（1.合肥解放軍電子工程學(xué)院404室 合肥 230037）（2.安徽省電子制約技術(shù)重點實驗室 合肥 230037）

1 引言

通信信號偵察處理領(lǐng)域，對通信信號的檢測和參數(shù)識別的處理方法，人們越來越多的采用時頻分析的方法。目前常用的時頻分析方法主要有：短時Fourier變換（STFT）、Gabor變換、小波變換、Wigner-Ville時頻分布、Cohen類時頻表示等。其中，最具代表性的是STFT 和小波變換［1］。

對時頻分析方法而言，時頻分辨率是衡量其算法優(yōu)劣的重要指標(biāo)。STFT 雖然能夠借助濾波器組快速實現(xiàn)，但其時頻分辨率固定；小波變換雖然能夠?qū)崿F(xiàn)多尺度分析，但由于變換的冗余性使其不存在惟一的逆變換［1～2］。由于離散小波變換相鄰時頻窗的兩倍變化特性，對通信信號處理而言實際是不適合的，因此，大多采用連續(xù)小波變換處理。而連續(xù)小波變換又沒有快速算法實現(xiàn)。

因此，1996年，Stockwell 在結(jié)合連續(xù)小波變換和STFT 優(yōu)點的基礎(chǔ)上，引入寬度和頻率成反向變化的高斯窗，提出了一種新的時頻變換方法-S變換［2］。該方法是一種介于短時傅里葉變換和小波變換之間的時頻分析方法，由于該方法具有多尺度聚焦性，時頻分辨率與頻率相關(guān)，且與其傅里葉譜直接聯(lián)系等優(yōu)點，在信號處理領(lǐng)域受到了極大重視，并在多個領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的應(yīng)用。本文在研究S變換基本原理的基礎(chǔ)上，針對目前常用的離散S變換算法進(jìn)行了分析，指出了其在實現(xiàn)過程中存在的問題，提出了改進(jìn)的離散S變換算法，以減少離散S變換的運算量，并基于離散S變換快速算法建立了同時多目標(biāo)通信信號分選識別模型。

2 傳統(tǒng)離散S變換算法

信號h（t）的S變換定義為［2～5］

式中a為常數(shù)。由上式可見，若令，則在S變換中，信號變換的窗函數(shù)為

其高度和寬度隨頻率而變換，這樣就克服了STFT 中窗口高度和寬度固定的缺陷。

信號h（t）可以由S變換S（τ，f）進(jìn)行重構(gòu)，其逆變換為

由信號h（t）的S變換和逆變換表達(dá)式，可以得到其頻譜表達(dá)式H（f）為

由式（1）、（3）和（4）可以得到，信號h（t）的S變換結(jié)果可以用信號的Fourier變換表示，即：

式中，H（f）信號h（t）的頻譜，β為頻率，控制頻域中的高斯窗在頻率軸上移動。

由上式可以看出，對離散信號而言，信號h（t）的S變換可以采用高效的快速傅里葉變換算法和卷積定理實現(xiàn)。

設(shè)對接收到的信號h（t）以采樣時間間隔T進(jìn)行采樣，采樣點數(shù)為N，得到信號h（t）的離散序列：

在文獻(xiàn)［6～9］中，令f→n／NT，τ→kT，則S變換的離散表示形式為

其中，k代表時間采樣點，n代表頻率采樣點。由式（6），得到離散S變換的計算步驟［6～9］。

在文獻(xiàn)［6～9］的S變換離散表示式中，采用FFT 實現(xiàn)了S變換的快速算法。但在式（6）中，由于令f→n／NT，即頻率采樣點是按照Fourier變換的頻率采樣點選取的，而忽略了窗函數(shù)w（t）在頻率域的影響，使得表達(dá)式存在以下三個問題：

1）頻率采樣點n的取值不符合物理意義。n的取值是按照Fourier變換的頻率采樣點選取的，即以Fourier變換的頻率分辨率作為頻率采樣點間隔。而在S變換中，由于窗函數(shù)w（t）的影響，頻率采樣點的選取應(yīng)以w（t）頻窗的寬度作為頻率間隔。

2）n取值范圍及步進(jìn)不合理。式（6）中的n的取值從1～（N-1），步進(jìn)為1／NT，實際為FFT 變換的頻率分辨率。對S變換而言，窗函數(shù)w（t）的頻窗本身就反映了頻域中的頻率分辨率。為了保證各頻點對應(yīng)的頻窗無縫并且無冗余的覆蓋分析頻段，頻率步進(jìn)應(yīng)為各頻率對應(yīng)的頻窗寬度。反映頻率f變化的n的取值，應(yīng)根據(jù)所分析的頻段范圍和頻窗寬度確定。在實際應(yīng)用中，頻窗寬度應(yīng)該比取N點FFT 變換對應(yīng)的頻率分辨率數(shù)值要大，否則窗函數(shù)w（t）在時窗包含的時域點數(shù)要大于N。由此可以得到，離散S變換中頻率采樣點的個數(shù)應(yīng)該小于（N-1）。

3）m取值范圍不合理。式（6）中的m取值從0～（N-1）。然而由于在頻域中w（t）窗函數(shù)的存在，對頻窗以外的卷積是不必要的，因此，m的取值范圍應(yīng)該縮小，取值范圍應(yīng)該是頻窗的寬度。

從以上討論可知，式（6）中的m和n的取值，將無端增大計算的運算量。將冗余的運算量去除的關(guān)鍵就是必須考慮窗函數(shù)w（t）頻窗的影響。

3 改進(jìn)的離散S變換算法

對窗函數(shù)w（x）而言，其中心w0與半徑Δw分別為［11］

可得信號w（t）的頻窗為

首先來看離散頻率點n的取值。

由于f點的頻窗寬度即為f點的頻率分辨率，根據(jù)處理信號的系統(tǒng)頻率分辨率需求，由式（8），在處理信號頻率最大的情況下，求等于頻率分辨率的值，得到式（8）中參數(shù)a的值。這樣，在確定a值的情況下，不同的頻率點均能滿足系統(tǒng)分辨率要求。為了滿足不同頻率點對應(yīng)的頻窗對處理頻段的無縫覆蓋，則離散后各頻率應(yīng)滿足：

設(shè)信號的采樣速率為1／T，對于數(shù)字采樣后的信號頻譜分布，在S變換中，選取0～1／（2T）不合適。因為如果頻率為0，將帶來窗口函數(shù)對應(yīng)頻窗為0，由Hesienberg測不準(zhǔn)原理［11］，時窗無窮大，計算將無法實現(xiàn)。由Nyquist采樣定理的折疊特性，在1／T～3／（2T）內(nèi)的信號頻譜與0～1／（2T）頻段內(nèi)的信號頻譜完全相同。因此，可以取處理的頻段范圍為1／T～3／（2T）。由式（9）得到整個處理頻段內(nèi)的離散頻率個數(shù)（即n的取值范圍）Nscales為

式中，INT（·）代表對數(shù)值進(jìn)行向下取整。則n的取值為0，1，…，Nscales-1，其頻率步進(jìn)為對應(yīng)頻率點的頻窗寬度。每個n值（離散頻率點）對應(yīng)的頻率為

下面來看卷積項數(shù)m的取值。

卷積項數(shù)m的取值范圍，和n值對應(yīng)的頻率所確定的頻窗寬度有關(guān)，由式（8）和（11）可以得到：

（）n以N點FFT 變換的頻率分辨率轉(zhuǎn)換為離散點數(shù)widthn為

則對應(yīng)于不同的n值，m取值范圍為

頻率fn相對于FFT 變換結(jié)果對應(yīng)的離散點（cen＿fft）n為

由此，綜合式（10）、（14）和（15）可以得到修正后的離散S變換公式為

其中k＝0，1，…，N-1。

在式（16）中，為了應(yīng)用IFFT 算法，減少運算量，并且由Nyquist采樣定理的折疊特性，將m的取值范圍更改為

其中，

因此，可以得到改進(jìn)的離散S變換公式為

其中k＝0，1，…，N-1，n＝0，1，…，Nscales-1。由式（19），可以得到改進(jìn)的離散S變換算法實現(xiàn)步驟如下：

1）初始化；

（1）根據(jù)信號處理分辨率的要求，由式（8），確定式（1）中尺度因子的常數(shù)a的值；

（2）由式（10），計算離散S變換中頻率點的個數(shù)Nscales，確定n的取值范圍；

（3）由式（13）、（14），確定不同n值對應(yīng)的m的取值范圍；

（4）由式（15），計算不同n值代表的頻率fn相對于FFT 變換結(jié)果對應(yīng)的離散點（cen＿fft）n；

2）計算h（k）的FFT 結(jié)果

3）計算窗函數(shù)w（t）的FFT結(jié)果，得到

4）按頻率采樣點（cen＿fft）n計算

下面對改進(jìn)離散S變換算法性能進(jìn)行分析。

由式（6），可以得到在1／（2T）處理頻段寬度范圍內(nèi)，完成傳統(tǒng)離散S變換需要的運算量為

由式（19），同樣可以得到在1／（2T）處理頻段寬度范圍內(nèi)，采用改進(jìn)的離散S變換算法完成運算的運算量為

由上面的討論可知，肯定存在Nscales≤N和Mn≤N，所以，改進(jìn)的離散S變換的運算量比傳統(tǒng)離散S變換的運算量要小。

下面考慮一個處理系統(tǒng)。設(shè)信號采樣速率1／T＝20MHz，采樣點數(shù)N＝4096。系統(tǒng)處理的頻率分辨率需求為Δf≤75kHz。采用傳統(tǒng)離散S變換和改進(jìn)的離散S變換算法對信號進(jìn)行分析處理，可以得到兩種方法的運算量對比如表1所示。

表1 算法運算量比較

固定系統(tǒng)頻率分辨率要求，當(dāng)不同采樣點數(shù)時，采用傳統(tǒng)離散S變換算法和改進(jìn)的離散S變換算法，分別計算運算量，得到圖1。為方便顯示，運算量采用對數(shù)坐標(biāo)顯示。

圖1 運算量與采樣點數(shù)對數(shù)坐標(biāo)關(guān)系

由表1和圖1可以得出結(jié)論，改進(jìn)的離散S變換算法運算量明顯比傳統(tǒng)的離散S變換算法的運算量要小，對于1024點以上的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時，基本上要少一至幾個數(shù)量級；而且隨著所處理的采樣點數(shù)的增多，改進(jìn)離散S變換算法比傳統(tǒng)的離散S變換算法在算法的運算量方面越具有優(yōu)勢。

4 常規(guī)通信信號分選識別數(shù)學(xué)模型的建立

通信信號在時域和頻域上的變化特征是建立多目標(biāo)信號分選識別數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。一般來說，信號S變換的多維相空間中包含下述可選特征：

N為尺度域上能量峰值的個數(shù)；

ai為尺度域上第i個能量峰值對應(yīng)的尺度值，i＝1，2，…，N；

Mi為尺度ai對應(yīng)的幅值發(fā)生突變的次數(shù)；

tij為Mi≠0時，尺度ai對應(yīng)的峰值發(fā)生第j次突變的時間，j＝1，2，…，Mi；

Pij為Mi≠0時，尺度ai對應(yīng)的第j個幅值的大小，j＝1，2，…，Mi＋1。

上述特征值構(gòu)成了樣本空間中的多維特征向量，它從不同側(cè)面描述了目標(biāo)信號之間時頻綜合特性，是建立信號分選識別數(shù)學(xué)模型的特征依據(jù)。

對信號的特性而言，具備以下特點：

1）不同調(diào)制域特性的目標(biāo)信號在多維特征空間中表現(xiàn)出顯著差異的自相關(guān)與互相關(guān)特性；

2）相同調(diào)制域特性的目標(biāo)信號在多維特征空間中表現(xiàn)出基本共性的自相關(guān)與互相關(guān)特性；

3）當(dāng)同時接收多個目標(biāo)信號時，各相對獨立的目標(biāo)信號其S變換在時間-尺度（頻率）域表現(xiàn)出弱的互相關(guān)特性，與各類信號的先驗特性相對應(yīng)。

根據(jù)上述特點，對信號的分選識別可按以下四個步驟進(jìn)行：

1）提取信號S變換的各多維特征向量

對S變換的結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，獲取下列各特征向量：

2）分析上述各多維特征向量的自相關(guān)與互相關(guān)特性

自相關(guān)特性分析主要針對尺度域上各ai值對應(yīng)幅度隨時間的變化特征，側(cè)重于分析Δtik＝ti（k＋1）-tik及其對應(yīng)ΔPik＝Pi（k＋1）-Pik的特性，包括：

互相關(guān)特性分析主要針對尺度域上兩個尺度值ai、aj之間對應(yīng)幅度隨時間的變化特征，側(cè)重于分析ΔMij＝Mi-Mj及Δt（i，j）k＝tik-tjk的特性，包括：

在ΔMij＝0（i≠j）時，

如果ΔMij≠0，則對兩個尺度ai和ai分別進(jìn)行自相關(guān)特性分析。

3）根據(jù)互相關(guān)特性，確定通帶內(nèi)同時存在多少個目標(biāo)信號。

在模式訓(xùn)練的過程中，對各種常規(guī)通信信號進(jìn)行S變換，然后同時根據(jù)各種常規(guī)通信信號S變換下的變換結(jié)果，對各種信號S變換結(jié)果之間的尺度（頻率）域上的互相關(guān)變換特性ΔMij和時間域上的變換特性Δtij進(jìn)行分析，得出不同常規(guī)通信信號之間互相關(guān)特性識別的閾值。在進(jìn)行分選識別時，主要根據(jù)訓(xùn)練中得到的判別閾值和未知信號的尺度（頻率）域上的變換特性ΔMij和時間域上的變換特性Δtij來判斷。

4）根據(jù)自相關(guān)特性建立相應(yīng)的識別模型，確定各目標(biāo)信號的調(diào)制樣式，并提取出對應(yīng)的特征參數(shù)。

在模式訓(xùn)練的過程中，分別根據(jù)某一種常規(guī)通信信號S變換下的變換結(jié)果，對所訓(xùn)練信號S變換結(jié)果自身的尺度（頻率）域上的自相關(guān)變換特性ΔPik和時間域上的變換特性Δtik進(jìn)行分析，得出這一常規(guī)通信信號自相關(guān)特性識別的閾值。然后對另一種通信信號進(jìn)行相同處理，得到不同常規(guī)通信信號分選識別自相關(guān)特性判別閾值。在進(jìn)行分選識別時，主要根據(jù)訓(xùn)練中得到的判別閾值和未知信號的尺度（頻率）域上的變換特性ΔPik和時間域上的變換特性Δtik來判斷。

總之，通過對目標(biāo)信號S變換的自相關(guān)與互相關(guān)特性分析，并采用模式識別中分層分類器的判決模式，就可以實現(xiàn)同時對多目標(biāo)信號在時間域、尺度域（頻率域）和調(diào)制域的綜合分選識別。

5 對多目標(biāo)通信信號的分選識別

由此，可以得到基于改進(jìn)S離散變換算法的多目標(biāo)通信信號分選識別框圖如圖2所示。本文給出了通過處理實際采集的空中信號，利用基于改進(jìn)離散S變換算法的多目標(biāo)通信信號分選識別模型進(jìn)行信號分選識別的一個例子。實驗中，接收機(jī)輸出中頻信號頻率為1.4MHz，中頻帶寬為6kHz，根據(jù)Nyquist 采樣定理，信號采樣速率可取為16kHz，對短波波段內(nèi)的通信信號進(jìn)行處理。圖3分別給出了帶寬內(nèi)處理一個信號、兩個信號、三個信號時的改進(jìn)的離散S變換結(jié)果和識別結(jié)果。

圖2 基于改進(jìn)離散S變換算法的多目標(biāo)通信信號分選識別框圖

為了更好地說明算法的有效性，下面對不同信噪比情況下的S變化結(jié)果和信號識別結(jié)果進(jìn)行驗證。實驗中，模擬產(chǎn)生了單音調(diào)制的AM 信號，信號載頻取100kHz，調(diào)制頻率為1kHz，調(diào)制系數(shù)取0.3，模擬噪聲為高斯白噪聲，信號采樣頻率取為10.24kHz。模擬產(chǎn)生不同信噪比下的AM 信號，其改進(jìn)離散S變換結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，對于調(diào)制系數(shù)為0.3 的單音調(diào)制AM 信號，當(dāng)SNR ＝-3dB時，此時信號的調(diào)制信息已經(jīng)被噪聲完全淹沒，而載頻還是比較容易從噪聲中分離出來，模型不能正確識別信號。大量模擬實驗結(jié)果表明，對于信噪比SNR ＞-3dB的信號，基于改進(jìn)離散S變換的通信信號多目標(biāo)分選識別模型基本上能將信號調(diào)制樣式識別出來，SNR 越大，即噪聲越小，識別效果越好。

圖3 信號改進(jìn)離散S變換結(jié)果及識別參數(shù)

6 結(jié)語

本文對離散S變換算法進(jìn)行了研究，在對傳統(tǒng)離散S變換算法研究的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的離散S變換算法，并建立了常規(guī)通信信號分選識別模型。通過對比傳統(tǒng)離散S變換和改進(jìn)離散S變換算法的運算量，證明了改進(jìn)離散S變換算法的運算量更少，基本上要少一至幾個數(shù)量級，證明了算法的有效性。通過處理實際接收的空間信號，證明了基于改進(jìn)離散S變換算法的常規(guī)通信信號分選識別模型的有效性，實現(xiàn)了同時多目標(biāo)通信信號的識別。

圖4 高斯噪聲下單音調(diào)制AM 信號改進(jìn)離散S變換結(jié)果

改進(jìn)離散S變換算法運算量的減少和基于其上的分選識別模型的建立，對于通信信號的快速偵察以及相應(yīng)硬件設(shè)備的實現(xiàn)，具有重要的理論和現(xiàn)實意義。

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