趙 耀，王 建，楊曉梅，曾曉東

(四川大學電氣信息學院自動化系，四川成都610065)

0 引言

“自動控制原理”是自動化以及相關的專業(yè)的主干必修課程，也是分析和設計自動控制系統(tǒng)的入門課程，是所有后續(xù)控制類課程的基礎。該課程的時域分析部分，通過對低階及高階系統(tǒng)典型響應的分析，可以建立起系統(tǒng)傳遞函數相關參數與響應性能之間的定性和定量關系，從而為后續(xù)的系統(tǒng)分析與設計奠定基礎。

“自動控制原理”課程中的一階系統(tǒng)分析比較簡單容易，而代表性更廣的二階系統(tǒng)始終占據著時域分析這部分的核心地位。很多實際系統(tǒng)都可以近似為二階系統(tǒng)，而且很多情況下反饋控制系統(tǒng)的設計可以歸結為二階系統(tǒng)的參數配置問題，常常還會涉及到零點的配置問題，如采用PD調節(jié)器時。另外，分析高階系統(tǒng)時可以將其分解為多個一階和二階系統(tǒng)，這時的二階系統(tǒng)往往帶有零點。所以研究零點對二階系統(tǒng)響應性能的影響具有重要意義。

幾乎所有該類課程的教材都會討論二階系統(tǒng)(沒有零點)的響應性能問題。但是，對于零點的影響以及配置原則尚未全面深入的分析結果。有的教材基本上不討論零點問題，有的主要分析開環(huán)零點對閉環(huán)特征方程的影響，還有的則只通過仿真例子簡單說明一下零點對暫態(tài)性能的影響。例如，文獻［1］只籠統(tǒng)地指出增加零點相當于增加了一個微分分量，作用是使響應加快、超調量增大、振蕩加劇、調節(jié)時間拉長;文獻［2，3］針對比例微分調節(jié)器給系統(tǒng)帶來的零點，給出了阻尼比在0～1之間時性能指標的一些計算公式;文獻［4，5］僅通過仿真分別分析了二階和三階系統(tǒng)的開環(huán)零點對暫態(tài)性能的影響;文獻［6］討論了獨立改變系統(tǒng)零點的作用，但也限于阻尼比在0～1之間的情況，且分析僅基于計算結果，沒有全面的定性分析。

實際上，零點對二階系統(tǒng)的影響比較復雜。有時會加快響應，有時正好相反;有時會在加快響應的同時增大超調，有時卻可以不產生超調而只加快響應;有時會使振蕩加劇，有時卻完全不產生振蕩。那么，到底什么情況下零點的存在會改善性能?什么情況下會使性能惡化?配置零點應遵循的基本原則是什么?本文針對這些問題進行定性和定量的全面分析，并給出清晰的答案。

1 有零點二階系統(tǒng)響應的基本特征

設系統(tǒng)的輸入和輸出分別為R(s)和Y(s)，則有零點二階系統(tǒng)的傳遞函數可以表達為

可見系統(tǒng)輸出為無零點典型二階系統(tǒng)響應及其微分部分兩項的疊加：

式中，y0(t)為無零點典型二階系統(tǒng)的響應。因此，零點的影響體現為增加了一個微分項，而且零點越靠近原點，|b|越大，影響越顯著。

以下分析針對單位階躍輸入，并設系統(tǒng)穩(wěn)定，即阻尼比ζ與自然振蕩頻率ω0均大于零。分實數極點與復數極點兩種情況進行討論，每一種情況都要考慮b＞0與b＜0，即負實數零點與正實數零點對系統(tǒng)動態(tài)響應性能的影響。

2 實數極點時零點對性能的影響

2.1 b﹥0，系統(tǒng)零點為負實數

先考察一個仿真例：

b取0.5和1.5不同值時系統(tǒng)各部分的單位階躍響應曲線如圖1所示。圖1表明，系統(tǒng)極點為負實數時，由于無零點的響應y0(t)是單調上升的，所以其微分始終大于零。當b較小時，如圖1(a)所示，總的輸出y(t)不會產生超調，且響應加快;但當b較大時，如圖1(b)所示，由于疊加的微分項過大，會導致y(t)產生超調。因此，需要搞清楚一個重要問題：定量地分析，b到底增大到什么值時才會產生超調?

圖1 單位階躍響應曲線

分析的主要思路是若產生了超調，則響應有峰值，在0＜t＜∞的范圍內一定存在一時間點t1，使得(t1)=0。

先考慮ζ＞1，即系統(tǒng)的兩個極點s1和s2互異，并設s1＞s2。系統(tǒng)無零點部分的單位階躍響應為

加上微分項后可得到總的響應，再求導可得

因此在0＜t＜∞的范圍內有如下關系

上式左端是極點s1和s2與零點-1/b的距離之比，說明只有當零點位于負實軸上極點s1的右端時(見圖2)，式(6)才成立。即此時一定存在某時間點t1＞0，使系統(tǒng)響應的導數=0，系統(tǒng)響應出現峰值和超調。

圖2 系統(tǒng)零極點分布示意圖

再考慮ζ=1，即系統(tǒng)的兩個極點s1和s2相同，即s1，2=－ωn。系統(tǒng)無零點部分的單位階躍響應為

與前面同樣的思路，對總的響應求導后可得t+b－bωnt=0，即

上式左端的分母代表了極點與零點的距離，同樣說明只有當零點-1/b位于兩個極點s1，2=-ωn的右端時，才存在某時間點t1＞0，使系統(tǒng)響應的導數等于0。

上述分析說明無論系統(tǒng)極點相同或互異，只有當零點比極點更靠近原點時才會產生超調。式(6)和式(8)同時還表明，b越大，則零點越靠近原點，系統(tǒng)產生峰值的時間點會越提前。而且，由式(2)知對應的微分項越大，超調也會越大。

為了進一步驗證上述結論，我們針對式(3)所代表的相異極點系統(tǒng)和下式所代表的相同極點系統(tǒng)進行仿真：

b的取值大致在產生超調前后，仿真結果如圖3所示。仿真結果證實了前面分析的結論，即對于具有負實數極點的二階系統(tǒng)，其負實數零點比極點更靠近原點時一定會產生超調，且零點在極點的右端距極點越遠(越靠近原點)，超調就會越大。

圖3 b取不同值時的二階系統(tǒng)單位階躍響應

2.2 b﹤0，系統(tǒng)零點為正實數

這種情況與前面的區(qū)別只是式(2)中構成系統(tǒng)響應的微分項部分的符號正好反過來，因此其作用是顯而易見的。我們只須針對前面的式(3)所代表的系統(tǒng)做一組仿真就可看出其響應的一般規(guī)律。仿真結果如圖4所示，說明當b＜0時，由于式(2)中的微分項始終為負，因此總的響應雖然不產生超調，但會產生反調;隨著b的增大，反調也越來越大，而且上升時間和調節(jié)時間都會延長。

3 復數極點時零點對性能的影響

我們先考察一個仿真實例：

圖4 b取不同負值時實數極點系統(tǒng)的單位階躍響應

其極點為s1，2=-0.5 ± j0.5，取b±0.5 時系統(tǒng)各部分的單位階躍響應如圖5所示。

圖5 二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

由圖5可以看出，當系統(tǒng)極點為復數時，由于無零點的響應y0(t)有振蕩，所以其微分在y0(t)達到峰值或極值前大于零或小于零，而在y0(t)達到峰值或極值后則正好反過來，所以無論b的取值如何都會加劇振蕩幅度，增大超調。在響應的快速性方面，上升時間和峰值時間在b＞0時會減小，而在b＜0時會增大，調節(jié)時間對于該例而言變化不大。但是在|b|較大時，由于振蕩幅度會顯著增大，所以調節(jié)時間應當是增加的。

下面針對一般情況先分析峰值時間與超調，然后分析調節(jié)時間。

設系統(tǒng)的極點為s1，2= σ ± jωd，其中 σ =-ζωn，，則無零點部分的單位階躍響應及其微分分別為

其中，φ=cosζ為阻尼角。將上述兩式代入式(2)并對總的輸出y(t)求導可得峰值時間tp滿足下式

由該式可知：當b=0時有ωdtp=π，與現有教材典型二階系統(tǒng)的相關結論一致;當b＞0時，則有ωdtp＜π，且ωdtp隨b的增大而減小，即峰值時間縮短，b增大到-1/b=σ時有ωdtp=π/2，即零點在實軸上右移到極點實部位置時峰值時間將減小一半，繼續(xù)增大則tp還會減小，但最多減小到ωdtp＜φ;而當b＜0時，則有ωdtp＞π，且ωdtp隨b的減小而增大，但最多增大到π+φ。說明tp的變化受到阻尼角的限制，即+∞ ＞b＞-∞對應φ＜ωdtp＜π+φ。

對于響應峰值和超調，無論tp是減小還是增大，不同b所對應的曲線都相交于y0(t)的峰值點，tp的改變使y0(t)的峰值不再是有零點響應y(t)的峰值，所以y(t)的峰值一定大于y0(t)的峰值。也就是說復數極點情況下，零點的存在會使超調增大，而且由于|b|越大，在y0(t)基礎上疊加的微分分量的幅度也越大，因此超調會隨之增大。

最后再分析調節(jié)時間ts。設誤差帶為Δ(一般取5%或2%)，則按照其定義可推導出

按包絡線估計調節(jié)時間可將上式簡化為

從而可得

即調節(jié)時間比無零點時多出了lna這一項。分析該項可知：b＜0時有a＞1，lna＞0，因此ts一定會增大;而b＞0時有三種情況，即b=2ζ/ωn對應a=1，b＞2ζ/ωn對應a＞1，b＜2ζ/ωn對應a＜1，表明ts可能不變、增大或減小。由于這是按包絡線估計的大致結果，與實際情況會有一些出入。

根據該節(jié)的分析結果，我們針對式(10)進行仿真，結果如圖6所示。該圖表明，無論b＞0還是b＜0，隨著|b|的增大，即零點-1/b向原點靠近，都會使振蕩加劇，超調增大，即平穩(wěn)性變差;在快速性方面，調節(jié)時間在較小時變化不明顯，在|b|較大時則明顯延長;峰值時間tp會隨|b|的增大而減小(b＞0時)或增大(b＜0時);無零點情況下(b=0時)的峰值時間為π/ωd=3.63，當b=2，即零點位于極點實部位置時，tp正好減小了一半，為1.815;由于阻尼角φ=π/3，所以tp最多減小到原來的1/3，即1.21。tp增大的極限則為4.84(即ωdtp→π+φ所對應的時間 3.63+1.21)。

圖6 二階系統(tǒng)的單位階躍響應

綜上所述，對于復數極點的二階系統(tǒng)，增加零點會使系統(tǒng)響應的振蕩加劇，且零點越靠近原點，振蕩幅度就越大，即平穩(wěn)性越差;若零點位于右半復平面，快速性也會下降;若零點位于左半復平面，響應速度雖然會有所提高(上升時間和峰值時間縮短)，但調節(jié)時間并沒有改善，反而會在零點靠近原點時明顯延長。因此，綜合評價，增加正實數零點是有害無益，增加負實數零點是弊大于利。在設計系統(tǒng)時，即使無法避免零點，也應當盡可能地使零點位于負實軸上，而且距離原點遠一些。

4 結語

本文針對有零點的二階系統(tǒng)，全面分析了零點對響應性能的影響，討論了系統(tǒng)分別具有左半復平面實數和復數極點時對應的零點在負實軸和正實軸上四種情況。根據分析結果綜合評價：只有當系統(tǒng)具有實數極點時，恰當地配置一個負實數零點可以明顯改善快速性，且不影響平穩(wěn)性，所配置零點的位置盡量不要比極點更靠近虛軸，以避免產生超調;若要追求快速性，可以讓零點比極點適當地靠近虛軸一些，這樣雖然有超調但不會太大。

［1］黃家英.自動控制原理(第二版，上下冊)［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］胡壽松.自動控制原理(第五版)［M］.北京：科學出版社，2007.

［3］張愛民.自動控制原理［M］.北京：清華大學出版社，2006.

［4］Ogata K.Modern Control Engineering(4th Edition)［M］.北京：清華大學出版社(影印版)，2005.

［5］Kuo B C，Golnaraghi F.Automatic Control Systems(8th Edition)［M］.北京：高等教育出版社(影印本)，2003.

［6］Dorf R C，Bishop R H著，謝衛(wèi)紅，鄒逢興等譯.現代控制系統(tǒng)(第八版)［M］.北京：高等教育出版社(影印本)，2001.