周 軍，周 皓，蘇曉明 ，王 剛

(1. 南京理工大學(xué)泰州科技學(xué)院，泰州 225300；2. 健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，太倉 215400；3. 沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110178)

0 引言

H∞控制問題[1~4]自20世紀(jì)80年代被提出以來，由于其廣泛存在于電力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、機(jī)器人系統(tǒng)和電子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等諸多的社會(huì)生產(chǎn)領(lǐng)域之中，而引起了廣大學(xué)者的極大重視。Takaba和Morihira[5]用譜分解方法，Wen和Yaling[6]用廣義特征值方法討論了廣義系統(tǒng)的H∞控制問題。談侃和王朝珠[7]研究了線性時(shí)變周期系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定及H∞控制問題。樊仲光和梁家榮[8]等研究了一類不確定廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題，得到了該類系統(tǒng)廣義二次可鎮(zhèn)定具有H∞指標(biāo)gam a大于零的充分必要條件。盡管如此，廣義周期系統(tǒng)的H∞控制理論[9]仍然很不完善，尤其是一般廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的H∞控制器設(shè)計(jì)問題還沒有解決。

1 問題的描述及引理

考慮如下一般廣義周期時(shí)變系統(tǒng)：

系統(tǒng)式(1)在如下形式的狀態(tài)反饋：

作用下構(gòu)成的閉環(huán)一般廣義周期系統(tǒng)為

對(duì)于一般廣義周期系統(tǒng)(1)有如下假設(shè)：

1)(E(t),A(t ),B2( t))能穩(wěn)且脈沖能控。

2) 列滿秩。

假設(shè)(1)為系統(tǒng)能鎮(zhèn)定的必要條件，即保證一個(gè)容許的控制器的存在性。

假設(shè)(2)是使問題簡單化且不失一般性的假設(shè)。

定義1 對(duì)于如下一般廣義周期時(shí)變系統(tǒng)：

如果存在常數(shù) ，使得：

則稱系統(tǒng)（4）是一致正則的。

引理1[10]設(shè)Q∈ Rn×n、L∈ Rr×n、Q= QT、rank ( L)=r，若對(duì)于滿足Lx=0的任意非零向量x∈ Rn，使xTQ x <0成立，則存在正數(shù)使：

引理2[10](Schu r補(bǔ)引理)設(shè)M(t)、N(t)和P(t)是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，M(t)和N(t)是對(duì)稱陣，則對(duì)于任意的，有：

當(dāng)且僅當(dāng)N(t) < 0及M (t ) ? P(t) N?1(t) PT(t) < 0。

引理3[11]若系統(tǒng)(4)是解析可解的，則一定存在解析的可逆矩陣P ( t) ∈ Rn×n、Q ( t) ∈ Rn×n,通過下述變換將系統(tǒng)（4）化為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型（SCF），即：

其中，N(t)是冪零矩陣；各塊矩陣均具有適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。

由引理3，系統(tǒng)(4)可以分解為如下形式：

這種分解通常稱為快慢子系統(tǒng)分解，又稱為第一種受限等價(jià)形式，并稱式(6)為慢子系統(tǒng)，式(7)為快子系統(tǒng)。

定義2 系統(tǒng)(4)稱為漸近穩(wěn)定的，如果它的子系統(tǒng)：

是漸近穩(wěn)定的。

定義3 如果系統(tǒng)(4)是一致正則、漸近穩(wěn)定、無脈沖的，則稱系統(tǒng)(4)是允許的。

引理4[12]對(duì)于一般廣義周期系統(tǒng)(4)和它的傳遞函數(shù)，下面的命題等價(jià)：

2) 存在可逆矩陣X(t)滿足如下不等式

3) 存在可逆矩陣X(t)滿足如下線性矩陣不等式

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于滿足假設(shè)(1)和(2)的一般廣義周期系統(tǒng)式(1),下面的命題等價(jià)：

1) 存在狀態(tài)反饋矩陣 ，使得閉環(huán)一般廣義周期系統(tǒng)(3)是容許的，且

如果命題(2)成立，則所求的一個(gè)容許的狀態(tài)反饋矩陣為：

整理得：

其中：

特別地，對(duì)于沒有直饋項(xiàng)的一般廣義周期系統(tǒng)(1)，有下面的結(jié)果。

定理2 對(duì)于滿足假設(shè)(a)的一般廣義周期系統(tǒng)(1)，假設(shè)列滿秩，則下面命題等價(jià)：

1) 存在狀態(tài)反饋矩陣 ，使得閉環(huán)一般廣義周期系統(tǒng)(3)是容許的，且

2) 存在一個(gè)可逆矩陣 和正數(shù) 滿足如下Riccati不等式

如果命題(2)成立，則所求的一個(gè)容許的狀態(tài)反饋矩陣為：

則由引理1知，存在 使：

下面將討論基于LM I的一般廣義周期系統(tǒng)的H∞控制問題。

定理3 對(duì)于滿足假設(shè)(a)的一般廣義周期系統(tǒng)(1)，下面的命題等價(jià)：

1) 存在狀態(tài)反饋矩陣 ，使得閉環(huán)一般廣義周期系統(tǒng)(3)是容許的，且

2) 令：

如果命題(2)成立，則所求的一個(gè)容許的狀態(tài)反饋矩陣為：

其中：

令：

3 數(shù)值算例

下面舉例說明定理3的結(jié)果。

則所求的一個(gè)容許的狀態(tài)反饋矩陣為：

4 結(jié)束語

本文利用矩陣不等式方法研究了一般廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的H∞控制器設(shè)計(jì)問題，并給出了一族狀態(tài)反饋H∞控制器的設(shè)計(jì)方法，由于直接基于系數(shù)矩陣進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此設(shè)計(jì)方法比較簡單。得到的結(jié)果是廣義定常系統(tǒng)相應(yīng)結(jié)論向一般廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的自然推廣，具有重要的理論意義。

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