鄭 列,鄭倫濤,徐 斌 (湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 湖北 武漢 430068)

基于Copula函數(shù)的滬深綜指相關(guān)性分析

鄭 列,鄭倫濤,徐 斌 (湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 湖北 武漢 430068)

將Copula理論與t-GARCH模型結(jié)合在一起，利用各種統(tǒng)計(jì)軟件作參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)，通過計(jì)算機(jī)模擬和計(jì)算, 對(duì)滬深綜指的相關(guān)性進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明，滬深綜指之間存在很強(qiáng)的正向風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)性，滬深收益率走勢(shì)具有相同的方向。

Copula函數(shù)；t-GARCH模型；Kendall秩相關(guān)系數(shù)； Spearman秩相關(guān)系數(shù)

在對(duì)金融資產(chǎn)收益率進(jìn)行研究時(shí)，一個(gè)重要的問題是當(dāng)收益率非正態(tài)時(shí)，怎么測(cè)度股市之間的相關(guān)性。在GARCH模型的框架中，一些最新研究都集中在具有厚尾非對(duì)稱多元分布，比如多遠(yuǎn)偏態(tài)分布,特別是偏態(tài)Student-t分布[1]。對(duì)于大多數(shù)的單變量分布來說，在需要考慮描述相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)不可能精確擴(kuò)展到多變量情形。而且，現(xiàn)在廣泛使用的大多數(shù)風(fēng)險(xiǎn)管理模型都有這樣或那樣的缺陷。如很多模型假設(shè)多個(gè)資產(chǎn)收益序列或風(fēng)險(xiǎn)因子的聯(lián)合分布服從多元正態(tài)分布，但這種假設(shè)經(jīng)常與金融市場(chǎng)的實(shí)際情況不相符，故在正態(tài)分布假設(shè)下進(jìn)行的資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)分析和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR(Value at Risk，VaR)的計(jì)算與實(shí)際情況的誤差比較大[2]。為此，筆者引入Copula函數(shù)來測(cè)度GARCH背景下的條件依賴。Copula函數(shù)提供了一種在僅僅已知邊際分布時(shí)對(duì)多元分布建模的有用方法，這種方法在多元分布不是正態(tài)分布的情形時(shí)特別有用。

1 Copula函數(shù)

定義1[3]對(duì)所有的t,t∈I=[0,1]，如果一個(gè)二元函數(shù)C:I2→I，滿足：①C(t,0)=C(0,t)=0,C(t,1)=C(1,t)=t；②對(duì)任意的u1,u2,v1,v2∈I(u1≤u2,v1≤v2)有:

C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)≥0

則稱C為(二元)Copula函數(shù)。Copula函數(shù)是一個(gè)邊緣在[0，1]上均勻分布的二元分布函數(shù)在I2上的限制。

定義2[3]對(duì)所有的(u1,u2，…，un)∈In=[0,1]n，如果一個(gè)n元函數(shù)C:In→I，滿足：①C對(duì)它的每一個(gè)變量都是遞增的；②C的邊緣分布Ci滿足：Ci(ui)=C(1,…,1,ui,1,…,1)=ui，其中ui∈[0,1],i=1,…,n；則稱C為n元Copula函數(shù)。

考慮隨機(jī)變量X1和X2，其邊際累積分布函數(shù)和聯(lián)合累積分布函數(shù)分別為：

Fi(xi)=P(Xi≤xi)i=1,2H(x1,x2)=P(X1≤x1,X2≤x2)

所有的累積分布函數(shù)取值區(qū)間為[0,1]，在一些情形下，存在多元分布函數(shù)，所以函數(shù)H(x1,x2)能夠得到精確的表達(dá)式，像多元正態(tài)分布就是如此。然而在很多情況下，邊際分布函數(shù)Fi(xi)相對(duì)來說比較容易求得，它們的聯(lián)合分布函數(shù)H(x1,x2)的精確表達(dá)式很難獲得。

引理1(Sklar定理[4]) 設(shè)隨機(jī)變量x1,x2,…,xN的聯(lián)合分布函數(shù)是H(x1,x2,…,xN)，邊緣分布函數(shù)分別是F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)，則存在Copula函數(shù)C，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xN，有：

H(x1,x2,…,xN)=C(F1(x1),F2(x2),…,FN(xN))

如果Fi(xi)(i=1,2,…,N)是連續(xù)函數(shù)，則C唯一。

由Sklar定理知道，任何一個(gè)n維的分布函數(shù)可以被它們的邊際分布函數(shù)和一個(gè)相應(yīng)的Copula函數(shù)唯一確定。

通過Copula函數(shù)C的密度函數(shù)c和邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)，可以很容易地求出N元聯(lián)合分布函數(shù)H(x1,x2,…,xN)的密度函數(shù)：

應(yīng)用Copula函數(shù)來對(duì)金融數(shù)據(jù)建模，一般分2步進(jìn)行：首先要確定邊際分布，然后是選擇一個(gè)合適的Copula函數(shù)來測(cè)度邊際分布的相關(guān)性。其中確定邊際分布是構(gòu)建Copula模型的前提。

2 邊際分布模型的確定

圖1 樣本密度函數(shù)

筆者所使用上海證券交易所的上證綜指和深圳證券交易所的深證綜指每日收益率數(shù)據(jù)取自RESSET金融研究數(shù)據(jù)庫(銳思數(shù)據(jù))，時(shí)間范圍是1995-12-08到2011-09-30共17年 (3839個(gè)交易日) 的日收益率數(shù)據(jù)，所用的分析工具是Matlab R2009a。利用Matlab畫出樣本密度函數(shù)，如圖1所示。

一般GARCH(1,1)模型就能夠滿足建模要求，但從圖1中可看出分布有厚尾的特性，而t-GARCH過程可以更好的描述時(shí)間序列的高峰、厚尾等分布特性，因此在這里選用t-GARCH模型來描述金融收益序列的條件邊緣分布。采用極大似然估計(jì)法對(duì)各收益率序列的邊緣分布進(jìn)行估計(jì),結(jié)果如表1所示(表1中各個(gè)變量含義見參考文獻(xiàn)[3])。

表1 邊緣分布模型的參數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)結(jié)果

表1中的K-S統(tǒng)計(jì)量及其概率值表明，對(duì)各序列都不能拒絕零假設(shè)：“變換后的收益率序列服從U(0,1)分布”。對(duì)變換后的2個(gè)序列做自相關(guān)檢驗(yàn)，可以知道變換后的2個(gè)序列均不存在自相關(guān)，因而可以將變換后的序列均看成是獨(dú)立的。K-S統(tǒng)計(jì)量和自相關(guān)檢驗(yàn)表明[3]，根據(jù)t- GARCH(1,1)模型估計(jì)得到的邊緣分布，對(duì)原序列做概率積分變換后得到的序列均服從獨(dú)立同分布U(0,1)。說明t- GARCH(1,1)模型可以比較好地?cái)M合2個(gè)序列的邊緣分布，用它來描述它們的收益率序列的邊緣分布是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

另外，對(duì)于t分布來說,t分布尾部的形狀取決于分布自由度v的值，自由度v的值越大，分布的尾部就越薄。由表1中自由度v的估計(jì)值可以看出，2個(gè)樣本的自由度不相等, 但已知的二元分布一般都要求隨機(jī)變量具有相同的邊緣分布，所以很難應(yīng)用現(xiàn)有的二元分布來擬合2個(gè)具有不同自由度的樣本，因而不能簡(jiǎn)單的假定2個(gè)樣本的聯(lián)合分布服從一個(gè)特定的二元分布。

3 聯(lián)合分布的擬合

圖2 聯(lián)合分布散點(diǎn)圖 圖3 化為[0,1]區(qū)間上的聯(lián)合分布散點(diǎn)圖

利用Matlab的核密度估計(jì)工具箱做二維核密度估計(jì)。筆者選用二元Copula函數(shù)來作擬合，計(jì)算步驟如下：

步1 取上證綜指的1990～2010年的日收益率樣本為{Xi}，深證綜指的1990～2010年的日收益率樣本為{Yi},利用Matlab的scatterhist命令作出序列的散點(diǎn)圖(見圖2)。

步2 將步1得到的散點(diǎn)圖進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為[0，1]區(qū)間上的概率分布值(聯(lián)合分布散點(diǎn)圖見圖3):

u = ksdensity(x,x,’function’,’cdf’);

v = ksdensity(y,y,’function’,’cdf’);

scatterhist(u,v)

xlabel(’u’)

ylabel(’v’)

步3 利用Matlab中copulafit和copulacdf命令分別得到將概率分布值用選定的Copula函數(shù)連接得到的Copula分布函數(shù)值和t-Copula函數(shù)的參數(shù)及Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ值(0.8475)。程序代碼片段如下：

[RHOHAT,nuhat,nuci] = copulafit(’t’,[u v])

R = copulastat(’t’,rho,NU)

圖4 t-Copula函數(shù)模擬得到的散點(diǎn)圖 圖5 t-Copula函數(shù)聯(lián)接得到的分布函數(shù)圖

步4 利用Matlab中copularnd命令得到聯(lián)合分布的隨機(jī)模擬數(shù)據(jù)(見圖4)。程序代碼片段如下：

t:r = copularnd(’t’,RHOHAT,nuhat,1000);

u1= r(:,1);

v1= r(:,2);

scatterhist(u1,v1)

xlabel(’u’)

ylabel(’v’)

x1=ksdensity(u,u1,’function’,’icdf’);

y1=ksdensity(v,v1,’function’,’icdf’);

scatterhist(x1,y1)

畫出二元t-Copula函數(shù)連接得到的分布函數(shù)(見圖5)。

4 結(jié)果與分析

由前面的計(jì)算結(jié)果可知，Kendall秩相關(guān)系數(shù)為0.8475.表明t-Copula擬合滬深兩市的綜合指數(shù)是合適的。

由二元t-Copula的Kendall秩相關(guān)系數(shù)公式和Spearman秩相關(guān)系數(shù)公式：

計(jì)算得出如下結(jié)果：Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ(0.8767)和Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ(0.8475)的值均大于0.4，表明滬深綜指之間存在很強(qiáng)的正向風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)性，滬深收益率走勢(shì)具有相同的方向[4]。ρ值顯著大于0說明條件方差所表現(xiàn)出的風(fēng)險(xiǎn)立即在預(yù)期收益率中得到反映，表明了我國(guó)股市的風(fēng)險(xiǎn)傳遞機(jī)制在不斷地發(fā)揮作用。同時(shí)，正的ρ值也意味著我國(guó)股市投資者的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)在不斷增強(qiáng)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的增加則要求有相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，股價(jià)波動(dòng)不僅僅給投資者帶來了風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)它所補(bǔ)償?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是重要的收益來源。

[1]Hansen B E. Autoregressive conditional density estimation[J]. International Economic Review,1994,35(3):705-730.

[2]韋艷華，張世英，郭焱.金融市場(chǎng)相關(guān)程度與相關(guān)模式的研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2004，19(4):361-368.

[3] Nelsen R B.An Introduction to Copulas，Lectures Notes in Statistics[M].New York：Springer- Verlag Berlin Heidelberg，1998:49-158.

[4]Andersen T G, Bollerslev T, Francis X, et al. Modeling and forecasting realized volatility[J]. Econometrica,2003, 71(2):579-625.

2012-11-25

湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2011CDB081)。

鄭列(1963-)，男，碩士，教授，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

O211.67

A

1673-1409(2013)04-0021-04

[編輯] 洪云飛