田興，李威

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100083)

隨著科技的進(jìn)步，機(jī)械傳動(dòng)裝置向小型、輕量化方向發(fā)展，少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)得到了越來越多的研究和應(yīng)用.為了滿足用戶日益嚴(yán)格的訂制要求，齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法應(yīng)運(yùn)而生.Kapelevich等［1-3］運(yùn)用主動(dòng)設(shè)計(jì)方法對非對稱齒輪的齒形做了研究，李寧等［4-6］探討了非對稱斜齒輪的嚙合機(jī)理.Alipiev［7-8］在非對稱齒輪的基礎(chǔ)上，對少齒數(shù)齒輪副嚙合情況做了理論分析.Anifantis等［9-11］計(jì)算了齒面摩擦熱流量和對流換熱系數(shù)，龔憲生等［12］對行星齒輪輪齒本體溫度和閃溫進(jìn)行了分析.

目前，國內(nèi)關(guān)于少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪的研究處于起步階段，相關(guān)文獻(xiàn)很少.本文運(yùn)用主動(dòng)設(shè)計(jì)方法研究該齒輪的嚙合機(jī)理，并利用ANSYS參數(shù)化設(shè)計(jì)語言(APDL)對其溫度場進(jìn)行分析.

1 齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)

非對稱齒輪主要用于單向傳動(dòng)，本文以工作側(cè)齒廓為研究重點(diǎn).使用傳統(tǒng)理論方法設(shè)計(jì)齒輪時(shí)，實(shí)際嚙合線要比理論嚙合線短，當(dāng)齒輪副齒數(shù)減少時(shí)，傳動(dòng)重合度很有可能小于1，所以齒輪設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是盡可能延長實(shí)際嚙合線.如圖1，當(dāng)實(shí)際嚙合線與理論嚙合線相等，重合度達(dá)到理論上的最大值.在這種極限情況下，嚙合線開始于點(diǎn)N1，結(jié)束于點(diǎn)N2.齒頂圓ra1和齒頂圓ra2分別過嚙合線的結(jié)束點(diǎn)N2和起始點(diǎn)N1.于是，非對稱齒輪在傳動(dòng)方向上的重合度計(jì)算公式為

這就是齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)，通過改變齒形來提高傳動(dòng)質(zhì)量，目的是使重合度達(dá)到潛在最大值.本文采用等變位齒輪傳動(dòng)，變位系數(shù)之和X1+X2=0，Xτ1+Xτ2=0.此時(shí)，非對稱刀具齒條的齒形角等于非對稱齒輪的壓力角.

圖1 基于主動(dòng)設(shè)計(jì)方法的漸開線嚙合Fig.1 Involute meshing based on direct design method

為了確定圖1中齒輪的參數(shù)，預(yù)先選取嚙合的一對齒輪的齒數(shù)z1和z2，模數(shù)m以及齒輪的潛在重合度εpd(εpd≥1)，根據(jù)式(1)，計(jì)算出非對稱齒輪工作側(cè)的壓力角αd:

然后，根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，可以得到以下參數(shù)的關(guān)系式.

1)齒頂圓壓力角:

2)以節(jié)點(diǎn)P為界點(diǎn)，齒條刀具斜直線部分高度:

3)根據(jù)式(4)，齒條刀具斜直線部分高度之和:

4)非對稱齒條刀具圓角高度為

5)非對稱齒條刀具齒全高:

6)非對稱齒輪的徑向變位系數(shù):

7)非對稱齒輪齒頂圓的齒頂厚:

式中:inv為漸開線函數(shù)，invα=tanα-α;ra1=(0.5z1+h*a+x1)m，為齒輪1的齒頂圓半徑;ra2=(0.5z2+h*a+x2)m，為齒輪2的齒頂圓半徑.

8)當(dāng)sa1=sa2時(shí)，切向變位均衡系數(shù)xΔτ:

運(yùn)用主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，本文研究的少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪的參數(shù)如下:齒數(shù)比 z1/z2為 6/10，模數(shù)為10mm，變位系數(shù) x1、x2分別為 0.2、-0.2，齒寬為10 cm，齒頂高系數(shù)為0.92，頂隙系數(shù)為0.18，壓力角為30°/20°.

2 齒面摩擦熱流量的計(jì)算

齒輪在任意嚙合位置接觸點(diǎn)C處的主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的摩擦熱流量可以由下式分別表示:

式中:qc1、qc2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪摩擦熱流量;βs為摩擦熱流密度分配系數(shù);η為熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)，η=0.9～0.95;f為齒面摩擦系數(shù);σH為齒面平均接觸壓力;Vc為齒輪相對滑動(dòng)速度;λ1、λ2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪導(dǎo)熱系數(shù);ρ1、ρ2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪材料密度;c1、c2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪材料比熱容.

主動(dòng)輪和從動(dòng)輪選用相同的材料，所以

2.1 齒輪相對滑動(dòng)速度的分析

輪齒的相對滑動(dòng)是衡量摩擦熱流量大小的重要因素.在分析嚙合面切線方向的速度時(shí)，引入無量綱參數(shù)Γ來表示嚙合線上任意點(diǎn)x的線性坐標(biāo).

則主動(dòng)輪和從動(dòng)輪沿嚙合面切線方向的絕對速度V1、V2為

主動(dòng)輪和從動(dòng)輪沿嚙合面切線方向的相對滑動(dòng)速度Vc為

式中:ω為主動(dòng)輪角速度，rad/s;n1、n2為主、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速，r/min;αx為主動(dòng)輪任意嚙合位置的壓力角，rad;u為齒輪傳動(dòng)比.

圖2 齒輪嚙合示意Fig.2 Gear meshing

2.2 齒面摩擦系數(shù)的計(jì)算

影響齒面摩擦系數(shù)的因素很多，如:齒面的材料、粗糙度、潤滑油動(dòng)力粘度.此外，齒輪的轉(zhuǎn)速和承受的載荷對齒面摩擦系數(shù)也有一定的影響.由于摩擦系數(shù)計(jì)算非常復(fù)雜，工程中通過實(shí)驗(yàn)測量來確定平均摩擦系數(shù).本文根據(jù)Buckingham摩擦系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式，齒面摩擦系數(shù)f可表示為

由圖3綜合考慮，本文取齒面摩擦系數(shù)f=0.05.

圖3 齒面摩擦系數(shù)分布Fig.3 Tooth surface friction coefficient

2.3 齒面接觸應(yīng)力的計(jì)算

齒輪齒面平均接觸壓力公式為

式中:Fn為嚙合齒面的法向載荷，N;vi為齒輪材料泊松比;Ei為齒輪材料彈性模量，MPa;Ri為齒輪曲率半徑，mm;bH為接觸線的長度，mm.

嚙合點(diǎn)處于單齒嚙合區(qū)時(shí)，其接觸線長度為bH=b;當(dāng)嚙合點(diǎn)進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)時(shí)，接觸線長度變?yōu)閎H=2b.

3 對流換熱系數(shù)的確定

計(jì)算齒輪潤滑油的對流換熱系數(shù)，本文采用的潤滑油在60℃時(shí)的性能參數(shù)如下:運(yùn)動(dòng)粘度vf=80×10-6m2/s，比熱容 cf=2 000 J/(kg·K)，熱導(dǎo)率λf=0.133 7 W/(m·K)，密度 ρf=998 kg/m3.

齒輪的對流換熱系數(shù)，沒有成型的理論可以精確計(jì)算，下面給出的是國內(nèi)外文獻(xiàn)［9］中提供的經(jīng)典公式.

端面

齒根、齒面

齒頂

4 輪齒本體溫度場的有限元計(jì)算

4.1 輪齒溫度場計(jì)算原理

輪齒溫度可分為穩(wěn)態(tài)本體溫度和表面瞬態(tài)溫度.表面瞬態(tài)溫度呈周期性變化，但僅限于熱表層，影響很小.所以，在進(jìn)行齒輪溫度場分析時(shí)，將輪齒的本體溫度作為穩(wěn)態(tài)溫度場進(jìn)行處理.

如圖4，整個(gè)齒輪的求解域?yàn)镈，把求解域劃分為E個(gè)單元，Z個(gè)節(jié)點(diǎn).在求解域D中，T=T(x，y，z)為滿足邊界條件的本體溫度場溫度函數(shù).泛函I(T)的表達(dá)式為

式中:λg為齒輪的導(dǎo)熱系數(shù)，T0為環(huán)境溫度.

使I(T)取極小值，用δI(T)=0來計(jì)算求解域的溫度函數(shù).求解以上方程必要的邊界條件如下:

工作齒面

非工作齒面、齒根

齒頂

端面

軸孔內(nèi)圈

進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)，離散計(jì)算區(qū)域，得到單元溫度函數(shù)，將其代入單元的泛函Ie.于是，對I(T)變分求極值問題就轉(zhuǎn)化為對I(T)各節(jié)點(diǎn)溫度求極值問題，得到總體熱平衡方程的矩陣形式，即

式中:Q為總的熱流量矩陣，H為總的熱傳導(dǎo)矩陣，T為總的溫度列矩陣.求解式(28)，就可得到齒輪有限元模型各節(jié)點(diǎn)的溫度值.

圖4 少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪加載邊界Fig.4 Loading boundary for sm all numbers of teeth

4.2 輪齒本體溫度場的有限元分析

摩擦熱流量是隨嚙合位置變化的量，在有限元分析中不能作為常數(shù)加載.本文運(yùn)用APDL對摩擦熱流量進(jìn)行加載:用公式編制程序，計(jì)算出每一節(jié)點(diǎn)處的摩擦熱流量，利用循環(huán)語句依次加載到單元表面上.

少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪的本體溫度場分布如圖5所示.由于摩擦熱流量的輸入，輪齒的溫度明顯高于齒輪輪體.齒輪的最高溫度出現(xiàn)在分度圓靠近齒頂?shù)奈恢?，齒輪輪體上溫度幾乎相等.

從圖6可以看出，沿齒輪嚙合面方向，溫度出現(xiàn)2個(gè)峰值，分別是齒根和齒頂附近;沿齒寬方向，由于輪齒端面散熱條件好，輪齒表面溫度沿齒寬方向?qū)ΨQ，輪齒端面的溫度值略低于中部.

圖7中，當(dāng)轉(zhuǎn)速為3 000 r/min、載荷從183.8 N/mm增加到367.6 N/mm時(shí)，載荷比值為2，齒輪的最高溫度從87.55℃增加到115.12℃，溫升比為1.31.當(dāng)載荷為275.7 N/mm、轉(zhuǎn)速從2 000 r/min增加到4 000 r/min時(shí)，速度比值為2，齒輪的最高溫度從100℃增加到109.51℃，溫升比為1.10.由此可見，載荷對溫度的影響比轉(zhuǎn)速要大.

當(dāng)齒輪的載荷和轉(zhuǎn)速增時(shí)，由式(11)、(16)和(18)可知，嚙合面的摩擦熱流量增加.但是載荷的增加，對對流換熱系數(shù)的影響很小;而轉(zhuǎn)速的增加，導(dǎo)致對流換熱系數(shù)增大.所以載荷的溫升比會(huì)大于轉(zhuǎn)速，載荷對溫度的影響要比轉(zhuǎn)速大.

從圖8可以看出，齒輪最高溫度和最低溫度分別隨著油溫的增加呈線性增加.油溫每增加10℃，齒輪的溫度也相應(yīng)增加了約10℃.油溫直接影響齒輪的溫度，這也說明控制油溫對降低齒輪溫度的重要性.

圖5 本體溫度場分布Fig.5 Bulk temperature field distribution

圖6 嚙合齒面溫度分布Fig.6 Meshing surface temperature distribution

圖7 齒面最高溫度隨載荷和轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律Fig.7 Change rule of the highest tooth surface temperature with load and speed

圖8 不同油溫下齒輪的溫度Fig.8 Gear temperature with different oil temperatures

5 輪齒本體溫度最大值近似表達(dá)式

速度、載荷和油溫是影響齒輪本體溫度的重要因素.為了預(yù)測在不同轉(zhuǎn)速、載荷和油溫下的齒輪本體最高溫度，為齒輪設(shè)計(jì)提供可靠的依據(jù)，建立了少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪齒面的本體最高溫度隨轉(zhuǎn)速、載荷和油溫變化的近似表達(dá)式:

其中:

式中:k為溫度系數(shù)，b為指數(shù)系數(shù)，W為法向單位線載荷，Toil為油溫，Tmax為齒輪本體溫度最大值.

6 少齒數(shù)非對稱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)溫度場試驗(yàn)

試驗(yàn)采用封閉功率流式齒輪試驗(yàn)臺(tái)—MRC-1型FZG摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)，試驗(yàn)臺(tái)主要包括一對試驗(yàn)齒輪及一對驅(qū)動(dòng)齒輪，現(xiàn)場試驗(yàn)布局如圖9.

圖9 齒輪試驗(yàn)臺(tái)Fig.9 Gear experiment bench

從表1可以看出，在一定的轉(zhuǎn)速和載荷范圍內(nèi)，有限元分析獲得的仿真值以及擬合公式得到的近似值，與試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)比較接近，證明了運(yùn)用有限元方法分析少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪溫度場的正確性.試驗(yàn)值比近似值要大，主要原因是有限元分析中沒有加入齒輪軸，但是在試驗(yàn)中，齒輪軸軸承旋轉(zhuǎn)摩擦生熱對齒輪溫度分布會(huì)產(chǎn)生影響.隨著載荷和轉(zhuǎn)速的增加，試驗(yàn)值與仿真值差值也逐漸加大，表明軸承摩擦生熱也在增加.但是兩者相差不大，也說明齒輪軸軸承摩擦生熱對齒輪的溫度分析影響不大.在以后的齒輪的溫度仿真分析中，考慮軸承摩擦生熱的影響會(huì)提高分析的精度.

表1 試驗(yàn)參數(shù)和結(jié)果Table 1 The experiment parameter and result

7 結(jié)論

1)運(yùn)用主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，對少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪的嚙合機(jī)理進(jìn)行了研究，推導(dǎo)出了齒輪各參數(shù)的關(guān)系式.

2)在嚙合面，齒根和靠近齒頂?shù)奈恢?，溫度分別出現(xiàn)2個(gè)峰值，最大值出現(xiàn)在靠近齒頂?shù)奈恢?，輪齒表面溫度沿齒寬方向?qū)ΨQ，端面的溫度值略低于中部.

3)轉(zhuǎn)速、載荷和油溫是影響齒輪溫度大小和分布的重要因素，推導(dǎo)了少齒數(shù)齒輪齒面的本體最高溫度隨轉(zhuǎn)速、載荷和油溫變化的函數(shù)表達(dá)式，為齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)和潤滑改進(jìn)提供可靠的依據(jù).

4)運(yùn)用有限元分析獲得的結(jié)果，與試驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)比較接近，證明了有限元方法分析少齒數(shù)非對稱漸開線齒輪溫度場的正確性.溫度場的分析結(jié)果，為進(jìn)一步研究齒面閃溫、熱應(yīng)力、抗膠合能力和齒輪修形提供了研究基礎(chǔ).

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