［J］.地震工程與工程振動，2004，24（3）：21.LI Jie，LI Jianhua.A response spectrum method for random vibration analysis of structures under multi－support excitations［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2004，24（3）：21.

［29］ 王君杰.多點(diǎn)多維地震動隨機(jī)模型及結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜分析方法［D］.哈爾濱：國家地震局工程力學(xué)研究所，1992.WANG Junjie.Stochastic models of multi－support and multidimension seismic inputs and response spectrum method［D］.Harbin： Institute of Engineering Mechanics of China Earthquake Administration，1992.

［30］ 林家浩，張亞輝.隨機(jī)振動的虛擬激勵法［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.LIN Jiahao，ZHANG Yahui.Pseudo excitation method for random vibration［M］.Beijing：Science Press，2004.

［31］ 王淑波.大型橋梁抗震反應(yīng)譜分析理論及應(yīng)用研究［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，1997.WANG Shubo.Response spectrum theory for long－span bridges［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，1997.

［32］ 孫建梅.多點(diǎn)輸入下大跨空間結(jié)構(gòu)抗震性能和分析方法的研究［D］.南京：東南大學(xué)土木工程學(xué)院，2005.SUN Jianmei.Research on seismic behavior and analysis method of long－span space structures under multiple support excitations［D］.Nanjing：College of Civil Engineering of Southeast University，2005.

［33］ 孫建梅，葉繼紅，程文瀼.多點(diǎn)輸入反應(yīng)譜中相關(guān)系數(shù)ρijkl的簡化［J］.工程力學(xué)，2006，23（7）：124.SUN Jianmei，YE Jihong，CHENG Wenrang.The simplification of the coherency coefficientsρijklin the multi－support response spectrum［J］.Engineering Mechanics，2006，23（7）：124.

［34］ Zembaty Z，Krenk S.Spatial seismic excitations and response spectra［J］.Journal of Engineering Mechanics，1993，119（12）：2449.

［35］ Jeng V，Kasai K.Spectral relative motion of two structures due to seismic travel waves［J］.Journal of Structural Engineering，1996，122（10）：1128.

［36］ Trifunac M D，Todorovska M I.Response spectra for differential motion of columns［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1997，26：251.

［37］ Trifunac M D，Gicev V.Response spectra for differential motion of columns paper II［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2005，26：1149.

［38］ 夏友柏，王年橋.多點(diǎn)地震激勵下基于改進(jìn)振型位移法的反應(yīng)譜方法［J］.世界地震工程，2003，19（1）：164.XIA Youbo，WANG Nianqiao.The response spectrum method based on modified modal displacement method for multi－support structure［J］.World Information on Earthquake Engineering，2003，19（1）：164.