陳迎春　曹云鳳　曹云建

【摘 要】本文通過(guò)對(duì)公路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)指標(biāo)、分形和分形維數(shù)的研究，闡述了分形理論用于路網(wǎng)評(píng)價(jià)的可行性，將分形理論應(yīng)用于區(qū)域路網(wǎng)的覆蓋性評(píng)價(jià)，取得較好效果，由此得出，分形理論在路網(wǎng)覆蓋性評(píng)價(jià)方面是簡(jiǎn)單、操作可行的一種評(píng)價(jià)方法。

【關(guān)鍵詞】公路網(wǎng)評(píng)價(jià)；分形理論；技術(shù)評(píng)價(jià)；覆蓋形態(tài)；分形分維

0.引言

道路交通體系是城市機(jī)能運(yùn)轉(zhuǎn)不可缺少的重要組成部分，但現(xiàn)有的路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)理論與方法在邏輯分析、量化分析、設(shè)計(jì)方法層面還存在諸多不足。“分形幾何學(xué)”作為一種新興學(xué)科已經(jīng)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用，而由于公路網(wǎng)從形態(tài)上符合分形理論，所以，作為理論基礎(chǔ)將其應(yīng)用于公路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)方面具有很好的前景。

1.分形理論介紹

1.1分形的概念

“分形”用來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐氏幾何所不能描述的一些復(fù)雜而無(wú)規(guī)則的幾何現(xiàn)象，如變幻莫測(cè)的云彩、雄渾壯闊的地貌、回轉(zhuǎn)曲折的海岸線、動(dòng)物的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、不斷分叉的樹(shù)枝、縱橫交流的血管、燒結(jié)過(guò)程中形成的各種尺寸的聚積團(tuán)等等，這些現(xiàn)象的一個(gè)共同特點(diǎn)是：不規(guī)則、不光滑。

分形的定義：其組成部分和整體以某種方式相似的形，這里的“某種方式”是“自相似”或“自仿射”[1]。

1.2分形的維數(shù)

分形幾何學(xué)的數(shù)學(xué)量度是分形幾何形體的維數(shù)，它不是整數(shù)而是分?jǐn)?shù)，它的計(jì)算是分形幾何的創(chuàng)立者們?cè)诳偨Y(jié)歸納的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

分形幾何形體的本質(zhì)屬性是自相似性，而這一自相似性一定是在同一形體的不同層次之間（不論是對(duì)自然形體的不同程度的放大，還是對(duì)人工形體迭代操作所得到的不同代）得以體現(xiàn)的。因而，分形幾何形的維數(shù)正是在形狀的不同層次的比較之間所反映出來(lái)的規(guī)律。這一規(guī)律所代表的是分形幾何形狀在空間中的擴(kuò)張趨勢(shì)。維數(shù)越大，就表明它在空間的擴(kuò)張趨勢(shì)越強(qiáng)，形狀本身的變化可能性也越豐富。對(duì)于不同類(lèi)型的分形幾何形體，分形幾何學(xué)定義了三種不同的維數(shù)計(jì)算方法：自相似維數(shù)、量度維數(shù)和格數(shù)維數(shù)[2]。

自相似維數(shù)針對(duì)的是人工操作所形成的分形幾何形體，它的層次體現(xiàn)在相鄰的父代（即操作起始）和子代（即操作結(jié)果）之間，由于每個(gè)父代和子代之間執(zhí)行的都是同樣的人工定義的規(guī)律，因而自相似維數(shù)在不同的層次之間、或在形體不同的代數(shù)之間保持的是穩(wěn)定的常數(shù)。

量度維數(shù)、格數(shù)維數(shù)針對(duì)的則是完全自然的形體，它們要把自然形體的層次揭示出來(lái)，就必須依據(jù)某種分析手段。在這方面，量度維數(shù)靠的是把自然線條簡(jiǎn)化成分辯率不同的折線，格數(shù)維數(shù)依靠的是把自然形體簡(jiǎn)化成分辯率不同的位圖，它們都在不同的分辯率下形成不同的簡(jiǎn)化結(jié)果，并以之展現(xiàn)出形體本身原有的層次，再通過(guò)對(duì)這些結(jié)果的比較計(jì)算出維數(shù)的數(shù)值。量度維數(shù)和格數(shù)維數(shù)實(shí)際上都是一系列存在微小差異的變數(shù)，其趨勢(shì)能反映出自然形體的構(gòu)成規(guī)律。

格數(shù)維數(shù)適用于一般的自然形狀。它用不同密度的格網(wǎng)來(lái)覆蓋形狀，計(jì)算形狀所占據(jù)的格子數(shù)，并通過(guò)比較不同密度下格子數(shù)的不同來(lái)判斷形狀的維數(shù)。在理論上，格數(shù)維數(shù)的數(shù)值等于自相似維數(shù)。

2.公路網(wǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

路網(wǎng)的基本功能是滿足最多的人以最少的時(shí)間到達(dá)最理想的目的地。而對(duì)路網(wǎng)的評(píng)價(jià)是公路網(wǎng)規(guī)劃過(guò)程中的一個(gè)重要部分，主要包括技術(shù)評(píng)價(jià)、經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)、社會(huì)評(píng)價(jià)和綜合評(píng)價(jià)，其中技術(shù)評(píng)價(jià)是一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容，而公路網(wǎng)覆蓋形態(tài)則是技術(shù)評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)之一，如圖1所示。

圖1 公路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)體系

公路網(wǎng)絡(luò)的覆蓋形態(tài)描述了公路路線在區(qū)域中的覆蓋狀況，常用“覆蓋率”和“覆蓋深度”進(jìn)行定量描述，比其它指標(biāo)更深入、更直觀、更準(zhǔn)確的反映公路網(wǎng)的狀況。然而，在過(guò)去路網(wǎng)的評(píng)價(jià)中，常用路網(wǎng)密度描述道路的密集程度， 路網(wǎng)密度指城市中所有的道路總長(zhǎng)度與城市總面積之比。該指標(biāo)只能反映公路網(wǎng)建設(shè)的總體規(guī)模與水平，不能對(duì)路網(wǎng)的具體分布特征進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。例如，具有相同長(zhǎng)度的公路按不同均勻程度分布在相同面積的區(qū)域上，顯然其密度指標(biāo)是一樣的，但實(shí)際上這兩個(gè)路網(wǎng)的分布特征是不同的。而基于分形理論的公路網(wǎng)覆蓋形態(tài)評(píng)價(jià)模型是一種較為簡(jiǎn)單的近似算法，為路網(wǎng)覆蓋形態(tài)指標(biāo)的評(píng)價(jià)提供了較好的工具。

3.分形理論在公路網(wǎng)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

3.1分形分維用于公路網(wǎng)評(píng)價(jià)的可行性

將分形幾何學(xué)的基本概念和原理，以及分形的特征應(yīng)用于工程實(shí)踐，是由于分形中的自相似特性，可以是絕對(duì)意義上的自相似，也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的自相似。而統(tǒng)計(jì)意義上的自相似正是公路網(wǎng)技術(shù)等級(jí)規(guī)劃思路中的理論依據(jù)。

自相似性存在有類(lèi)屬層次，級(jí)別的多種相似。在級(jí)別相似中，級(jí)別最高的是整體，級(jí)別最低的稱為生成元，級(jí)別差越小，它們之間的相似性就越高，級(jí)別差越大，它們之間的相似性就越低，最終導(dǎo)致相似性消失。公路研究時(shí)用的分形幾何中的生成元和分形圖正好與公路線路和公路網(wǎng)兩個(gè)層次之間的概念是對(duì)應(yīng)的。

公路網(wǎng)規(guī)劃是一種工程實(shí)踐，其中所運(yùn)用的分形為統(tǒng)計(jì)意義下的自相似理論。公路線路與公路網(wǎng)是公路中微觀、宏觀兩個(gè)不同層次上的“子母”型事物，在它們之間需要有一種特性參數(shù)來(lái)劃分其中的過(guò)渡特征，且參數(shù)越少越好。在已往的公路網(wǎng)評(píng)價(jià)中，不論是公路線路的技術(shù)參數(shù)（如地理位置、里程、技術(shù)等級(jí)等），還是公路網(wǎng)的技術(shù)參數(shù)（路網(wǎng)密度、平均技術(shù)等級(jí)等），都無(wú)法完全滿足路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)要求[3]。同時(shí)，由于公路網(wǎng)在局部和整體上的相似性，并不是在任何尺度上都成立的，通常只是在無(wú)標(biāo)度區(qū)尺度范圍內(nèi)才成立。無(wú)標(biāo)度區(qū)是指自相似性存在的尺度范圍，即自相似性存在的區(qū)域。因此，考察區(qū)域內(nèi)交通網(wǎng)絡(luò)的分形特征時(shí)必須在無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)進(jìn)行考察。

正是由于分形有無(wú)標(biāo)度區(qū)間的概念所以可以方便的解決公路“載荷”之中的輸送與集散兩種特征背向功能的統(tǒng)一。在分形區(qū)間中又可解決公路這個(gè)“載體”網(wǎng)中的干支關(guān)系，且無(wú)論干支層次關(guān)系中有多少層次，都可用分形維數(shù)進(jìn)行分析研究。因而，分形特征的分維數(shù)為路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)過(guò)程提出了一種新思路新方法。

3.2分形理論應(yīng)用于公路網(wǎng)規(guī)劃的理論依據(jù)

路網(wǎng)覆蓋度，就是在公路網(wǎng)規(guī)劃中運(yùn)用分形理論中的分維數(shù)求出的評(píng)價(jià)指標(biāo)。下面就路網(wǎng)覆蓋度的含義及應(yīng)用進(jìn)行分析和說(shuō)明。

我們用網(wǎng)絡(luò)邊長(zhǎng)為r的方格網(wǎng)覆蓋所分析的區(qū)域，設(shè)其中有交通線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù)為N（r），當(dāng)r變化時(shí)，N（r）也隨之變化，就形成r-N（r）曲線。

分形理論對(duì)分維的定義方法如下方程式：

D（ri）=

將上式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，用差分代替微分可得到：

D（ri）=-

公式中：為第i次細(xì)分公路線網(wǎng)后的網(wǎng)格邊長(zhǎng)，r（i-1）為第i-1次細(xì)分公路線網(wǎng)后的網(wǎng)格邊長(zhǎng)，N（ri）為第 i 次細(xì)分公路線網(wǎng)后有公路線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù)，Nr（i-1）為第 i-1 次細(xì)分公路線網(wǎng)后有公路線路通過(guò)的網(wǎng)格數(shù)，D（ri）是分維數(shù)[4]。

以下舉例來(lái)說(shuō)明以上理論。設(shè)在一個(gè)邊長(zhǎng)為 r 的正方形網(wǎng)格內(nèi)有一條公路線通過(guò)（如圖2中a），將該正方形四等分，分成4個(gè)邊長(zhǎng)為r/2的小正方形，形成新的覆蓋網(wǎng)格，這時(shí)道路通過(guò)狀況有四種不同的情況（如圖2中b-e）。

圖2 不同道路覆蓋形態(tài)下的分維數(shù)

有上面公式計(jì)算可得：

當(dāng)這四個(gè)正方形均有道路通過(guò)時(shí)，計(jì)算出 D=2；

當(dāng)有三個(gè)正方形有道路通過(guò)時(shí)，計(jì)算出D=1.58546；

當(dāng)有兩個(gè)正方形有道路通過(guò)時(shí)，計(jì)算出D=1；

當(dāng)只有一個(gè)正方形有道路通過(guò)時(shí)，計(jì)算出D=0。

由此可知，分維數(shù)在是否有公路線通過(guò)的意義上，反映出新網(wǎng)絡(luò)與原網(wǎng)絡(luò)的相似程度。當(dāng) D=2時(shí)，具有完全的自我相似性（因?yàn)檫@時(shí)細(xì)分正方形前后的情況完全相似，每個(gè)方格內(nèi)均有公路線通過(guò)）。因此，可用相似分維數(shù)D來(lái)定義網(wǎng)絡(luò)覆蓋度。覆蓋度反映了路網(wǎng)均勻性的量化程度，在同樣的路網(wǎng)密度情況下，公路線分布越均勻，路網(wǎng)覆蓋度指標(biāo)值越高，因而它比路網(wǎng)密度指標(biāo)提供了更多的特征信息。

3.3分形理論用于路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)的重要意義

由于用于路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)的路網(wǎng)密度指標(biāo)只是反映了路網(wǎng)建設(shè)的總體規(guī)模與水平，易于進(jìn)行不同地區(qū)或國(guó)家之間的橫向比較，非常適用于研究交通網(wǎng)絡(luò)的宏觀規(guī)模，但對(duì)于路網(wǎng)具體分布特征的描述則仍然不夠完善。當(dāng)把相同長(zhǎng)度的道路按照不同均勻程度布置在同樣面積的區(qū)域上時(shí)，它們的密度指標(biāo)是相同的，但所發(fā)揮的作用卻有差異[5]。而交通網(wǎng)絡(luò)分布的均勻程度在路網(wǎng)規(guī)劃合理性評(píng)價(jià)中具有重要的作用，例如通過(guò)交通網(wǎng)絡(luò)的均勻分布促進(jìn)不同地區(qū)的均衡發(fā)展，而密度指標(biāo)通常遺漏了路網(wǎng)規(guī)劃中重要的網(wǎng)絡(luò)分布特征的信息。

公路網(wǎng)的空間布局及網(wǎng)絡(luò)分布具有自相似性，符合分形的特征，因而可以應(yīng)用分形理論對(duì)其進(jìn)行研究?；诜中卫碚摰穆肪W(wǎng)覆蓋形態(tài)評(píng)價(jià)模型是一種較為簡(jiǎn)單的近似算法，可以根據(jù)研究的需要，引用不同種類(lèi)的分維，應(yīng)用于公路網(wǎng)絡(luò)的分形研究，也可以用來(lái)分析公路網(wǎng)絡(luò)的空間幾何特征、空間密度特征、空間復(fù)雜程度以及空間連通性特征等，可有效得出公路網(wǎng)的適應(yīng)性、可達(dá)性和連通性，為路網(wǎng)覆蓋形態(tài)指標(biāo)的評(píng)價(jià)提供了較好的工具。因此，引進(jìn)基于分形理論的網(wǎng)絡(luò)覆蓋評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于路網(wǎng)規(guī)劃規(guī)模的合理性評(píng)價(jià)具有著重要的意義。

4.結(jié)束語(yǔ)

分形理論用于公路網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃評(píng)價(jià)，不僅反映了網(wǎng)絡(luò)密度指標(biāo)所反映的公路網(wǎng)絡(luò)建設(shè)的總體規(guī)模與水平，而且分維數(shù)的應(yīng)用為描述網(wǎng)絡(luò)覆蓋的深入程度、網(wǎng)絡(luò)分布的均勻程度等提供了有效的方法。然而本文主要是從路網(wǎng)覆蓋量均勻的角度來(lái)評(píng)價(jià)路網(wǎng)的總體分布的，但路網(wǎng)分布規(guī)劃畢竟是一個(gè)多層次的問(wèn)題，存在許多影響著一個(gè)地區(qū)的路網(wǎng)發(fā)展與預(yù)測(cè)的自然、地理、經(jīng)濟(jì)等不同因素，因此，在計(jì)算路網(wǎng)覆蓋度 D 時(shí)，應(yīng)該加入多重分形的思想，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的分析，應(yīng)該多方位、多角度透徹的考慮各方面的影響，才能使每條線路都得到充分的應(yīng)用，達(dá)到最大的效益。 [科]

【參考文獻(xiàn)】

[1]金以文，魯世杰著.分形幾何原理及其應(yīng)用[M].浙江大學(xué)出版社，1998.

[2]李后強(qiáng)，程光錢(qián).分形與分維.成都：四川教育出版社，1990.

[3]張錚，陳亮.基于分形理論的區(qū)域路網(wǎng)覆蓋性評(píng)價(jià)研究.河北工業(yè)大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，3.

[4]謝和平，薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法.科學(xué)出版社，1997，3.

[5]楊東援，吳海燕，宗傳苓.采用分形幾何學(xué)方法概述路網(wǎng)覆蓋形態(tài).中國(guó)公路學(xué)報(bào).