王時建 徐勇根 吉馭嬪 徐竟躍 盧宏 劉曉旭 張世昌2)?

1)(西華大學(xué)物理與化學(xué)學(xué)院,成都 610039)

2)(西南交通大學(xué)光電子學(xué)研究所,成都 610031)

(2013年1月29日收到;2013年2月26日收到修改稿)

1 引言

自由電子激光器的顯著優(yōu)點是其工作頻率通過調(diào)整電子束的相對論能量因子γ和搖擺器(wiggler或者undulator)的空間周期λw,實現(xiàn)連續(xù)可調(diào),覆蓋從微波至γ射線全頻段[1,2].自由電子激光的研究熱點之一就是利用這一優(yōu)勢在短波長(含紫外、X射線、γ射線)產(chǎn)生相干輻射.其中X射線自由電子激光被譽為“革命性光子源”,可用來實現(xiàn)單分子成像[3].近年來,短波長自由電子激光實驗研究實現(xiàn)突破性進展,繼2009年美國斯坦福加速器中心(SLAC)實現(xiàn)世界上第一臺硬X射線自由電子激光(波長1.5A?,)[4],日本同步輻射研究所于2011年在其LASER自由電子激光裝置上把實驗波長縮短到1.2A?[5],據(jù)最新報道,隨后又縮短到0.634A?,創(chuàng)造了波長短于1A?的世界最新紀(jì)錄[6].有關(guān)短波長自由電子激光的理論、實驗及應(yīng)用研究,正在國內(nèi)外學(xué)術(shù)界、技術(shù)工程界蓬勃開展[7-15].

由于自由電子激光的工作波長與電子束的相對論能量因子γ的平方成反比,因此,長波長(紅外至微波段)自由電子激光只需弱相對論電子束(mild-relativistic electron beam,相對論能量因子在10以下),從工程實際講,電子束的電流強度也就可以做得很強(千安培及以上量級).低能高密度電子束給長波長自由電子激光帶來一個很大好處,即電子的集體效應(yīng)起支配性作用,使激光場獲得很高增益,從而也就不需要很長的束-波互作用區(qū)(通常在1 m左右);另一方面,帶來的負面影響是電子之間的排斥力很大,為避免電子束發(fā)散,需外置縱向?qū)б艌鰜砭凼?這樣一來,長波長自由電子激光器中電子在搖擺器和縱向?qū)б艌鲋械倪\動狀態(tài)顯得較為復(fù)雜,演繹出獨特的物理性質(zhì)[16-19].

與長波長情況截然不同,短波長自由電子激光需要超相對論電子束(ultra-relativistic electron,電子速度十分接近光速,相對論能量因子一般在100以上),工程上能提供的電流強度低,激光場從高能低密度電子束獲得能量全靠電子的個體貢獻,故短波長自由電子激光的增益相對較低,需要很長的束-波互作用區(qū)(10 m左右或更長).這樣一來,盡管短波長自由電子激光器中電子之間的排斥力不如長波長自由電子激光器中那樣強,但是電子束傳輸通道卻漫長而狹窄,電子的運動狀態(tài)顯得格外重要.

已有文獻對短波長自由電子激光器的電子在搖擺器中的運動及穩(wěn)定性進行了不少研究,但大多假設(shè)電子非?？拷鼡u擺器軸線,忽略了搖擺器磁場橫向分布的影響;其中對電子運動方程中參量條件的影響研究得多,往往忽略了對運動初始條件影響的研究.本文就短波長自由電子激光器中超相對論電子在磁場具有橫向分布的搖擺器中的運動特性,采用逐次逼近法推導(dǎo)出電子運動方程的解析解,指出所得結(jié)果與已有文獻的區(qū)別;用非線性數(shù)值計算方法模擬電子傳輸過程,提出一種防止電子橫向運動發(fā)散的方法;借助科爾莫戈羅夫熵(Kolmogorov entropy)討論電子運動的穩(wěn)定性.本文所得研究結(jié)果對認識短波長自由電子激光的物理特性具有一定學(xué)術(shù)意義,對短波長自由電子激光工程實踐也有一定參考價值.

2 超相對論電子運動的解析分析

2.1 基本方程

短波長自由電子激光器使用的搖擺器一般由永磁體構(gòu)成,如圖1所示.這種平面搖擺器內(nèi)部的磁場Bw,從麥克斯韋方程?×Bw=0解出(參見文獻[1]p99)：

式中kw=2π/λw,Bw和λw是搖擺器的振幅和空間周期,sinh(kwy)和cosh(kwy)分別是雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù).(1)—(3)式含有橫向變量y,反映了偏離搖擺器軸線的磁場實際分布.

超相對論電子的運動方程為

式中m0和e是電子的靜質(zhì)量和基本電量(物理常數(shù)),γ和v是運動電子的相對論能量因子和速度.其中,由于磁場力不做功,電子的能量守恒,故γ為運動常數(shù).即使如此,也難于從耦合方程組(1)—(4)中求解出微分方程自洽的解析解,因為(4)式中同時含有待求的未知函數(shù)和變量的三角函數(shù)及雙曲函數(shù).為此,我們用逐次逼近法來求解.利用雙曲函數(shù)的級數(shù)表達式

代入(2),(3)式,得

以(kwy)為近似標(biāo)度(approximation scale),視(kwy)0,(kwy)1,(kwy)2,···為零階、一階、二階、······近似量,(7),(8)式改寫為

式中上標(biāo)分別代表搖擺器磁場的零級近似量：

一級近似量

其他高階近似量以此類推.相應(yīng)地,電子的運動量也分解成對應(yīng)的級數(shù)展開：

圖1 短波長自由電子激光器的超相對論電子在平面搖擺器中傳輸示意圖

2.2 零級近似解

由搖擺器磁場零級近似(11)式代入(4)式,得零級近似運動方程

由于超相對論電子的縱向速度非常接近光速c,(14)式可近似為

由此解出

式中C1和C2為積分常數(shù),設(shè)初始時刻代入(19),(20)式定出C1=eBw/γm0kw,C2=0,再定義搖擺器參量

于是得到定解

2.3 一級近似解

下面求解一級近似量,來修正零級近似結(jié)果,逼近真值.為此,用搖擺器磁場的一級近似(12)式代入運動方程,利用零級近似結(jié)果,經(jīng)過不太復(fù)雜的計算,可得對零級運動量的修正量所滿足的方程

先由(22)式代入(27)式,并考慮到超相對論電子的γ2很大,z(0)≈vz0t≈ct,得到

上式中cos(kwz(0))在0—1之間周期性變化,因z(0)≈vz0t≈ct,其時間變化周期為2π/kwc,相應(yīng)的時間變化頻率為c/λw,是一個快變化量(此處c代表真空中光速),通過對(29)式兩邊在搖擺器周期λw內(nèi)求平均值可剔除 (29)式中的快變化影響,得到令

(30)式改寫為

(32)式表明：如果v(y1)和y(1)的初始時刻值為零,則v(y1)≡0,y(1)≡0;即使初始時刻v(y1)=v(1)和y,0y(1)=y(1)均不為零.(30),(32)式也對應(yīng)周期解：0

換言之,電子在y方向的運動,絕不會√產(chǎn)生偏離軸線的發(fā)散運動,y(1)的空間周期λ1=γλw/K 是搖擺器周期λw的γ/K 倍,非常大.

再把(22)式代∫入(28)式,兩邊在搖擺器周期λw內(nèi)求平均值剔除快速變化影響,得到

如果v(z1)和z(1)的初始時刻值為零,則v(z1)≡0,z(1)≡0;即使初始時刻v(z1)=v(z1,0)和z(1)=z(01)的值均不為零.(34)式解出一級修正值

由于超相對論電子的縱向速度非常接近光速,其縱向運動(z≈vz0t)起支配作用,故(35)和(36)式所示修正值不會對電子的縱向運動產(chǎn)生實質(zhì)性影響.

最后求解(26)式.如上分析,在y方向和z方向的修正值y(1),v(y1),z(1)對超相對論電子的運動影響甚微,故可視sin(kwz(1))≈0,v(y1)y(1)≈0,從而(26)式簡化為

如果v(x1)和x(1)的初始時刻值為零,則v(x1)≡0,x(1)≡0;如果初始時刻v(x1)=v(x1,0)和x(1)=x(01)均不為零,(37)式給出線性一級修正值

2.4 物理意義

以上解析結(jié)果給出重要信息：電子運動在y方向會出現(xiàn)振幅微小的周期性運動,但不可能產(chǎn)生實質(zhì)性發(fā)散;在z方向以接近光速的初速度運動,也不會對電子的傳輸產(chǎn)生實質(zhì)性影響;但是,(23)式指明,電子在x方向的運動是(23)式右邊第一項所示的周期性搖擺運動和第二項所示的線性漂移運動的疊加,后者使電子在x方向持續(xù)產(chǎn)生偏離搖擺器軸線的橫向發(fā)散.這一結(jié)果與先前的理論分析有很大不同：以前的解析分析強調(diào)搖擺器對電子周期性調(diào)制作用,忽略了搖擺器磁場引起的橫向發(fā)散副作用(例如文獻[20]第(16)式中僅含周期性變化項,沒有發(fā)散項).該結(jié)果為下一節(jié)的非線性數(shù)值模擬所證實.

3 傳輸過程的非線性數(shù)值模擬分析

本節(jié)非線性數(shù)值模擬搖擺器磁場對電子運動的調(diào)制和發(fā)散雙重作用,采用四階龍格-庫塔法數(shù)值求解耦合微分方程組(1)—(4)式,用Fortran語言編寫程序.在數(shù)值計算中,以搖擺器周期的10-6量級為迭代步長,精細模擬電子在搖擺器中的運動狀態(tài).在模擬計算中,按慣例將自變量時間t通過關(guān)系式d t=v-z1d z變換成z.算例參數(shù)取自最近美國布魯海文國家實驗室(Brookhaven National Laboratory)的實驗[14,21]：搖擺器空間周期λw=3.89 cm,幅值Bw=3028 G,長度L=1000 cm,電子束相對論能量因子γ=201,束流Ib=350 A,束斑Rb=0.015 cm.

圖2 搖擺器中超相對論電子在x方向的位置坐標(biāo)沿縱向的演化曲線 搖擺器空間周期λw=3.89 cm,幅值B w=3028 G,長度L=1000 cm,電子束相對論能量因子γ=201,束流I b=350 A,束斑R b=0.015 cm;電子的初始值為：βx0=vx0/c=0,βy0=vy0/c=0,x0=0,y0=0,圖(b)示出在靠入口1 m內(nèi)的細節(jié)

圖2 (a)示出電子在x方向的運動沿縱向的演化情況,圖2(b)示出前1 m的細節(jié),此處假設(shè)初始時刻電子處在搖擺器軸線上(x0=0,y0=0),且無橫向速度 (βx0=vx0/c=0,βy0=vy0/c=0).圖中清楚顯示電子的周期性運動上疊加了橫向漂移運動.大約在z=550 cm處橫向位置就開始超出束斑范圍(0.015 cm),在出口處橫向位置達0.075 cm,已嚴重超出束斑范圍,印證了上節(jié)解析分析所得電子在x方向會產(chǎn)生發(fā)散的結(jié)論.電子在y方向的運動沿縱向的演化情況如圖3所示,與上節(jié)解析結(jié)果一致,的確電子在y方向的位移非常微小,在10-19cm量級.

圖3 搖擺器中超相對論電子在y方向的位置坐標(biāo)沿縱向的演化曲線(參數(shù)及初始條件與圖2相同)

在短波長自由電子激光器中,為防止電子束橫向發(fā)散,通常采用外置的磁場聚焦系統(tǒng)(quadrupole magnets/dipole magnets,例如文獻[22]).下面的模擬結(jié)果顯示,在沒有外置的磁場聚焦系統(tǒng)情況下,通過恰當(dāng)選取電子的初始速度,仍然可以有效地防止電子束橫向發(fā)散.為此,我們采用與圖2和圖3完全相同的計算條件,只是對x方向速度取不同的初始值,來比較其對電子傳輸?shù)挠绊?如圖4所示,當(dāng)選取vx的初始值vx0=-2.1×103m/s(即βx0=vx0/c=-7×10-6),電子的離軸漂移被矯正,在長達10 m的傳輸距離中,其橫向位置的范圍始終不超過0.09 mm.相應(yīng)的y方向位移仍然保持在10-19cm量級(限于篇幅未給出其曲線圖).

圖4 電子的x方向速度初始值對電子在搖擺器中傳輸?shù)挠绊?除電子的x方向速度初始值取圖中所示值外,所用參數(shù)及其余初始條件與圖2和圖3完全相同)

4 超相對論電子運動的穩(wěn)定性

科爾莫戈羅夫熵是一種研究微分方程解的穩(wěn)定性的常用方法.具體到本文的運動穩(wěn)定性研究,就是從運動方程求解出電子的位形x,y,z和速度vx,vy,vz,在六維相空間(x,y,z,vx,vy,vz)框架跟蹤計算初始條件具有微小差別的兩條相軌道之間的距離

對應(yīng)的極限即為科爾莫戈羅夫熵下標(biāo)1和2分別代表具有初始條件1和初始條件2的兩個電子的位形及速度量,|d0|=|d(t=0)|是這兩個電子的相軌道之間的初始距離.顯然,k＞0表明所考察的兩條相軌道之間的距離相對其初始距離成指數(shù)增加,運動處于不穩(wěn)定狀態(tài);k＜0表明所考察的兩條相軌道之間的距離比起其初始距離成指數(shù)減小,運動處于穩(wěn)定狀態(tài);k=0則表明所考察的兩條相軌道之間的距離保持其初始距離值,運動處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界狀態(tài).在數(shù)值計算時,可由恒等式 d t/d z=1/vz通過t與z變量互易把z換成自變量[19,23].本文取|d0|=10-7數(shù).量級等效于|d0|→0.設(shè)搖擺器有限長度L=Mh=vˉz0t,vˉz0是電子的平均縱向速度,M和h為數(shù)值計算的迭代次數(shù)和迭代步長.本文算例,L=10 m,取M=109等效于t→∞,相應(yīng)的迭代步長為h=L/M=10 m/109=10-6cm,遠遠小于搖擺器周期3.89 cm,精細地描述了相軌道的演化.

圖5 初始值vx0=-2.1×103 m/s(即βx0=vx0/c=-7×10-6)和vx0=0(即βx0=vx0/c=0)兩種運動情況的科爾莫戈羅夫熵(計算參數(shù)與圖4中完全相同)

圖5 給出對應(yīng)圖4中vx的初始值vx0=-2.1×103m/s(即 βx0=vx0/c=-7×10-6)和 vx0=0(即βx0=vx0/c=0)兩種運動情況的科爾莫戈羅夫熵隨迭代次數(shù)的演化曲線.從圖中可以看出,前者的科爾莫戈羅夫熵小于零,比后者更小,表明選取初始值vx0=-2.1×103m/s不僅有效地抑制了電子運動的橫向發(fā)散,而且運動具有很好的穩(wěn)定性,電子可以在長達10 m的搖擺器中穩(wěn)定傳輸.

5 結(jié)論

本文從解析分析、非線性模擬、穩(wěn)定性分析三個方面,較全面地研究了短波長自由電子激光器的超相對論電子,在具有橫向分布的平面搖擺器中的運動特性.結(jié)果表明：

1)搖擺器磁場迫使電子做周期性搖擺運動的同時,還給電子疊加了偏離搖擺器軸線的橫向漂移運動;在沒有外置的磁場聚焦系統(tǒng)情況下,漂移運動使電子運動產(chǎn)生橫向發(fā)散,不能在搖擺器中正常傳輸;

2)恰當(dāng)?shù)剡x取電子的初始橫向速度值,可以有效地抑制搖擺器疊加給電子的偏離搖擺器軸線的橫向漂移運動,電子可以在沒有外置的磁場聚焦系統(tǒng)情況下,在極為狹長(例如長10 m,窄0.09 mm)的通道正常傳輸,而且其運動的科爾莫戈羅夫熵小于零,具有很好的穩(wěn)定性.

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