劉小蒙，郁永年，魯玉祥，徐保成

(西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽 712099)

多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)的核心一方面是如何計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，常用的方法有：有限差分法、直接微分法、伴隨變量法[1]；另一方面是如何選擇高效、穩(wěn)定的優(yōu)化算法，可以保證快速收斂的同時(shí)，盡量減少目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)。

火炮是一個(gè)十分復(fù)雜的機(jī)、電、液一體化系統(tǒng)，為了真實(shí)地反映火炮發(fā)射過程中的運(yùn)動(dòng)與受力，目前針對(duì)火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)的建模多采用剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)方法，對(duì)模型的求解采用數(shù)值迭代方法，因此需要耗費(fèi)一定的計(jì)算時(shí)間?；诨鹋诎l(fā)射動(dòng)力學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要采用遺傳算法[2]與SQP算法[3]。

遺傳算法需要多次計(jì)算動(dòng)力學(xué)方程，因此效率較低，SQP算法具有超線性收斂、數(shù)值穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，因此在工程上得到很好的應(yīng)用。然而，為了保證算法的全局收斂性，SQP算法需要選擇一個(gè)“效益函數(shù)”作為算法下降性的檢測，常用的一類“效益函數(shù)”為精確罰函數(shù)，然而采用精確罰函數(shù)時(shí)，罰函數(shù)因子的選取沒有確定的公式，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)反復(fù)地調(diào)試[4]。SQP算法在多體動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中的另外一個(gè)問題是采用線性搜索計(jì)算最佳迭代步長，而線性搜索需要進(jìn)行多次迭代，每次迭代都要求解一次多體動(dòng)力學(xué)模型，因此會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。

實(shí)際上即使不用罰函數(shù)和線性搜索，SQP算法仍然可能具有全局收斂性，Roger Fletcher和Sven Leyffer提出了不用罰函數(shù)的Filter-SQP算法，并且通過大量的數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性[5]。Filter-SQP算法在火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)上也有著明顯的優(yōu)勢(shì)。本文以某車載火炮為例，采用自主開發(fā)的Filter-SQP算法，研究其在火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用。

1 Filter-SQP算法

“慮子(Filter)”的概念是由Fletcher和Leyffer提出的用來求解非線性規(guī)劃問題的一類有效的數(shù)值方法，它回避了“價(jià)值函數(shù)”的概念，而且避免了罰因子的選取問題。

考慮一般的約束優(yōu)化問題：

(1)

在求解非線性優(yōu)化問題時(shí)，不僅要求目標(biāo)函數(shù)最小，而且還要滿足可行域的條件，在罰函數(shù)中把這兩個(gè)條件聯(lián)合在一起，而在Filter算法中這兩個(gè)相互沖突的目標(biāo)可以改寫成多目標(biāo)優(yōu)化的形式：

(2)

其中：

(3)

這里：

(4)

把(f(x),h(x))作為一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，有如下兩個(gè)定義：

定義1(f(k),h(k))控制(f(l),h(l))當(dāng)且僅當(dāng)f(k)≤f(l)，并且h(k)≤h(l)。

定義2Filter是由一系列的(f(l),h(l))構(gòu)成，F(xiàn)ilter中的每一個(gè)點(diǎn)都不相互控制，新點(diǎn)(f(k),h(k))不被Filter中的任何一個(gè)點(diǎn)所控制時(shí)，就接受這一點(diǎn)，并且把(f(k),h(k))控制的所有點(diǎn)從Filter中除去。

將Filter方法與SQP算法結(jié)合，可以得到很好的Filter-SQP算法，算法步驟如下：

1)給定初始值x(0)和ρ置k=0。

2)判斷二次規(guī)劃(QP)子問題是否可行，若不可行，選取新的迭代點(diǎn)x(k)重新計(jì)算；若可行，計(jì)算QP子問題：

s.t.A(k)Td+c(k)=0

‖d‖∞≤ρ

得到d(k)，判斷是否滿足收斂性條件，若滿足，進(jìn)入步驟 6)；否則，把d(k)作為搜索方向，置x(k+1)=x(k)+d(k)。

3)計(jì)算f(k+1),h(k+1)，判斷(f(k+1),h(k+1))是否被Filter接受，若接受進(jìn)入 4)，否則進(jìn)入 5)。

4)接受x(k+1)并把(f(k+1),h(k+1))加入到Filter中，移除被(f(k+1),h(k+1))控制的點(diǎn)，增大ρ，置k=k+1。

5)拒絕本次迭代，置x(k+1)=x(k)，減小ρ，回到步驟 2)。

6)完成迭代，輸出最終的x和目標(biāo)函數(shù)值f(x)。

由于Filter-SQP算法沒有采用線性搜索策略，因此大大減少目標(biāo)函數(shù)的求解次數(shù)。另外，該算法中ρ的值動(dòng)態(tài)調(diào)整，因此對(duì)初值的依賴比較小。

2 動(dòng)力學(xué)建模與仿真

車載火炮發(fā)射過程中，身管與炮尾受到炮膛合力的作用，沿?fù)u架后坐運(yùn)動(dòng)。在后坐過程中，連接在炮尾與搖架上的復(fù)進(jìn)機(jī)與駐退機(jī)對(duì)炮膛合力起到緩沖作用，并將復(fù)進(jìn)機(jī)力與駐退機(jī)力傳遞給搖架。搖架通過耳軸將力傳遞給上架，上架與座圈固結(jié)，進(jìn)一步將力傳遞到車體，最終通過駐鋤與車輪傳遞給地面，完成一次發(fā)射過程。

根據(jù)車載火炮的發(fā)射過程，將其簡化為由車體、駐鋤、火力部分、反后坐裝置構(gòu)成的機(jī)構(gòu)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，高低機(jī)與方向機(jī)用阻尼彈簧代替；輪胎與地面、炮尾與搖架為接觸/碰撞模型，其余各個(gè)構(gòu)件的連接均為基本的固定副、旋轉(zhuǎn)副和滑移副；身管、搖架與上架是載荷的主要作用受體，在實(shí)際發(fā)射過程會(huì)發(fā)生小的變形，進(jìn)而影響整車的運(yùn)動(dòng)特性，因此將身管、搖架與上架當(dāng)作柔性體處理。

基于上述分析，對(duì)全炮動(dòng)力學(xué)做如下假設(shè)：

1)車載火炮射擊條件為：水平硬地面上射擊，高低射角為65°，方位射角為0°。

2)將車載火炮簡化為主要構(gòu)件組成的剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其中身管、搖架與上架為柔性體。

3)不考慮彈丸在身管中的運(yùn)動(dòng)。

4)不考慮地面對(duì)發(fā)射過程的影響，將駐鋤與地面之間的作用力用剛度阻尼彈簧代替。

5)方向機(jī)、駐退機(jī)和復(fù)進(jìn)機(jī)等均為廣義坐標(biāo)、廣義速率和結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)。

在ADAMS中建立車載火炮的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)置好仿真時(shí)間與步長、求解微分-代數(shù)方程所用的算法，即可對(duì)該模型進(jìn)行仿真分析。圖2和圖3分別為仿真得到的炮口垂向與水平振動(dòng)角速度曲線，圖4為身管上某點(diǎn)垂向振動(dòng)位移的測試與仿真結(jié)果對(duì)比曲線，可以看出，仿真結(jié)果與實(shí)際測量結(jié)果十分相似，從而驗(yàn)證了該模型的正確性。

3 后坐阻力優(yōu)化模型

3.1 設(shè)計(jì)變量的選擇

本節(jié)主要對(duì)駐退機(jī)力進(jìn)行優(yōu)化分析。將駐退機(jī)流液孔的節(jié)制桿分為若干段，每兩段之間的節(jié)制桿截面直徑均勻變化，而節(jié)制桿面積的變化會(huì)引起流液孔面積的變化。駐退機(jī)力公式：

(5)

式中：v為后坐運(yùn)動(dòng)速度；K1、K2為主流和支流液壓阻力系數(shù)；A0為后坐時(shí)活塞工作面積；Ap為駐退機(jī)節(jié)制環(huán)孔面積；Afj為復(fù)進(jìn)節(jié)制器工作面積；A1為支流最小截面積；ρ為液體密度；ax為流液孔面積。

流液孔面積的變化最終會(huì)改變駐退機(jī)力的大小，因此將各段的流液孔面積取為設(shè)計(jì)變量。火炮從發(fā)射到彈丸出炮口這一過程大概持續(xù)0.015 s的時(shí)間，在這一段時(shí)間內(nèi)后坐運(yùn)動(dòng)的位移大概為0.1 m。因此將后坐位移在0～0.1 m范圍的流液孔分成4段共5個(gè)截面面積，選取這5個(gè)截面面積A1～A5為設(shè)計(jì)變量[6]，如圖5所示。

3.2 目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的定義

由圖2和圖3可以看出，彈丸出炮口瞬時(shí)炮口振動(dòng)的垂向與水平角速度振動(dòng)比較劇烈，因此會(huì)對(duì)炮口擾動(dòng)產(chǎn)生較大的影響。本文選取彈丸出炮口瞬時(shí)的垂向與水平角速度的組合為目標(biāo)函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，根據(jù)垂向與水平角速度對(duì)炮口擾動(dòng)的影響大小不同，可以通過加權(quán)因子進(jìn)行調(diào)節(jié)。目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

(6)

式中：ωy0為初始垂向振動(dòng)角速度;ωz0為初始水平振動(dòng)角速度;α，β為加權(quán)因子，且滿足0≤α≤1，0≤β≤1，α+β=1。

由于駐退機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，已經(jīng)滿足火炮射擊時(shí)的各種約束條件，而對(duì)流液孔面積進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，只是進(jìn)行局部微調(diào)。因此只將各個(gè)設(shè)計(jì)變量在其初始值附近的浮動(dòng)值作為約束條件，取設(shè)計(jì)變量的±10%作為上下界，約束函數(shù)可以表示為：

Ai-(1+10%)Ai0≤0

(1-10%)Ai0-Ai≤0i=1,2,…,5

式中：Ai0為設(shè)計(jì)變量的初始值。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

由于ADAMS軟件自帶的優(yōu)化算法只有SQP與GRG，因此需要對(duì)ADAMS軟件進(jìn)行二次開發(fā)，把Filter-SQP算法以動(dòng)態(tài)庫的形式加載到自定義優(yōu)化算法中。采用Filter-SQP算法對(duì)上節(jié)的模型進(jìn)行優(yōu)化，并與SQP算法進(jìn)行對(duì)比分析。

采用兩種算法得到的目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)變化的曲線如圖6所示，具體的優(yōu)化結(jié)果見表1。兩種算法優(yōu)化后得到的設(shè)計(jì)變量如表2所示，彈丸出炮口瞬時(shí)的水平、垂向角速度如表3所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

表2 優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量對(duì)比

表3 優(yōu)化后的水平、垂向角速度對(duì)比

通過對(duì)比可以看出，采用Filter-SQP算法與SQP算法對(duì)炮口擾動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化均取得一定的效果，兩者優(yōu)化后的結(jié)果十分相近。SQP算法迭代6次，共計(jì)算模型56次，而Filter-SQP算法迭代10次，共計(jì)算模型35次。Filter-SQP算法雖然迭代次數(shù)多一些，但是歸結(jié)到目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算卻大大小于SQP算法，主要原因是SQP算法在每一個(gè)迭代步，除了要計(jì)算靈敏度，還要進(jìn)行線性搜索，因此SQP算法下降比較快，而對(duì)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)卻大于Filter-SQP算法。

由此可以看出，采用Filter-SQP算法在達(dá)到相同的優(yōu)化效果的同時(shí)，顯著減少優(yōu)化所需要的時(shí)間。而且，該算法不僅針對(duì)車載火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)其他復(fù)雜的火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問題也同樣適用。

5 結(jié) 論

本文以某車載火炮為例，采用Filter-SQP算法對(duì)火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，并與SQP算法進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，該算法可以顯著降低模型的求解次數(shù)，減少優(yōu)化所需的時(shí)間，比較適用于復(fù)雜的火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問題。

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