康 麗，陳麗丹，劉 欣，張 堯

(1.東莞理工學院電子工程學院，廣東東莞 523808;2.重慶大學輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室，重慶 400044;3.華南理工大學廣州學院，廣東廣州 510640)

牛頓二階法［1］是包含二階導數(shù)的牛頓-拉夫遜潮流算法，稱為精確修正方程計算法，習慣上簡稱為牛頓二階法。牛頓二階法和快速解耦法是牛頓法在直角坐標和極坐標下發(fā)展最成功的2種算法，在20世紀八九十年代都得到了比較廣泛的應用。牛頓二階法需要計算二階導數(shù)［2］，由于較多的數(shù)學推導，加上對三維矩陣的理解較抽象，因而求解較繁瑣復雜，遜色于快速解耦法在電力系統(tǒng)潮流計算中的應用。但由于這2種算法都是一階收斂，隨著電力系統(tǒng)潮流計算的規(guī)模越來越大，這2種算法都無法獨立進行大電力系統(tǒng)的潮流計算。

傳統(tǒng)的牛頓-拉夫遜算法(簡稱牛頓法)的不足之處是對初值要求比較嚴格。電力工作者也將快速解耦法用于牛頓法的前幾次迭代，即用于解決牛頓法的初值問題。實際上，牛頓二階法較快速解耦法用于解決牛頓法的初值問題更具優(yōu)點，因為它與牛頓法的連接非常方便，且編程簡單［3-8］。

本文利用三維海森矩陣截面給出一個簡單直觀的牛頓二階法中二階導數(shù)項分解降維求解公式的推導方法，即當采用常規(guī)牛頓二階法計算時，只需在計算牛頓法功率修正量的同時求解增量功率修正量，并將其加入到求解的功率或電壓的不平衡量中。在此基礎上進行的潮流程序設計，既可以選擇牛頓二階法不斷修正其修正量，也可以選擇通常的牛頓法。計算表明，在系統(tǒng)的規(guī)模較小、用于單獨的潮流計算時，牛頓二階法對初值的要求和收斂速度都有所改進。

1 牛頓二階法的算法原理

眾所周知，牛頓法就是保留非線性函數(shù)f(x)=0的泰勒級數(shù)展開式中的線性項，忽略Δx的二次項和高次項，利用逐次線性化的迭代求解方法求解［9-10］。牛頓二階法則是保留其二階導數(shù)項進行求解［1-2］。設多變量函數(shù)，有

顯然，A是三維矩陣，稱之為海森矩陣。

若F(X)是二次函數(shù)，則其任何項的二階導數(shù)均為常數(shù)，三階及三階以上的導數(shù)均為零。因而式(3)是其所求函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式的精確表達式。

式(3)即為牛頓二階法表達式。將牛頓二階法與通常的牛頓法比較，可以看出牛頓法除了有函數(shù)初值為零的常數(shù)項外，還要加上一項含二階導數(shù)的項。由于牛頓二階法是對二次函數(shù)求二階導數(shù)，顯然從式(3)可知其二階導數(shù)仍然是常數(shù)項。牛頓二階法的關鍵在于對一階和二階導數(shù)項的求解。由矩陣相乘原理可知，三維矩陣與其對應的向量相乘，其結果是一個二維矩陣，二維矩陣再與其對應的向量相乘，結果是一維向量。因而式(3)中括號內(nèi)是2個向量之和。即

式中向量F'(ΔX)的每一項元素是由三維矩陣A的對應截面(二維矩陣)與修正向量ΔX兩次相乘的結果。

2 牛頓二階法的求解過程

應用于電力系統(tǒng)潮流計算，設用直角坐標表示的二次方程式排列為

式中ΔP，ΔQ，ΔV分別為節(jié)點有功功率增量、無功功率增量和電壓增量。其中，對PQ節(jié)點，其節(jié)點功率平衡方程表達式為

式中:e，f——節(jié)點電壓的實部和虛部;G，B——節(jié)點導納矩陣的實部和虛部;i——節(jié)點;j——與節(jié)點i直接相接的所有節(jié)點;s——PQ節(jié)點。

對PV節(jié)點，其電壓平衡方程式也是二次方程式:

式(5)各項是以式(6)，(7)和(8)表示為直角坐標的節(jié)點功率和電壓的平衡方程式。應用于牛頓二階法求解式(3)的海森矩陣A的元素就是對式(5)，(6)和(7)求二階導數(shù)的結果。由此可見，海森矩陣按照各自規(guī)律形成3個矩陣分塊。由算法原理可知，三維矩陣與2個對應的向量相乘，其結果是1個向量，顯然該向量的每個元素是相應的三維矩陣的截面，即對應的二維矩陣與2個向量相乘的結果。因此3個矩陣分塊只要得3個二階導數(shù)的通式(截面)，就可以求得F'(ΔX)的對應元素。

先選對應于有功方程(6)的二階導數(shù)，即對應于海森矩陣A的一個橫斷面Api，即對應方程式ΔFi=ΔPi求得一階導數(shù)Jpi，Jpi就是對應雅可比矩陣J的一個橫向量，即

對式(9)求其二階導數(shù)，可得Api是一個二維矩陣。

由于Api是對Jpi的每個元素再對所有的修正量求偏導數(shù)，則任一元素的全部偏導又組成2(n-1)階的行向量，故Api是一個二維的2(n-1)階矩陣，由一階導數(shù)所得的雅可比矩陣元素的表達式知:

由式(10)可見，當j≠i時一階偏導所得的公式只存在fi和ei的變量項，因而其二階導數(shù)為對fi和ei的偏導等于常數(shù)，其余全部為零。當j=i時其二階偏導分別是各變量的系數(shù)，故求得Api矩陣的各元素值為

式(11)的特點是只有對應每個(n-1)中節(jié)點i的2行、2列為非零元素，其余的元素為零。將之應用于式(5)等號右邊第2項的求解，Api左乘修正向量可得

對式(12)進行適當處理，可得

這樣可以得到4個求和項為

則有

對比(14)與式(6)可知，將式(6)中含Pi，s的注入有功常數(shù)等于0，且e和f分別用Δe和Δf取代即為含二階導數(shù)項的式(14)。

若節(jié)點無功功率方程的二階導數(shù)海森矩陣A的一個橫斷面為Aqi，可求得Aqi矩陣，即其非零元素為兩行兩列:

同理可得

將式(16)與式(7)比較可知，將式(7)中含Qi，s等于0，且e和f分別用Δe和Δf取代即為含二階導數(shù)項的式(16)。

對于PV節(jié)點電壓平衡方程式(8)，顯然，將式中的(Vi，s)2=0，再將fi和ei改成Δfi和Δei即得所求結果。

3 牛頓二階法的計算

編制程序利用牛頓二階法對標準的中國電力科學研究院24節(jié)點系統(tǒng)和新英格蘭30節(jié)點系統(tǒng)等進行計算，其結果與牛頓法計算結果相同，表明其對初值的要求和收斂速度都有改進。

由于牛頓二階法的J是按初值求得的，可能離真值較遠，偏差較大。計算中若其取值始終不變，則可能會造成迭代次數(shù)過多甚至不收斂。因此在實際計算時，迭代3～5次后，重新計算J，其效果更佳。

牛頓二階法是一階收斂，因而對大規(guī)模電力系統(tǒng)的潮流計算不一定具有計算速度快的優(yōu)點。但是由于牛頓二階法與牛頓法的連接方便簡單，因而以其前幾次迭代的結果作為牛頓法的初值，以改變牛頓法對初值的苛求是有優(yōu)勢的。

4 結 論

將牛頓二階法三維海森矩陣取其二維的截面，按照有功、無功和電壓平衡方程式分割進行推導，只需在牛頓法的常數(shù)項再增加1個二階導數(shù)項，而在原常數(shù)項的功率或電壓平衡修正方程式中將常數(shù)項取零，變量以修正量取代即可求得該二階導數(shù)的推導公式。如考慮交直流混合系統(tǒng)的潮流計算［11-13］，還需將文中列出的公式進一步演算?？傊?，該算法編程簡單，易于與牛頓法連接。

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