程相文，王凌霄

CHENG Xiang-wen，WANG Ling-xiao

（河北聯(lián)合大學(xué) 機械工程學(xué)院，唐山 063009）

0 引言

研磨技術(shù)已經(jīng)不再僅僅是一種機加工方法，它已經(jīng)逐漸發(fā)展成為一門藝術(shù)。研磨加工是超精密加工的重要加工手段，該技術(shù)已經(jīng)發(fā)展成為后續(xù)拋光和特種加工獲得超光滑表面不可缺少的工序，甚至直接通過研磨加工就已經(jīng)能夠獲得超光滑表面。主要包括平面研磨，曲面研磨和球面研磨。因為研磨質(zhì)量的好壞直接關(guān)系到工件的工作精度，所以對決定著研磨質(zhì)量好壞的研磨軌跡行研究是非常必要的。目前關(guān)于軌跡的研究逐漸增多，但是主要集中在對平面軌跡的研究[1]，關(guān)于球面研磨軌跡研究相對較少。能夠提出均勻性評價的研究就更少。浙江工業(yè)大學(xué)的袁巨龍[2]以及河北理工大學(xué)的程相文教授[3]對球面研磨軌跡均勻性做了深入細(xì)致的研究。本文對四軸球體研磨機的研磨原理以及研磨軌跡進行研究，并且提出研磨軌跡均勻性的評價方法，為加工獲得更優(yōu)質(zhì)的球面提供評價標(biāo)準(zhǔn)。

1 四軸球體研磨機的結(jié)構(gòu)及其成球條件

1.1 四軸球體研磨機結(jié)構(gòu)介紹

四軸球體研磨機的機構(gòu)如圖1所示。研磨機由空間相互對稱布置的四根軸組成。軸在伺服電機的驅(qū)動下可以實現(xiàn)正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)。四根軸中Ⅰ軸鉛錘布置，其余三根軸與水平面成β=19.4712°，并且在水平面的投影的夾角為ψ=120°。這四根軸在空間組成一個正四面體，任意兩軸之間的夾角均為φ=109.4712°，四面體的體心也就是所有軸的交點位置，就是被加工球坯的位置。

圖1 四軸球體研磨機結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 四軸球體研磨機成球條件分析

四根軸的端部分別裝有杯狀研具，四研具將球坯包絡(luò)從而進行加工研磨。四根軸擁有相同的轉(zhuǎn)速ωi=ω（i=1，2，3，4）。通過改變軸的正反轉(zhuǎn)向可以改變球體轉(zhuǎn)動軸的位置即改變球坯的自旋角，從而實現(xiàn)球的研磨。真正意義上能夠?qū)崿F(xiàn)球坯研磨的條件是兩個研具正轉(zhuǎn)兩個研具反轉(zhuǎn)。也就是說只有6種軸的轉(zhuǎn)向組合（見表1）才可以實現(xiàn)球坯研磨。

表1 軸的轉(zhuǎn)向情況

2 研磨軌跡的分析與仿真

2.1 坐標(biāo)變換

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法，空間直角坐標(biāo)系上任意一點P0(x0,y0,z0),繞空間任意軸u按逆時針旋轉(zhuǎn)θ角后的坐標(biāo)為P(x,y,z),他們之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：

ux,uy,uz為u在三個軸上的方向向量并且滿足ux+uy+uz=1

所以P0和P的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

2.2 研磨軌跡分析

四根軸空間位置分布以及各項參數(shù)都基本相同，所以四軸上研具相對與工件的軌跡研究方法相同，為了方便軌跡數(shù)學(xué)模型的建立，在四研具上分別建立局部坐標(biāo)系ox1y1z1,ox2y2z2,ox3y3z3和ox4y4z4。為了對四研具的軌跡進行統(tǒng)一，需要再建立一個全局坐標(biāo)系oxyz，由于Ⅰ軸位置的特殊性，所以把Ⅰ軸的局部坐標(biāo)系作為全局坐標(biāo)系。如圖2所示，原點O為局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，oz與Ⅰ重合，x軸位于ⅠOⅡ平面內(nèi)，且水平。 以研具的軸線為x′軸，z′軸分別在Ⅰ軸和Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ軸的平面內(nèi)，且與x′軸垂直，建立研具局部坐標(biāo)系的，以研具上一點為研究對象來分析研具的坐標(biāo)變換。以表1中的第一種情況為例對軌跡進行分析。

圖2 研具的坐標(biāo)系

研具Ⅰ上任意一點P1(x1、y1、z1)在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

因為研具Ⅰ的局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系是同一坐標(biāo)系，所以無需進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

研具Ⅱ上任意一點P2(x2、y2、z2)在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

將研具Ⅱ的局部坐標(biāo)系繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)19.4712°轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)換矩陣為：

研具Ⅲ上任意一點P3(x3、y3、z3)在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

將研具Ⅲ的坐標(biāo)系繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn)120°，再繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)19.4712°變換到全局坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換矩陣為：

研具Ⅳ任意一點P4(x4、y4、z4)在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

研具Ⅳ的坐標(biāo)系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)240°，再繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)19.4712°變換到全局坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換矩陣為：

四個軸上的軌跡坐標(biāo)都已經(jīng)統(tǒng)一到了全局坐標(biāo)系下了，接下來按照公式（2）做一次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換就得到了最終的軌跡坐標(biāo)。因為是以表1的第一種情況作為研究對象，通過幾何計算得到轉(zhuǎn)換公式T中ux=cos35.2644°，uy=cos90°，uz=cos54.7356°。這樣就能得到最后的軌跡坐標(biāo)(X，Y，Z)。

研具Ⅰ的運動軌跡方程為：

研具Ⅱ的運動軌跡方程為:

研具Ⅲ的運動軌跡方程為:

研具Ⅳ的運動軌跡方程為:

以上是表1中情況1的軌跡推導(dǎo)過程，其他情況的軌跡推導(dǎo)過程與之相同，在此就不再贅述。

2.3 軌跡仿真

以上介紹了情況1研具相對于球體的研磨軌跡方程的推導(dǎo)過程，按照同樣的方法分別將其他情況的研具的研磨軌跡方程推導(dǎo)出來。這樣能夠得到球體研磨六種情況下的軌跡方程。借助Matlab軟件，將6種情況研磨軌跡分別進行仿真，結(jié)果如圖3所示。

圖3 情況1-6研磨軌跡仿真圖

由圖可見每一種情況的研磨軌跡都能均勻完整的覆蓋了整個球體。將六種情況的研磨軌跡疊加，仿真結(jié)果如圖4所示。仿真結(jié)果表明6種研磨情況的疊加能更好的實現(xiàn)研磨軌跡的均勻分布。

圖4 研磨軌跡仿真圖

3 研磨軌跡均勻性評價

隨著仿真結(jié)果的出現(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)四軸球研磨機研磨軌跡能均勻的布滿整個球面。直觀上看研磨效果很好，但是僅僅通過對研磨軌跡仿真圖視覺上的觀察就對軌跡是否均勻做出評價過于勉強，量化的軌跡均勻性評價對于軌跡評價來說是件必不可少的工作。本文提出通過求解球面上任意一圓環(huán)與軌跡交點，把相鄰兩點間的距離作為軌跡均勻性的評價標(biāo)準(zhǔn)。在球面坐標(biāo)系下如圖5建立一個圓環(huán)的方程，為了簡化計算過程可以假設(shè)一個特殊情況，令φ=0，這樣圓環(huán)就是在yoz面上的一個圓，將圓環(huán)方程和軌跡方程聯(lián)立，這樣方程組就變成時間t和角度θ方程組。

圖5 球坐標(biāo)系

運用matlab軟件計算可得到對應(yīng)t時刻的角度值θ，再計算出任意相鄰兩個角度的角度差值，這樣相鄰點間的距離就很容易求得了，再對這些距離求方差，從而就得到了軌跡的均勻性評價標(biāo)準(zhǔn)。圖6分別是在100，200，300，400，500秒內(nèi)軌跡間距的大小。從圖的走勢來看，隨著研磨時間的增加軌跡均勻性呈現(xiàn)越來越好的趨勢。

4 結(jié)束語

本文通過對四軸球體研磨機機構(gòu)及其運動特點進行分析研究，并通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法對研具相對球坯的運動軌跡進行了研究，模擬仿真了6種情況下的軌跡狀況以及最終的軌跡疊加，研磨軌跡能均勻的布滿整個球坯，最后又提出一種研磨軌跡均勻性的評價方法，研究結(jié)果表明隨著研磨的進行，研磨軌跡呈現(xiàn)變好的趨勢，對生產(chǎn)加工有指導(dǎo)性建議。

圖6 軌跡均勻性

[1] Pei-Lum Tso,et al.A study of carrier motion on a dualface CMP machine[J].Journal of materials processing technology,2001:194-200.

[2] Zhou Z Z,Zheng J J,YuanJ L,et al.Simulation of a ceramic ball lapping process under dual rotating plates lapping mode[J].International Journal of Computer Applications in Technology,2007:2-4.

[3] 程相文,林福嚴(yán),孫新民,等.靜電陀螺儀球形轉(zhuǎn)子的研磨運動軌跡分析[J].工藝與檢測,2009:90-93.

[4] 孫新民,李樹文,王永梁.四軸球體研磨機的運動學(xué)分析[J].機械設(shè)計與制造,2000(2):65-67.