宋國鋒， 董小剛， 秦喜文

（長春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012）

0 引 言

在很多實(shí)際問題中，由于數(shù)據(jù)本身的問題或者人為因素的影響，數(shù)據(jù)既是非線性又是非平穩(wěn)的，在高頻數(shù)據(jù)中尤為如此［1－3］。而經(jīng)典的傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法，有的僅僅能處理非線性的信號(hào)，有的適用于處理非平穩(wěn)的信號(hào)，但是在這種既是非平穩(wěn)又是非線性的信號(hào)面前往往顯得無能為力。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（簡稱EMD）適用于這種數(shù)據(jù)的預(yù)處理。在將原始信號(hào)進(jìn)行EMD分解之后，很多信號(hào)分析方法就可以很好地應(yīng)用了。EMD方法在提出之后得到了發(fā)展［4－6］。

通常EMD方法把原始信號(hào)分解為有限個(gè)信號(hào)，這些信號(hào)稱為本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF），這些IMF分別表示信號(hào)內(nèi)在的不同的頻率和不同的時(shí)間尺度。通過對(duì)這些IMF的分析，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的分析。由于高頻數(shù)據(jù)受到各種干擾因素的影響，會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)劇烈、個(gè)別值離散等異常現(xiàn)象，傳統(tǒng)的處理高頻數(shù)據(jù)的方法無法從各個(gè)層面上良好地解讀高頻數(shù)據(jù)異常值的成因，通過EMD方法可以把高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，把噪聲剝離出來，更好地解釋和分析高頻數(shù)據(jù)［7］。

文中用EMD方法分析高頻數(shù)據(jù)，減小高頻噪聲［8］。首先對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解，然后剔除高頻噪聲，再重新構(gòu)造出信號(hào)，從而根據(jù)重新構(gòu)造出來的信號(hào)分析原始信號(hào)的一些本質(zhì)屬性，更好地進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測。

1 EMD方法

1.1 特征時(shí)間尺度

通過信號(hào)的兩個(gè)基本參數(shù)研究一個(gè)信號(hào)的特征：也就是頻率和時(shí)域。參數(shù)頻率可以反映出信號(hào)的本質(zhì)特征，但是缺點(diǎn)是不夠直觀。相比之下信號(hào)的時(shí)域觀測較為直觀，可以得到信號(hào)的類似頻率的特征，這就是特征時(shí)間尺度。大的頻率與小的時(shí)間尺度相對(duì)應(yīng)，小的頻率與大的時(shí)間尺度相對(duì)應(yīng)，可見頻率與時(shí)間尺度是相關(guān)的。時(shí)間尺度參數(shù)是用來描述信號(hào)本質(zhì)特征的參數(shù)。對(duì)于非平穩(wěn)的信號(hào)，若要研究它的本質(zhì)特征，可以從它的時(shí)間尺度入手。

對(duì)于任意一個(gè)信號(hào)x（t），可以由零點(diǎn)定義該信號(hào)的時(shí)間尺度參數(shù)，若

滿足上式的時(shí)刻t為該信號(hào)的零點(diǎn)，可以通過相鄰零點(diǎn)的時(shí)間跨度來定義零點(diǎn)時(shí)間尺度。

另外，也可以通過極值點(diǎn)定義時(shí)間尺度，這種方法是通過信號(hào)的極值點(diǎn)來確定時(shí)間尺度的，即若

滿足式（2）的t值就是極值點(diǎn)，而極值點(diǎn)間的時(shí)間跨度就是極值時(shí)間尺度。

由于想討論的是信號(hào)的局部情況，所以無論使用哪一種時(shí)間尺度參數(shù)，研究相鄰的特征點(diǎn)都是很重要的。要想得到一個(gè)復(fù)雜信號(hào)的零點(diǎn)是十分困難的，因此通常采用極值尺度參數(shù)。不管所要分析的這個(gè)復(fù)雜信號(hào)是否過零點(diǎn)，時(shí)間尺度參數(shù)都是描述模態(tài)函數(shù)時(shí)間跨度的量，它是從某一個(gè)極小值（或極大值）到另外一個(gè)極小值（或極大值）的。

1.2 本征模態(tài)函數(shù)

EMD方法中需要定義本征模態(tài)函數(shù)（IMF），它是一類具有瞬時(shí)頻率的信號(hào)，同時(shí)它在每一個(gè)時(shí)刻頻率是唯一的。一個(gè)本征模態(tài)函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：

1）在所有樣本高頻數(shù)據(jù)集內(nèi)，零點(diǎn)的數(shù)量必須和極大值或者極小值點(diǎn)的數(shù)量一樣，或兩者相差最多不過一個(gè)。

2）任意時(shí)間內(nèi)由樣條插值得到的上、下包絡(luò)線局部上來看是關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱的，即均值為零。

以上兩個(gè)條件保證了瞬時(shí)頻率有意義，本征模態(tài)函數(shù)反應(yīng)出信號(hào)本身的波動(dòng)性，使得每個(gè)周期上只有一種波型。本征模態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)和極值點(diǎn)數(shù)相同，所以從波形圖上來看，類似于將一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)通過調(diào)頻和調(diào)幅得到新信號(hào)圖形。

1.3 EMD方法——“篩分”過程

首先提出這樣一個(gè)假設(shè)：無論信號(hào)是平穩(wěn)的還是不平穩(wěn)的，線性的還是非線性的，每一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)都可以把它看成是幾個(gè)本征模態(tài)函數(shù)構(gòu)造出來的，這些本征模態(tài)函數(shù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)的數(shù)目是一樣的，在兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)間只有一個(gè)極值點(diǎn)，而且通過擬合得到的上下包絡(luò)線是關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱的，這些IMF都是彼此正交的。有限個(gè)本征模態(tài)函數(shù)可以合成任何復(fù)雜的信號(hào)。若初始的信號(hào)滿足本征模態(tài)函數(shù)條件，就直接用信號(hào)處理方法作用于該信號(hào)上，可以得到瞬時(shí)頻率解析圖。若初始信號(hào)不是一個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，則采用EMD方法將收集到的高頻數(shù)據(jù)分解為若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)和一個(gè)趨勢項(xiàng)，然后再使用信號(hào)分析的方法，基于以上思想，用EMD方法對(duì)一個(gè)時(shí)間序列x（t）進(jìn)行分解的步驟如下：

1）首先找出所獲得數(shù)據(jù)的所有的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，然后采用三次樣條插值的方法將獲得的這些極大值點(diǎn)連接起來形成上包絡(luò)線，同理得到下包絡(luò)線，則所有的數(shù)據(jù)都位于上下包絡(luò)之中，這也是包絡(luò)一詞的來歷。

2）求出上下包絡(luò)的均值m1，用原始時(shí)間序列x（t）減去這個(gè)平均值m1得到h1

判斷h1是否滿足IMF的兩個(gè)條件，若滿足則得到了第一個(gè)IMF分量。

3）若h1不滿足IMF的兩個(gè)條件，把h1看作原始數(shù)據(jù)，再次執(zhí)行以上的兩個(gè)步驟，得到新的均值m11，再由h11＝h1－m11得到h11，若h11滿足IMF的兩個(gè)條件，則h11為第一個(gè)IMF分量；若h11不滿足兩個(gè)條件，則將此方法繼續(xù)如上步驟2）的處理，直到做了k次處理，由h1（k－1）－m1k＝h1k得到h1k，直到h1k滿足IMF的兩個(gè)條件為止。此時(shí)令C1＝h1k，則C1是信號(hào)x（t）的第一個(gè)IMF分量。

4）從x（t）中將C1分離出來，得到r1

將r1作為新的原始數(shù)據(jù)，重復(fù)進(jìn)行以上3個(gè)步驟便得到x（t）的第二個(gè)分量C2，經(jīng)過n次處理，如此重復(fù)下去，便得到n個(gè)分量，即

這里需要一個(gè)結(jié)束循環(huán)的條件，即再得到的分量是不滿足IMF條件，而是一個(gè)單調(diào)的函數(shù)或者常數(shù)?？梢酝ㄟ^式（4）和式（5）將初始信號(hào)x（t）分解成如下形式：

式中：rn——趨勢項(xiàng)。

EMD分解是一個(gè)將數(shù)據(jù)一層一層的根據(jù)其本質(zhì)特征篩分過程，因此可以把EMD分解方法看成是一個(gè)濾波器。經(jīng)過這樣的分解，模態(tài)波形會(huì)變得對(duì)稱。這些特征時(shí)間尺度Ci是依次按照由小到大分離出來的，而頻率則是從高到低的。

2 高頻數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)處理

高頻數(shù)據(jù)具有數(shù)據(jù)時(shí)間間隔不等、數(shù)據(jù)時(shí)間間隔小、數(shù)據(jù)量大等特點(diǎn)。我們用EMD方法來分析高頻數(shù)據(jù)的時(shí)頻特征。選取從2010年5月27日13時(shí)至2010年5月27日15時(shí)兩個(gè)小時(shí)股票代碼為SH600383的實(shí)時(shí)價(jià)格組成的高頻數(shù)據(jù)來進(jìn)行EMD分析。該高頻數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔小于8s，記錄的筆數(shù)為1 404。

將這筆數(shù)據(jù)首先用Matlab繪圖，得到價(jià)格相對(duì)于時(shí)間的圖像，如圖1所示。

從圖1可以看到，該信號(hào)沒有什么規(guī)律可循，并且信號(hào)是非平穩(wěn)、非線性的。

將該股票價(jià)格的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行了EMD處理，得到了7個(gè)IMF曲線，如圖2～圖8所示，圖9為趨勢項(xiàng)，它們的時(shí)間尺度從小到大，頻率從高到低。

圖2 IMF1

圖3 IMF2

圖4 IMF3

圖5 IMF4

圖6 IMF5

圖7 IMF6

圖8 IMF7

圖9 趨勢項(xiàng)r7

由于IMF的分解過程是按照頻率從高到低的，所以IMF1，IMF2，IMF3為高頻的噪音項(xiàng)，把該3項(xiàng)去掉后，由IMF4，IMF5，IMF6，IMF7這4個(gè)本征函數(shù)和趨勢項(xiàng)r7來重構(gòu)的信號(hào)如圖10所示。

2.2 結(jié)果分析

原始數(shù)據(jù)組成的信號(hào)圖1中，我們看到的信號(hào)能量波動(dòng)沒有任何規(guī)律可尋，并且看不出來任何趨勢，而進(jìn)行IMF分解后，得到了7個(gè)IMF以及一個(gè)趨勢項(xiàng)，圖2～圖9中，我們看到每一個(gè)IMF近似于某一周期的正弦曲線，在圖6～圖8中，這種類似正弦曲線的周期性表現(xiàn)的尤為明顯，而圖2～圖4則是高頻的噪音項(xiàng)，波動(dòng)都是十分細(xì)小的，圖9趨勢項(xiàng)r7則顯示出了原始數(shù)據(jù)的波動(dòng)趨勢。與原始信號(hào)相比，將前3項(xiàng)高頻噪音項(xiàng)剔除之后，使用后4個(gè)IMF與趨勢項(xiàng)r7重構(gòu)而成的信號(hào)曲線（見圖10）更加光滑，達(dá)到了去噪的目的，且在很多部分都能清晰地看出大概的價(jià)格趨勢。

圖10 IMF4＋I(xiàn)MF5＋I(xiàn)MF6＋I(xiàn)MF7＋r7

3 結(jié) 語

實(shí)際上EMD方法由黃鍔博士提出，并且在EMD方法的基礎(chǔ)上使用了Hilbert變換，由此兩大步驟構(gòu)成了Hilbert－Huang算法，是處理非平穩(wěn)非線性的時(shí)間序列的有效工具，很多人在此之后針對(duì)Hilbert－Huang算法的某些不足，將此方法進(jìn)行了相應(yīng)的改動(dòng)，使得可以更好地處理非線性、非平穩(wěn)的時(shí)間序列［9－11］。

將EMD方法應(yīng)用于高頻數(shù)據(jù)，將這種非平穩(wěn)、非線性的高頻數(shù)據(jù)分解為幾個(gè)有限的IMF，在信號(hào)重構(gòu)后，可以使得信號(hào)更加的光滑，將這種自適應(yīng)性分析方法應(yīng)用于高頻數(shù)據(jù)去噪處理，挖掘出更多信號(hào)本質(zhì)的直觀信息，為預(yù)測高頻數(shù)據(jù)提供了必要的信息。由于高頻數(shù)據(jù)的能量在一些頻段很微弱，且不可避免存在人為干擾，所以，對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分析后重構(gòu)這樣的去噪預(yù)處理是非常必要的。

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