涂俐蘭 劉紅芳 余樂(lè)

(武漢科技大學(xué),冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430065)

(2013年2月20日收到;2013年4月2日收到修改稿)

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)動(dòng)力節(jié)點(diǎn)的一致性問(wèn)題是復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)研究中的一個(gè)有趣且有意義的問(wèn)題.最主要的原因是網(wǎng)絡(luò)的一致性在各個(gè)領(lǐng)域中都有許多應(yīng)用,譬如在通信網(wǎng)絡(luò)中的信息交換一致、數(shù)值信號(hào)、模擬信號(hào)的一致性轉(zhuǎn)換等等[1-4].在過(guò)去的20年里,各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題已被深入地探討[2,5-11].

但是,在這些文獻(xiàn)中,很少涉及具有噪聲擾動(dòng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).在實(shí)際生活中,因?yàn)椴淮_定因素的存在,例如在物理系統(tǒng)中的隨機(jī)力以及由環(huán)境的不確定所產(chǎn)生的噪聲等,需要考慮噪聲造成的干擾,而且在網(wǎng)絡(luò)之間或在子系統(tǒng)中的信號(hào)傳輸存在環(huán)境干擾是不可避免的.當(dāng)分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為時(shí),獲得的結(jié)果經(jīng)常受到外部噪聲的極大影響[4,12].文獻(xiàn)[4]研究了因特網(wǎng)的魯棒性和脆弱性.文獻(xiàn)[12]探討了基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)在外部干擾下的魯棒性和演化能力.和不具有外部噪聲干擾的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題相比較而言,具有噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題研究得不多[13-17].文獻(xiàn)[13,14]研究了隨機(jī)擾動(dòng)下的離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題;文獻(xiàn)[15]提出了具有馬爾可夫跳躍隨機(jī)復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的一致標(biāo)準(zhǔn);Li等[16]研究了利用H無(wú)窮控制方法使得具有外部擾動(dòng)的線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到一致;Ke等[17]研究了具有隨機(jī)擾動(dòng)的一般時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題.

因?yàn)橛性肼暩蓴_的存在,在時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際研究中,必須考慮噪聲因素,這對(duì)于研究具有噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性非常重要.在經(jīng)典控制理論中,對(duì)控制系統(tǒng)的外部干擾和內(nèi)部的參數(shù)擾動(dòng),人們利用反饋和前饋來(lái)盡量消除它們的影響,改善系統(tǒng)的性能.H無(wú)窮控制方法和自適應(yīng)控制方法是處理這類(lèi)問(wèn)題的兩個(gè)有效的方法[18-20].基于H無(wú)窮控制和自適應(yīng)控制,Wei和Wang[18]對(duì)混沌系統(tǒng)的一致性進(jìn)行了研究;Wang等[19]討論了不確定系統(tǒng)的控制問(wèn)題;Lin等[20]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的一致性問(wèn)題.利用H無(wú)窮方法,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不僅可以獲得內(nèi)部的穩(wěn)定性(魯棒穩(wěn)定)而且可以滿(mǎn)足外部一定的相容性(魯棒水平).同時(shí)將自適應(yīng)方法和H無(wú)窮方法應(yīng)用到具有外部噪聲的復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)中將是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.

基于以上分析,本文研究具有噪聲的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)H無(wú)窮一致性問(wèn)題,其中網(wǎng)絡(luò)包含未知但有界的非線性耦合函數(shù)、節(jié)點(diǎn)和耦合項(xiàng)都具有時(shí)變時(shí)滯,這種網(wǎng)絡(luò)代表了實(shí)際生活中的很多網(wǎng)絡(luò).利用李雅普諾夫方法和線性矩陣不等式(LMI)方法,提出了兩個(gè)新的局部自適應(yīng)H無(wú)窮一致性充分條件.根據(jù)這些控制技術(shù),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部將達(dá)到自適應(yīng)漸近一致,而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)外部則因?yàn)橛型獠吭肼暤拇嬖诙_(dá)到了一個(gè)魯棒H無(wú)窮水平.所以,本文具有兩個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)：1)研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)較其他文獻(xiàn)更具有一般性,因?yàn)槲覀兛紤]的網(wǎng)絡(luò)不僅包含外部噪聲,而且含有非線性的耦合函數(shù)、時(shí)變時(shí)滯同時(shí)出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)耦合項(xiàng)中;2)利用自適應(yīng)控制和H無(wú)窮控制方法,從理論上提出了這種網(wǎng)絡(luò)的局部自適應(yīng)H無(wú)窮一致性充分條件,這些條件簡(jiǎn)單易行.

2 問(wèn)題的提出和預(yù)備知識(shí)

2.1 問(wèn)題的提出

考慮一個(gè)由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)n維系統(tǒng).整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程可表示為

其中 f：Rn→Rn是一個(gè)連續(xù)可微的有界非線性函數(shù),xi=(xi1,xi2,···,xin)T∈ Rn是第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量,τ(t)是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)變時(shí)滯,它連續(xù)可微且滿(mǎn)足

其中τ是已知的非零常數(shù),常數(shù)c＞0是耦合強(qiáng)度,A=(Aij)N×N是網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣.其中Aij定義如下：若節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn) j(j/=i)之間有連接,那么Aij=Aji=1;否則,Aij=Aji=0(j/=i).而且矩陣A的對(duì)角線元素定義為

G是一個(gè)具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣,wi(t)∈Rn是外部噪聲,H：Rn×Rn→Rn是未知但有界的非線性函數(shù).特別地,當(dāng)H是線性函數(shù)時(shí),網(wǎng)絡(luò)(1)可以寫(xiě)成

其中C和D是兩個(gè)具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣.

注1 在本文,我們主要討論網(wǎng)絡(luò)(1)在控制器ui(i=1—N)的作用下的局部自適應(yīng)H無(wú)窮一致性問(wèn)題,所以,網(wǎng)絡(luò)(1)的狀態(tài)方程施加控制器可表示為

定義1(自適應(yīng)漸近一致[9]) 一般地,若

則稱(chēng)復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)(5)漸近一致,其中s(t)∈Rn是下面孤立節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解

假設(shè)ei(t)=xi(t)-s(t),由網(wǎng)絡(luò)(5)和系統(tǒng)(7),我們有誤差系統(tǒng)

注2 由上面分析可知,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(5)達(dá)到一致的充分必要條件是誤差系統(tǒng)(8)在控制器的作用下的狀態(tài)變量趨于零,所以我們的問(wèn)題就轉(zhuǎn)而研究誤差系統(tǒng)(8).

下面,我們給出自適應(yīng)H無(wú)窮一致的定義.

定義2(自適應(yīng)H無(wú)窮一致[21]) 給定零初始值和一個(gè)噪聲擾動(dòng)衰減水平值γ＞0,在合適的控制器ui下,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的誤差系統(tǒng)(8)滿(mǎn)足如下條件(9),則稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)(5)達(dá)到自適應(yīng)H無(wú)窮一致,

其中S為正定對(duì)稱(chēng)矩陣.

2.2 預(yù)備知識(shí)

為了更好地說(shuō)明問(wèn)題,本文總假設(shè)E是具有合適維數(shù)的單位矩陣,所用的范數(shù)‖·‖為1-范數(shù),并給出下面幾個(gè)假設(shè)和引理.

假設(shè) 1 設(shè) B(t)d=efD f(s(t))=(bij(t))n×n∈Rn×n是 f(x(t))在s(t)上的雅可比矩陣.同時(shí),假設(shè) B=(bij)n×n∈Rn×n,其中 bij是 bij(t)(t∈R)的最大值.

假設(shè)2 設(shè)對(duì)于所有的x∈Rn,存在矩陣K1,K2∈ Rn×n使得

引理1 對(duì)于任意矩陣X,Y∈Rn×m,下面的矩陣不等式成立

其中AT=A＞0,A∈Rn×n.

引理2(Schur complement[22]) 假設(shè)Q(x)=Q(x)T,R(x)=R(x)T和S(x)都是x的矩陣函數(shù),下列線性矩陣不等式

等價(jià)于下列條件中的任何一個(gè)

3 主要結(jié)果

在本節(jié),我們將提出復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)(5)的局部自適應(yīng)H無(wú)窮一致性充分條件.

定理1 當(dāng)假設(shè)1和2成立時(shí),對(duì)于給定的S=ST＞0和γ＞0,若存在兩個(gè)正定的矩陣P和Q使得

成立,那么網(wǎng)絡(luò)(1)在控制器

和自適應(yīng)律

的作用下達(dá)到自適應(yīng)H無(wú)窮一致,其中αi?是αi的近似值,而βi為正常數(shù).

證明 對(duì)網(wǎng)絡(luò)(8)關(guān)于s(t)進(jìn)行線性化,我們有

構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)為

則V(t)在控制器(12)和自適應(yīng)律(13)的作用下,關(guān)于誤差系統(tǒng)(14)的導(dǎo)數(shù)有

由引理1,有

和

所以,

根據(jù)(10)式,上面的不等式表示為

假設(shè)

則

對(duì)不等式(20)求從0到∞的定積分,有

因?yàn)閂(∞)≥0,且V(0)=0,所以

從而,

上式意味著在各種假設(shè)下,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(8)達(dá)到了局部自適應(yīng)H無(wú)窮漸近一致.而且,要注意到不等式(19)不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI形式,利用引理2,可以把它改寫(xiě)為不等式(11).至此,證畢.

定理1提出了噪聲下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)達(dá)到自適應(yīng)H無(wú)窮一致的標(biāo)準(zhǔn).下面的定理2表明了當(dāng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)沒(méi)有外部噪聲的時(shí)候,網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部獲得自適應(yīng)漸近一致的充分條件.

定理2 當(dāng)假設(shè)1和2成立時(shí),對(duì)于給定的S=ST＞0,若存在兩個(gè)正定矩陣P和Q,使得

成立,則沒(méi)有噪聲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)在控制器(12)、自適應(yīng)律(13)的作用下,達(dá)到自適應(yīng)漸近一致.

證明 假設(shè)wi(t)=0,類(lèi)似于定理1的證明,由(18)式,我們有

當(dāng)

由引理2,它等價(jià)于不等式(21),我們有

所以,沒(méi)有噪聲的網(wǎng)絡(luò)(1)在控制器(12)、自適應(yīng)律(13)的作用下,達(dá)到自適應(yīng)漸近一致.證畢.

注3 當(dāng)耦合函數(shù)H是線性函數(shù)時(shí),也即網(wǎng)絡(luò)(4),則同樣可以獲得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(4)達(dá)到自適應(yīng)H無(wú)窮一致的充分條件.這時(shí),定理1和定理2中的線性矩陣不等式(11)和(21)將更簡(jiǎn)單,只需要把K1=C和K2=D代入定理1和定理2即可.

4 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證前面理論分析的主要結(jié)果,下面我們將對(duì)一個(gè)由100個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的小世界網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值模擬.考慮一個(gè)具有100個(gè)節(jié)點(diǎn)的小世界網(wǎng)絡(luò)(1),網(wǎng)絡(luò)(1)的平均路徑長(zhǎng)度為0.5814,它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)都是具有時(shí)滯的Lorenz系統(tǒng)

其中a1,a2,a3是實(shí)數(shù).當(dāng)a1=10,a2=8/3,a3=28時(shí),Lorenz系統(tǒng)是混沌的.同時(shí),本數(shù)值模擬中,設(shè)網(wǎng)絡(luò)(1)的耦合函數(shù)為

設(shè)wi(t)是高斯噪聲.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),給定網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)分別為τ(t)=1,G=(1,1,1)T,c=0.3,γ=0.5和S=diag(0.1,0.1,0.1).在所有的數(shù)值模擬中,設(shè)初始值為αi=βi=0.5?i(i=1,2,···,50),且設(shè)孤立系統(tǒng)的初始值為s=(3,-10,8).圖1和圖2分別是無(wú)噪聲和有噪聲的小世界網(wǎng)絡(luò)(1)的動(dòng)力軌跡圖,其中網(wǎng)絡(luò)(1)的初始值為xi=(-0.05i,0.05i,0.5i),i=1,2,···,100.因?yàn)樵肼暤拇嬖?在初始值完全相同的情形下,圖1系統(tǒng)軌跡在短時(shí)間內(nèi)不同于圖2.

圖1 無(wú)噪聲小世界網(wǎng)絡(luò)(1)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖2 噪聲下小世界網(wǎng)絡(luò)(1)的運(yùn)動(dòng)軌跡

根據(jù)定理1,利用Matlab的LMI工具箱,可以找到正定矩 陣 P和Q使得滿(mǎn)足定理1的條件(11).在上述條件下,對(duì)無(wú)噪聲和有噪聲的網(wǎng)絡(luò)(1)施加控制器(12),(13),獲得了無(wú)噪聲和有噪聲情況下誤差系統(tǒng)(8)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖,如圖3和圖5所示.圖3的軌跡很快都漸近趨于零,說(shuō)明無(wú)噪聲的網(wǎng)絡(luò)(1)在控制器(12),(13)的作用下,網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部很快達(dá)到一致.圖5的第二個(gè)、第三個(gè)子圖也很快趨于零,而從第一個(gè)子圖可以看出,誤差系統(tǒng)的軌跡在零的附近有很小的擺動(dòng),說(shuō)明在網(wǎng)絡(luò)外部施加噪聲的干擾,網(wǎng)絡(luò)的誤差系統(tǒng)沒(méi)有大的改變,它的運(yùn)動(dòng)軌跡是有界的.圖4和圖6分別表示無(wú)噪聲和有噪聲的情況下自適應(yīng)律(13)的軌跡圖,它們都表明自適應(yīng)控制律很快都趨于穩(wěn)定值.更進(jìn)一步地,圖7說(shuō)明在零初始條件下,誤差的H∞范數(shù)和外部噪聲H∞范數(shù)的比值開(kāi)方在擾動(dòng)衰減水∫平 γ=0.5之內(nèi),證明了∫

也即網(wǎng)絡(luò)(1)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)達(dá)到了自適應(yīng)H無(wú)窮一致,從而驗(yàn)證了本文提出的理論的正確性和有效性.

圖3 無(wú)噪聲的誤差系統(tǒng)(8)軌跡圖

圖4 無(wú)噪聲的自適應(yīng)律軌跡圖

圖5 有噪聲的誤差系統(tǒng)(8)軌跡圖

圖6 有噪聲的自適應(yīng)律軌跡圖

圖7 誤差的H∞范數(shù)和外部噪聲的H∞范數(shù)的比值開(kāi)方與時(shí)間關(guān)系圖

5 結(jié)論

本文研究了具有噪聲的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題,其中網(wǎng)絡(luò)具有非線性耦合函數(shù)、節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和耦合項(xiàng)都有時(shí)變時(shí)滯.這種形式的網(wǎng)絡(luò)代表了實(shí)際中的很多網(wǎng)絡(luò),在以往的文獻(xiàn)中很少涉及.基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論、LMI技術(shù)、H無(wú)窮控制和自適應(yīng)控制方法,本文提出了幾個(gè)局部自適應(yīng)H無(wú)窮一致充分條件.這些條件能夠保證網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)部達(dá)到自適應(yīng)H無(wú)窮一致,在此基礎(chǔ)上,網(wǎng)絡(luò)外部也達(dá)到了一定的H無(wú)窮衰減水平.而且,我們的假設(shè)和所獲得的自適應(yīng)控制器形式非常簡(jiǎn)單,在實(shí)際中也便于實(shí)現(xiàn).最后,本文做了非常詳細(xì)的數(shù)值模擬,這些數(shù)值模擬證明了我們所提出的理論的正確性和有效性.

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