王 丹，李蓓蕾

（沈陽大學(xué) 裝備制造綜合自動化重點實驗室，遼寧 沈陽 110044）

自從2001年加入WTO以來，中國的對外貿(mào)易總額日益增加，已有的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2002—2007年，我國的對外貿(mào)易總額占國內(nèi)生產(chǎn)總值的60%以上［1］.這說明對外貿(mào)易已經(jīng)成為國內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展不可或缺的一部分.海洋運輸是對外貿(mào)易最主要的交通運輸方式之一.據(jù)中華航運網(wǎng)預(yù)測報告顯示，國際貿(mào)易總運量中的2／3以上、中國進(jìn)出口貨運總量的約90%都是利用海上運輸［2］.由此可見，海洋運輸對國民經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.

海洋運輸又稱“國際海洋貨物運輸”，是國際物流中最主要的運輸方式.它是指使用船舶通過海上航道在不同國家和地區(qū)的港口之間運送貨物的一種方式.可以把海洋運輸系統(tǒng)看做由數(shù)百個港口和數(shù)以萬計的船舶組成的，隨時間演化的復(fù)雜系統(tǒng)［3］.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是研究復(fù)雜系統(tǒng)的一門新興學(xué)科，可以把復(fù)雜系統(tǒng)抽象成由許多個相互連接的節(jié)點組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、萬維網(wǎng)、因特網(wǎng)、交通網(wǎng)、生物網(wǎng)、E-mail網(wǎng)絡(luò)、科學(xué)合作網(wǎng)，等等.各個學(xué)科的學(xué)者們對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各個層面進(jìn)行了深入研究，提出了規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)［4］、小世界網(wǎng)絡(luò)［5］、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)［6］等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型.

將各地的港口確定為港口網(wǎng)絡(luò)中的單個節(jié)點，如兩個港口之間有船舶進(jìn)行貨物運輸，則確定它們之間有一條邊，這樣就把整個海洋運輸系統(tǒng)抽象為一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的圖，這種拓?fù)鋱D可以讓人們從整體的角度來對海洋運輸系統(tǒng)中不同地區(qū)，不同功能的港口之間復(fù)雜的航運運輸關(guān)系進(jìn)行模擬和分析［7-8］.也可以通過這種拓?fù)鋱D了解海洋運輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，找出這種結(jié)構(gòu)的演化機(jī)理及其中存在的潛在規(guī)律.基于以上考慮，提出一個能夠有效再現(xiàn)實際港口網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一些統(tǒng)計特性的隨時空演化的加權(quán)港口網(wǎng)絡(luò)模型.

1 港口網(wǎng)絡(luò)演化模型

很多現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述，但目前采用最多的是無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，無權(quán)網(wǎng)絡(luò)沒有考慮節(jié)點之間連接的強(qiáng)度.但現(xiàn)實的許多網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間的相互作用強(qiáng)度存在著顯著的差異.例如，在航空網(wǎng)絡(luò)中，不同型號飛機(jī)運載旅客數(shù)量的差異；在城市交通網(wǎng)絡(luò)中，城市的主干道在交通網(wǎng)絡(luò)里的重要性要遠(yuǎn)大于一般的三四級公路；在因特網(wǎng)中，路由器之間傳輸能力的差別；海洋運輸網(wǎng)絡(luò)中，兩個港口之間通航的船舶的數(shù)量［9-14］.此時就需要通過加權(quán)網(wǎng)絡(luò)邊之間不同的權(quán)值來表示這種強(qiáng)度的差異.當(dāng)今，已有越來越多的學(xué)者開始研究加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型，其中應(yīng)用最廣泛的為BBV模型［15］.隨著模型規(guī)模的增大，BBV模型網(wǎng)絡(luò)的度、權(quán)值和強(qiáng)度都呈現(xiàn)無標(biāo)度特性.但現(xiàn)實的航運網(wǎng)絡(luò)中，除了以上特性外，因為相鄰港口之間連接的緊密性，港口網(wǎng)絡(luò)還具有高聚類的特點.因此，本文所提出的港口網(wǎng)絡(luò)演化模型不僅考慮了新加入的港口和已有港口間建立連接，還考慮了新的航線可以建立在已有港口之間，應(yīng)用此規(guī)則可以明顯增大網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù).

本文的建模思想基于HK模型［16］，將三角連接機(jī)制引入BBV模型中［17］，通過控制參數(shù)α調(diào)節(jié)新舊港口之間的連接強(qiáng)度，構(gòu)建出一個具有高聚類系數(shù)的加權(quán)無標(biāo)度港口網(wǎng)絡(luò)演化模型.模型生成過程如下：

第1步 以m0個完全相連的節(jié)點（港口）作為初始態(tài).邊（兩個港口之間有船舶往來）的初始權(quán)值設(shè)定為w0＝1.

第2步 以概率p（p∈ ［0，1］），增加一個新節(jié)點（港口）v.該節(jié)點帶有m（m≤m0）條邊，連接節(jié)點的概率如下：

式中，wij是港口網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間邊權(quán)值，表示節(jié)點（港口）i和節(jié)點（港口）j之間貨運的吞吐量，研究表明在更廣的范圍內(nèi)港口之間的貨運量比較平衡，可以表示為wij＝wji，認(rèn)為港口網(wǎng)絡(luò)為無向網(wǎng)絡(luò).si是港口網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i的強(qiáng)度，表示港口i與其相鄰港口之間的貨物運輸總數(shù)量.

式（1）中α是可控制參數(shù)，當(dāng)α較大時，說明強(qiáng)度大的港口更易與新港口進(jìn)行連接，也就是說新建的港口更容易與大型港口相連接；當(dāng)α較小時，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點（港口）與新節(jié)點（港口）連接的概率就會相接近，也就是說新建的港口不僅與大型港口相連接，也會考慮其他因素與其他小型港口相連接.

在港口網(wǎng)絡(luò)中新舊港口之間建立連接勢必會造成其他港口間貨運關(guān)系的變化，這種變化按照式（2）的規(guī)則進(jìn)行：

式中，Δwij是節(jié)點i和節(jié)點j之間邊權(quán)的增量，這里不考慮新節(jié)點v和節(jié)點i的鄰居的鄰居節(jié)點相連所引起的節(jié)點i的強(qiáng)度的變化.值得注意的是，此處增量δ具有明顯的物理含義，當(dāng)δ＝w0時，表示老港口i傾向于中轉(zhuǎn)港口，新港口v與老港口i之間的貨運完全被與老港口i相連的其他港口所分擔(dān)；而當(dāng)δ＝0時，表示與老港口i相鄰的港口均沒有起到分擔(dān)作用；當(dāng)δ＜w0時，表示老港口i留下了某些從新港口v獲取的資源；當(dāng)δ＞w0時，表示老港口i與新港口v之間有貨運關(guān)系，并且能取得一些稀有貨源，因而使港口i的相鄰港口與港口i的關(guān)系越發(fā)密切.

第3步：以概率1-p，僅增加n條新邊.加入新邊的兩個端點以三角機(jī)制連接.首先，隨機(jī)選取一個邊（i，j），再選取節(jié)點j的另外一個鄰居節(jié)點k（排除節(jié)點i）.k的選取以概率進(jìn)行：

如節(jié)點i和k之間存在連接，則權(quán)值增加σ；如不存在連接，則建立新邊.在兩種情況下，邊wij，wjk的權(quán)值都增加σ，其中，σ＝1.

重復(fù)以上3步，經(jīng)過N步后，即將生成網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為m0＋Np個節(jié)點的加權(quán)無標(biāo)度港口演化模型.

2 網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計特性分析

在現(xiàn)實生活中，許多網(wǎng)絡(luò)中的度和強(qiáng)度等基本屬性都服從冪律分布.度和強(qiáng)度的統(tǒng)計性質(zhì)被認(rèn)為是描述加權(quán)網(wǎng)絡(luò)最重要的統(tǒng)計性質(zhì)［18-21］.下面通過MATLAB數(shù)值仿真分析本文所構(gòu)造模型的一些基本特性.在仿真中，選取網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N＝1 000，m0＝4，m＝3，n＝2，δ＝1，σ＝1，α＝0.9.這里只研究不同參數(shù)p對所提加權(quán)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性的影響.當(dāng)α＝1，p＝1時，網(wǎng)絡(luò)模型退化為個BBV模型.

從圖1和圖2可以看出三角結(jié)構(gòu)機(jī)制對港口網(wǎng)絡(luò)的度和強(qiáng)度分布有著重要的作用.無論參數(shù)p為何值，網(wǎng)絡(luò)的度分布和強(qiáng)度分布均服從冪律分布，即P（k）～k-γk，P（s）～s-γs，且冪律指數(shù)γ在1～3之間.在圖1中，當(dāng)p＝1時，γk≈3網(wǎng)絡(luò)模型退化為BBV模型，BBV模型中的度分布冪律指數(shù)γk只在3左右，這種分布特性不符合很多真實網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點，而當(dāng)p＝0.3，0.6，0.9時，γk在2～3之間比較符合真實網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點，這說明本文所提出的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型符合現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)的特性，可以模擬現(xiàn)實中的加權(quán)網(wǎng)絡(luò).

圖1 強(qiáng)度分布P（k）隨參數(shù)p變化曲線Fig.1 The degree distribution P（k）for different values of p

圖2 強(qiáng)度分布P（s）隨參數(shù)p變化曲線Fig.2 The strength distribution P（s）for different values of p

按照中華航運網(wǎng)公布的數(shù)據(jù)，圖3給出了中國港口網(wǎng)絡(luò)的港口強(qiáng)度和度的分布曲線，從圖3的結(jié)果可以看出，本文所提出的港口加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型基本符合我國港口網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)特征.

以前學(xué)者所提出的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型（如BBV模型）雖然具有小的平均最短路徑，但它的聚類系數(shù)也較小，這種屬性并不符合現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點［16］.

節(jié)點i的局部聚類系數(shù)Ci可定義為

式中，Ei為ki個鄰居節(jié)點之間實際存在的邊數(shù)，ki（ki-1）／2為最多可能存在的邊數(shù).

整個網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)C可用所有節(jié)點i的聚類系數(shù)Ci的平均值表示：

式中，0≤Ci≤1，0≤C≤1，N 為網(wǎng)絡(luò)中的總的節(jié)點個數(shù).

圖3 中國港口網(wǎng)絡(luò)的港口強(qiáng)度分布P（s）和度分布曲線p（k）Fig.3 The strength distribution P（s）and the degree distribution P（k）

圖4 C（k）與度的關(guān)系隨參數(shù)p變化曲線Fig.4 The average clustering coefficient distribution C（k）for different p

圖4給出了平均聚類系數(shù)C（k）與度的關(guān)系隨參數(shù)p變化的曲線.當(dāng)p值較小時，三角結(jié)構(gòu)占的比重較大，C也較大.從圖4可看出，當(dāng)p＝0.9時，C＝0.154 8；p＝0.6時，C＝0.343 8；p＝0.3時，C＝0.481 2.從圖4中還可以看到，C（k）服從網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的冪律分布，即C（k）～k-γC.許多大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)都具有明顯的聚類效應(yīng)，例如文獻(xiàn)［22］中就計算出一個具有269 504個節(jié)點及1 497 135條邊的 WWW的聚類系數(shù)約為0.29，而一個具有10 697個節(jié)點及31 992條邊的Interent的聚類系數(shù)約為0.39.因此本文所提出的網(wǎng)絡(luò)演化生產(chǎn)模型不僅可以用在港口網(wǎng)絡(luò)上還可以應(yīng)用與其他高聚類系數(shù)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的建模研究，如萬維網(wǎng)、因特網(wǎng)等高聚類系數(shù)的加權(quán)網(wǎng)絡(luò).

3 結(jié) 論

本文利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法對港口網(wǎng)絡(luò)隨時間演化問題以及港口網(wǎng)絡(luò)本身的結(jié)構(gòu)屬性進(jìn)行了研究，根據(jù)現(xiàn)實港口網(wǎng)絡(luò)中各港口碼頭連接強(qiáng)弱的非均衡性，提出了一種具有無標(biāo)度特性的加權(quán)港口網(wǎng)絡(luò)模型.在經(jīng)典BBV模型的基礎(chǔ)上，引入一個控制參數(shù)，用以調(diào)節(jié)新港口與已建港口之間的連接概率.港口網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)大和港口網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的演化是為了適應(yīng)信息需求的增加，從而使港口網(wǎng)絡(luò)能夠保持運輸?shù)母咝?雖然本文所提出的港口網(wǎng)絡(luò)模型可以初步反映港口網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性，具有高可調(diào)聚類系數(shù)及度和強(qiáng)度符合冪率屬性等特點，但是還不能說明模型與實際的港口網(wǎng)絡(luò)模型所有屬性完全相符，只能說明本文所提的模型在網(wǎng)絡(luò)的主要屬性上可以反映出真實港口網(wǎng)絡(luò)的一些共同屬性，關(guān)于這一方面的探討還有待進(jìn)一步研究.

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