劉建廠

（海司信息化部 北京 100841）

1 引言

人們把用基函數(shù)和權(quán)函數(shù)將積分方程離散化為矩陣方程的數(shù)值計算方法稱為矩量法［1］，矩量法是一種非常普遍的概念，其基本思想是將一個泛函方程化為矩陣方程并求解該方程。該方法在天線領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，上世紀(jì)60年代，哈林登（Harrington）首先將矩量法應(yīng)用于電磁場領(lǐng)域［2］。對于輻射問題，是將含有未知電流的積分方程化為矩陣方程，通過求解該矩陣方程得到天線上的電流分布。

在矩量法的分析過程中，積分方程有多種，比如雙位積分方程、海倫（Hallen）積分方程、波克林頓（Pocklington）積分方程、反應(yīng)積分方程等［3～7］。本文重點對海倫積分方程的矩量法求解過程進行了研究，文中詳細(xì)推導(dǎo)了海倫積分方程，分別選取全域基和分域積進行了分析，尤其對脈沖分域積、δ權(quán)函數(shù)進行了重點研究，特別是匹配點的選取和廣義阻抗矩陣的特性。

2 海倫積分方程［1～8］

海倫積分方程是基于Δ間隙電壓源［5］求解對稱偶極子天線的，如圖1所示偶極子天線半徑為a，長度為L，沿z軸放置于坐標(biāo)原點，使用間隙為Δ（Δ無限小）強度為Eg的電壓源激勵。

假設(shè)a?λ，a?L，偶極子天線表面的電流僅有軸向分量，即z分量，所以沿偶極子表面電流均勻分布，并且偶極子天線端面電流為零。這樣矢量位僅有軸向分量Az，于是電場表達變?yōu)镋z＝-jωAz-，根據(jù)洛侖茲（Lorentz）規(guī)范［9］，可以得出：

圖1 偶極子天線

該微分方程的通解為Az＝Bcoskz＋Dsinkz，由偶極子天線的對稱性可知：Az（-z）＝Az（z），所以D＝0，上面的通解變?yōu)锳z＝Bcoskz，而特解可以寫作：

在z＝0的Δ（Δ→0）鄰域?qū)Ψ匠蹋?）兩邊求積分：

由于Az在z＝0處連續(xù)，故，上式變?yōu)?/p>

Δ→0時，可得：-jk（M＋N）＝-jωμεV，即：M＋N，根據(jù)Az在z＝0處連續(xù)這一條件，可得M＝N。故微分方程（2）的特解為

Az＝，即：

Az＝Bcoskz＋B′Ve-jk｜z｜，式中，

3 海倫積分方程矩量法求解

用矩量法求解海倫積分方程時，一般使用全域基、點匹配法，對于細(xì)偶極子天線，由于已知電流分布接近正弦分布，所以經(jīng)常采用正弦分布的全域基函數(shù)，這樣使解的收斂性很好，用2～3個展開函數(shù)便能較好的逼近未知函數(shù)。而使用分域基求解由于涉及到偶極子天線的分段和匹配點的選取，所以解法不是很統(tǒng)一，雖然有文獻中使用分域脈沖基、點匹配法進行分析，但偶極子天線的分段和匹配點的選取不是很理想，特別匹配點與分段重合的情況，計算廣義阻抗矩陣易出現(xiàn)奇異點。

3.1 全域基、點匹配［7］

對于圖1所示偶極子天線，選用三角全域基函數(shù)展開，待求電流可表示為

其中：

求解出系數(shù)In后，可以得到天線的輸入阻抗：

由于天線在遠(yuǎn)場區(qū)只有Eθ分量，故：

通過進一步計算，可以求出功率方向圖：

3.2 分域基、點匹配［2～3，5］

選用分域脈沖基函數(shù)作為展開函數(shù)，采用點匹配法，脈沖基函數(shù)選為

圖2 天線分段情況和匹配點選取示意圖

本文采用的分段和匹配方法是將天線分為偶數(shù)段，展開脈沖函數(shù)數(shù)目為奇數(shù)，偶極子天線兩端各留半個分段，匹配點選在每個脈沖的中心，保證在饋電處有一個匹配點。因為方程有N＋1個未知量，故在天線端點處的一個分段中點還需再選一個匹配點，這樣選取的好處是可以使偶極子天線末端的電流為零，具體情況見圖2。離散后的N＋1階線性方程組表示為

式中：

則矩陣形式的表達式為

即：ZI＝V，進一步可得：I＝Z-1V，I的最后一項是系數(shù)C＊，在后面計算中不再使用，這樣便得到了電流分布，進而可以求出輻射場。

偶極子的輻射場在遠(yuǎn)區(qū)只有Eθ和Hφ分量，經(jīng)過化簡，偶極子的第n段的遠(yuǎn)區(qū)輻射場為

偶極子天線的增益：

式中，I0表示饋電點的電流。

4 數(shù)值計算

對L＝0.5λ，a＝0.0001λ和a＝0.001λ中央單位電壓饋電的偶極子天線，天線放置情況如圖1所示，分別用三角全域基、點匹配和脈沖分域基、點匹配進行了矩量法分析。

4.1 電流分布

全域基采用的基函數(shù)個數(shù)為3，匹配點是在L／2 上等間距取N＋1個點；分域基的天線分段數(shù)為60，即采用59個脈沖基函數(shù)，匹配點選在每個脈沖的中心，另在天線的端點處的分段中心再取一個匹配點。

當(dāng)偶極子半徑a＝0.0001λ時，使用全域基與分域基得到的電流分布一致性很好，如圖3所示；而當(dāng)偶極子的半徑增大到a＝0.001λ時，使用分域基得到的電流分布與使用全域基得到的電流分布產(chǎn)生了一定的偏差，特別是在饋電點處，如圖4所示。

圖3 a／λ＝0.0001偶極子的電流分布

圖4 a／λ＝0.001偶極子的電流分布

4.2 輻射特性

功率方向圖對偶極子天線半徑變化的敏感度要低一些，在偶極子半徑a＝0.0001λ時，使用全域基和分域基得到的E面功率方向圖如圖5所示，兩種方法所得結(jié)果吻合度很好。

圖5 偶極子的E 面功率方向圖

4.3 輸入阻抗與增益系數(shù)

偶極子半徑a＝0.0001λ時的輸入阻抗和增益系數(shù)結(jié)果如表1所示，偶極子半徑a＝0.001λ時的輸入阻抗和增益系數(shù)結(jié)果如表2所示。

表1 a＝0.0001λ時的輸入阻抗與增益系數(shù)

表2 a＝0.001λ時的輸入阻抗與增益系數(shù)

計算結(jié)果表明：采用全域基、點匹配法時，N值不宜取的過大，一般取N＝2～3即可，N值過大，會使阻抗矩陣產(chǎn)生病態(tài)；采用脈沖分域基、點匹配法時，偶極子的分段情況和匹配點的選取尤為重要，雖然不同的選取方法大致都能得到較為理想的結(jié)果，但在細(xì)節(jié)上，比如阻抗矩陣的條件數(shù)等方面還是存在很大差距。

兩種方法在求解偶極子輻射特性方面差別不大，功率方向圖的結(jié)果比較一致；對于線徑較大的偶極子天線，全域基比分域基給出的電流分布結(jié)果更加穩(wěn)定；輸入阻抗和增益系數(shù)方面，全域基也比分域基的情況要好一些。

5 病態(tài)矩陣［5，7，10］

使用全域基、點匹配方法，在偶極子線徑較小時，對基函數(shù)的項數(shù)N感度不是很大，不同N值對阻抗矩陣條件數(shù)的影響不大，但隨著偶極子線徑的增加，阻抗矩陣的條件數(shù)對N值的敏感度增強，此時，如果N取得過大，會使阻抗矩陣Zmn變?yōu)椴B(tài)，條件數(shù)隨著N的增加不斷變大，導(dǎo)致電流分布產(chǎn)生畸變。a＝0.005λ的半波偶極子天線隨N值的變化電流分布如圖6～7所示。

圖6 N 為3、5、7、9時的電流分布

圖7 N 為3、11、13、15時的電流分布

全域基、點匹配法阻抗矩陣的條件數(shù)隨N的變化見表3。分域基、點匹配法得到的阻抗矩陣條件數(shù)在偶極子線徑較大時，隨分段數(shù)的增加，變化更為劇烈，更容易使阻抗矩陣產(chǎn)生病態(tài)。

表3 阻抗矩陣的條件數(shù)

6 結(jié)語

海倫積分方程是天線矩量法研究中的一種重要方程，在實際應(yīng)用中，采用不同的基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，對數(shù)值計算結(jié)果有一定影響。本文詳細(xì)推導(dǎo)了海倫積分方程的建立過程，分別采用全域基和分域基對偶極子天線進行了矩量法分析，實現(xiàn)了一種新的分段和匹配方法，并對計算過程中阻抗矩陣的性態(tài)進行了分析研究，下一步工作的重點是對病態(tài)矩陣的產(chǎn)生原因做進一步分析。

［1］鐘順時.天線理論與技術(shù)［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2011：54-55＋465.

［2］HARRINGTON R F.計算電磁場的矩量法［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1981：11-95.

［3］劉其中，宮德明.天線的計算機輔助設(shè)計［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2004：95-111.

［4］李世智.電磁輻射與散射問題的矩量法［M］.北京：電子工業(yè)出版社，1985：25-47.

［5］STUTZMAN W L，THIELE G A.天線理論與設(shè)計［M］.北京：人民郵電出版社，2006：402-409＋424.

［6］宋錚，張建華，黃冶，等.《天線與電波傳播（第二版）》學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011：174-177.

［7］王世錦，陳代宗，冀秀芹.天線微波程序集［M］.北京：宇航出版社，1989：73-79.

［8］盧萬錚.天線理論與技術(shù)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2004：97-98.

［9］康行健.天線原理與設(shè)計［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，1993：9＋42.

［10］高粱，王運行，張德存.矩量法求解海倫方程中的病態(tài)現(xiàn)象［J］.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報（軍事版），2011，9（4）：98-100.

［11］姜光興，曹偉，朱洪波.基于不同積分方程的線天線矩量法分析［J］.南京郵電大學(xué)學(xué)報，2005，25（1）：46-50.

［12］KING R，C W HARRISON，Jr.The Distribution of Curr-ent Along a Symmetrical Center-Driven Antenna［J］.Proc IRE，1943，31：548-567.

［13］Mei K K.On the Integral Equations of Thin Wire Anten-nas［J］.IEEE Trans on AP，1965，13：374-378.

［14］NERI R.Input Impedance of Thin Dipoles by Moment Method［J］.Electronics Letters，1979，15（14）：418-420.