席通專，丁希侖

（北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

隨著無線傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，其低成本、低能量消耗、多功能［1］等特點(diǎn)吸引了大量研究，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物聯(lián)網(wǎng)、人員定位、機(jī)器人定位等眾多領(lǐng)域。定位功能是無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的一大特點(diǎn)，與傳統(tǒng)定位技術(shù)相比有組網(wǎng)靈活、成本低等特點(diǎn)。本文所采用的線性調(diào)頻擴(kuò)頻技術(shù)（chirp spread spectrum，CSS）是基于IEEE802.15.4a的物理層標(biāo)準(zhǔn)的無線傳感器技術(shù)，在中短距離內(nèi)具有良好的定位精度和穩(wěn)定性。

CSS技術(shù)是基于信號(hào)傳播時(shí)間（TOA）的測距，獲得節(jié)點(diǎn)之間的距離值后，可以采用無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中常用的基于距離的定位算法進(jìn)行定位。目前CSS定位的誤差修正主要研究CSS傳感器本身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和底層協(xié)議來提高測距精度，結(jié)合多個(gè)測距信息來反饋修正誤差的研究不多，這樣可以使測量距離得到相互修正。近年來，Ming Cao等人在文獻(xiàn)［2，3］中把Cayley-Menger行列式［4］引入定位中，推導(dǎo)出了平面定位誤差滿足的二次約束方程，這對(duì)定位誤差修正研究意義重大。利用誤差的距離幾何約束方程來對(duì)誤差進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的研究進(jìn)展卻不多。Ming Cao提出了一種基于距離幾何約束方程轉(zhuǎn)化為求誤差平方和的最值問題來估計(jì)測量誤差。文獻(xiàn)［5，6］中，在不同定位系統(tǒng)中應(yīng)用Ming Cao提出的方法來進(jìn)行測距誤差修正，再結(jié)合定位算法來提高定位精度，并進(jìn)行了仿真分析驗(yàn)證。他們的研究僅采用仿真方法對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，沒有進(jìn)行定位實(shí)驗(yàn)評(píng)估算法效果，本文通過分析Ming Cao的基于距離幾何約束的誤差平方和最小值來估計(jì)誤差的方法后，發(fā)現(xiàn)該方法對(duì)定位精度的改善并不明顯，本文實(shí)驗(yàn)也證明了這點(diǎn)。

根據(jù)上述分析，本文提出了一種結(jié)合測距誤差模型與距離幾何約束方程來對(duì)視距環(huán)境下0定位進(jìn)行距離修正，給出實(shí)際定位中每個(gè)位置點(diǎn)的最優(yōu)測距誤差模型，再用這個(gè)系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化的線性方程對(duì)測量值進(jìn)行動(dòng)態(tài)修正。文章第1節(jié)分析了視距環(huán)境下CSS測距誤差模型特性，第2節(jié)介紹了距離幾何約束方程，分析Ming Cao的誤差平方和最優(yōu)解問題來修正誤差算法，然后提出了結(jié)合測距誤差模型和距離幾何約束的動(dòng)態(tài)修正算法，文章最后部分通過室內(nèi)CSS定位實(shí)驗(yàn)比較了動(dòng)態(tài)修正算法、Ming Cao的距離幾何約束算法及普通靜態(tài)修正算法的效果。

1 CSS測距誤差模型分析

線性調(diào)頻擴(kuò)頻技術(shù)以前主要用于脈沖壓縮雷達(dá)，能夠很好地解決沖擊雷達(dá)系統(tǒng)測距長度和測距精度不能同時(shí)優(yōu)化的矛盾。IEEE將CSS技術(shù)列為802.15.4a技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的底層實(shí)現(xiàn)方式之一之后，CSS技術(shù)被越來越多被用于無線定位。CSS系統(tǒng)通過測量信號(hào)傳播的時(shí)間來計(jì)算距離，采用一種對(duì)稱雙向兩次測量法（SDS-TWR）［7］。該方法不需要節(jié)點(diǎn)之間時(shí)鐘同步即可完成測量，減少時(shí)鐘漂移帶來的誤差。CSS定位系統(tǒng)測距精度雖然比其他的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)高，但測量距離也包含了噪聲和誤差。誤差主要來源于兩部分，定位系統(tǒng)自身所引起的誤差和外部環(huán)境引起的誤差。CSS自身所引起的誤差為系統(tǒng)性誤差，主要是由傳感器的自身所有的參數(shù)如時(shí)鐘精確性、天線性能等導(dǎo)致的偏移距離。同時(shí)系統(tǒng)還存在由于非視距、多經(jīng)效應(yīng)和具體環(huán)境特點(diǎn)帶來的誤差，非視距環(huán)境會(huì)導(dǎo)致CSS系統(tǒng)出現(xiàn)比較大的誤差。由于本定位系統(tǒng)所應(yīng)用的環(huán)境特點(diǎn)，研究視距范圍內(nèi)的誤差修正，本文所提出的方法在非視距環(huán)境下并不能保證良好性能。

在視距環(huán)境下，CSS系統(tǒng)測距模型大致滿足線性關(guān)系，模型的系數(shù)與測距傳感器本身參數(shù)和環(huán)境有關(guān)，先通過測距測試研究CSS系統(tǒng)在視距環(huán)境的測距模型。測試分為兩組，一組研究同一對(duì)測距模塊在不同環(huán)境下的測距誤差模型，一組研究兩對(duì)不同測距模塊在相同環(huán)境的測距誤差模型。

測試1:選擇一對(duì)測距模塊，固定其中一模塊，另一個(gè)模塊依次放置在設(shè)定距離點(diǎn)測量;在室內(nèi)不同位置環(huán)境重復(fù)上述測試。

測試2:選擇兩對(duì)測距模塊，每一對(duì)測距模塊在同一位置環(huán)境按照實(shí)驗(yàn)1測距方法進(jìn)行測量。

得到測試結(jié)果后，通過最小二乘擬合得到相應(yīng)的測距誤差模型，數(shù)據(jù)點(diǎn)及擬和曲線如圖1所示，（a）、（b）為測試1結(jié)果，（c）、（d）為測試2研究結(jié)果，擬合方程如下:

上面的測試結(jié)果驗(yàn)證了存在誤差和其他干擾的CSS測距模型線性關(guān)系的系數(shù)并不是固定的，環(huán)境的變化、節(jié)點(diǎn)的不同，甚至測距模塊的姿態(tài)變化，都會(huì)引起測距模型系數(shù)的變化。如果有非視距或其他多徑效應(yīng)存在，測量距離與真實(shí)距離可能不滿足線性關(guān)系，或者擬合直線的系數(shù)會(huì)變動(dòng)很大，此時(shí)擬合方程式?jīng)]有意義。因此，視距環(huán)境下的CSS定位中有以下測距誤差模型為:

其中:d是真實(shí)距離;d是測量距離;a，b為線性方程系數(shù)。其中a1，a2，b1，b2可以根據(jù)定位前對(duì)定位模塊進(jìn)行測距測試擬合所得系數(shù)平均值附近的一個(gè)較小區(qū)間。如果擬合系數(shù)超過所取范圍，則認(rèn)為有較大噪聲干擾，仍然認(rèn)為測距誤差模型在式（5）的范圍內(nèi)。

目前視距范圍內(nèi)減少誤差的方法一般是取測距測試所擬合的測距誤差模型方程作為修正方程對(duì)測量結(jié)果進(jìn)行修正，即在整個(gè)定位中不考慮節(jié)點(diǎn)之間的差異、環(huán)境特點(diǎn)等導(dǎo)致測距誤差模型方程的差異，而采用同一方程對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正，本文中把這種方法叫做靜態(tài)誤差修正算法，研究根據(jù)每個(gè)定位最小單位（三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)，一個(gè)待測節(jié)點(diǎn)，如圖2所示）內(nèi)利用三個(gè)測量距離，然后通過距離幾何約束尋找最優(yōu)的測距模型方程d=a*d+b*，最大限度地動(dòng)態(tài)修正誤差，第2節(jié)詳細(xì)介紹了誤差修正過程。

圖2 三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)定位示意圖

2 距離幾何約束及動(dòng)態(tài)誤差修正算法

2.1 Cayley-Menger行列式及距離幾何約束修正誤差法分析

式中d（pi，qj）表示點(diǎn)pi和qj之間的歐幾里得距離。兩個(gè)點(diǎn)序列的Cayley-Menger雙聯(lián)行列式［4］定義為:

當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)序列是同一序列時(shí)，用D（p1，…，pn）表示D（p1，…，pn;q1，…，qn）用 M（p1，…pn）表示 M（p1，…，pn;q1，…，qn）并把 D（p1，…，pn）叫做 Cayley-Menger行列式。

Cayley-Menger行列式有下面比較經(jīng)典的結(jié)論:

定理1.（距離幾何基本定理）考慮m維空間由點(diǎn)p1，…，pn組成的n元組。如果n≥m+2，則Cayley-Menger矩陣M（p1，…，pn）是奇異的，即:

圖2為基于距離定位的一個(gè)常用最小定位單位，其中已知三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)1，2，3的位置坐標(biāo)，由無線傳感器可以測得待測節(jié)點(diǎn)0到錨節(jié)點(diǎn)1，2，3的之間距離。待測節(jié)點(diǎn)0到錨節(jié)點(diǎn)1，2，3，4的測量距離記為，i=1，2，3;4個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的實(shí)際歐式距離記為 dij=d（pi，pi），i，j=0，1，2，3＆i≠j。定義測量誤差 εi為:

則由定理1 知，D（p0，p1，p2，p3）=0，聯(lián)立D（p1，p2，p3）≠0，Ming Cao等人在文獻(xiàn)［2，3］中推出以下誤差關(guān)系式:

其中:A是3×3階矩陣，b是3×1階矩陣，c是一實(shí)數(shù)，且A，b，c是由dij表達(dá)的?？梢钥闯鍪剑?0）是僅關(guān)于三個(gè)誤差值的一個(gè)約束方程。

在此基礎(chǔ)上，Ming Cao等提出了基于距離幾何約束方程的誤差估計(jì)方法。通過一個(gè)最小二乘法問題來求解最優(yōu)值來估計(jì)誤差如式（11）所示，本文中把這種方法叫做距離幾何約束Ming Cao修正法。

為了解決上述問題，下面部分根據(jù)CSS測距特點(diǎn)提出了誤差動(dòng)態(tài)修正方法，充分利用了距離幾何約束方程把測量距離誤差建立聯(lián)系并達(dá)到相互修正的作用。

2.2 基于距離幾何約束方程的動(dòng)態(tài)誤差修正算法

對(duì)于CSS定位系統(tǒng)來說，如第1節(jié)分析，視距環(huán)境下CSS測量距離非嚴(yán)格滿足線性關(guān)系，且線性方程的系數(shù)也隨著不同測距模塊、測距環(huán)境等在一個(gè)范圍內(nèi)變化。實(shí)際定位中定位節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多，不可能提前測試好每對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的測距誤差模型系數(shù)，即使能測也是沒有意義的，因?yàn)闇y量過程中測距模塊的位置、位姿、信道等變化都會(huì)引起系數(shù)變化。

目前針對(duì)上述問題的處理方法多采用如第1節(jié)所述靜態(tài)修正算法。但是這種修正方法有明顯不足，CSS測距系統(tǒng)是一種高精度的系統(tǒng)，在100 m范圍內(nèi)測距誤差僅僅2～3 m，而測距誤差模型修正的距離是同一個(gè)數(shù)量級(jí)數(shù)據(jù)，采用不準(zhǔn)確測距模型方程修正后誤差依然可能很大。因此采用更準(zhǔn)確的測距誤差模型是很必要的，最好的解決方法是能估計(jì)出最小定位單位中待測節(jié)點(diǎn)與三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的三個(gè)測距誤差模型，但是由于約束方程數(shù)目不夠求解出每個(gè)模型系數(shù)。本算法則假設(shè)最小定位單位中三個(gè)測距誤差模型為同一模型，然后再根據(jù)距離幾何約束條件找出這一最佳估計(jì)。在本算法中，把使得距離約束方程f1（ε1，ε2，ε3）取得最接近0的系數(shù)作為一個(gè)最小定位單位的最佳測距誤差模型。滿足距離幾何約束為0的測距誤差模型可能有多個(gè)，但是根據(jù)第1節(jié)研究，視距環(huán)境下的測距誤差模型系數(shù)一般在一個(gè)范圍內(nèi)，而把超出這個(gè)范圍系數(shù)的測距誤差模型認(rèn)為是其他較大隨機(jī)誤差或非視距等引起的，或是數(shù)學(xué)方法求出的無效解。研究中只考慮在已知系數(shù)范圍內(nèi)使距離約束方程左邊最接近0的一組系數(shù)解為最佳測距誤差模型的系數(shù)。

根據(jù)第一節(jié)的研究，根據(jù)定位實(shí)驗(yàn)前測距實(shí)驗(yàn)擬合測量模型方程，選取多個(gè)擬合測距誤差模型系數(shù)的平均值作為中位置，然后選擇中位置附近的一個(gè)區(qū)間 a∈［a1，a2］，b∈［b1，b2］作為求解最佳測距誤差模型系數(shù)區(qū)間。聯(lián)立

式（5）和式（9）得到以下方程組，

由式（12）可以推出:

把εi帶入距離幾何約束方程式（10），得到關(guān)于未知數(shù)a，b的函數(shù)，記為

在 a∈［a1，a2］，b∈［b1，b2］內(nèi) F（ab）最接近 0 所對(duì)應(yīng)的一組a*，b*就是測距誤差模型的最佳系數(shù)估計(jì).因此求解最佳測距誤差模型方程的問題就轉(zhuǎn)化為如式（15）的一個(gè)最優(yōu)值求解的問題，

通過數(shù)值方法可以求解出系數(shù)的最優(yōu)估計(jì):a*，b*。求解出最佳測距誤差模型d=a*+b*后，利用這個(gè)模型對(duì)測量距離進(jìn)行修正，修正后的距離采用平面定位方法如三邊法等即可求得待測節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)。動(dòng)態(tài)誤差修正算法的意義在于能夠更準(zhǔn)確的修正測量距離，修正后的距離再采用任何其他定位算法都提高定位精度，但是本算法相對(duì)于靜態(tài)修正算法增加了計(jì)算量。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本定位實(shí)驗(yàn)采取Nanotron公司開發(fā)的CSS測距模塊。實(shí)驗(yàn)場地為室內(nèi)15.2 m×15.2 m的空間，中間無障礙物，測距模塊安裝在1.5 m等高的支架上，三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)位于P1（0.95，0.95），P2（14.25，14.25），P3（14.25，14.25），定位位置如圖3所示的25個(gè)點(diǎn)上，圖中每格距離為1.9 m。待定位節(jié)點(diǎn)依次放置在這25個(gè)位置上。

圖3 定位實(shí)驗(yàn)布置圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

用式（16）作為定位誤差來評(píng)價(jià)三種定位算法效果:

圖4 定位誤差對(duì)比圖

從圖4可以看出，本文所用方法在92% 的點(diǎn)比距離幾何約束Ming Cao法和靜態(tài)修正法有明顯精度改善，距離幾何約束Ming Cao修正法與靜態(tài)修正法效果近似。定位誤差去掉最大3個(gè)點(diǎn)和最小3個(gè)點(diǎn)計(jì)算出三種方法的誤差值的平均值。通過表1中可以看出動(dòng)態(tài)修正法的三項(xiàng)誤差指標(biāo)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于距離幾何約束Ming Cao修正法和靜態(tài)修正法，動(dòng)態(tài)修正的誤差是靜態(tài)修正法誤差的61%，距離幾何約束Ming Cao修正法的68% 。由此可得，本文所用誤差動(dòng)態(tài)修正方法大幅提高了定位精度。同時(shí)，本文所用方法修正的測量距離可以與其他定位精度更高的基于距離的定位算法結(jié)合，將能進(jìn)一步提高定位算法的精度。

表1 實(shí)驗(yàn)指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié)論

CSS定位系統(tǒng)具有良好的視距環(huán)境下定位精度。距離幾何約束方程準(zhǔn)確地描述了平面定位中誤差之間關(guān)系，能夠用于測量距離誤差修正。本文所提出的結(jié)合測距誤差模型與距離幾何約束方程的動(dòng)態(tài)修正算法能有效地修正視距環(huán)境下CSS定位系統(tǒng)測量誤差提高定位精度，效果好于其他常用方法。

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