吳小玉 呂長飛② 朱秋菊

(①貴州師范大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，貴州貴陽 550014;②貴州師范大學(xué)機(jī)械與控制仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州貴陽 550014;③上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

則ik為t(R)在λ處的截集，稱為布爾矩陣。對(duì)于溫度變量xik，則在閾值λ上時(shí)聚為一類，從而達(dá)到分類的目的。

如何在眾多溫度測點(diǎn)中找出少數(shù)能表達(dá)機(jī)床溫度信息的關(guān)鍵溫度測點(diǎn)，通過最少溫度測點(diǎn)獲得較多的機(jī)床溫度場變化信息，進(jìn)而建立精度高、魯棒性好的熱誤差模型是國內(nèi)外學(xué)者在精密制造方面研究的主要方向［1－2］。沈岳熙和楊建國提出一種基于嶺回歸分析的數(shù)控機(jī)床溫度布點(diǎn)優(yōu)化方法［3］，張琨等用熱模態(tài)分析方法對(duì)機(jī)床溫度測點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化選擇［4］，周天鵬等采用灰色系統(tǒng)理論中灰色關(guān)聯(lián)分析法建立測溫點(diǎn)和熱誤差之間的相關(guān)程度達(dá)到優(yōu)化測溫點(diǎn)的目的［5］，Naeem S.Mian等采用有限元方法對(duì)環(huán)境溫度所引起的機(jī)床變形進(jìn)行了估算［6］，Yung－Cheng Wang等建立了主軸熱變形最小化測量系統(tǒng)和補(bǔ)償機(jī)制［7］。模糊聚類分析方法和熱誤差敏感度分析方法等都取得了很好的應(yīng)用［8－9］。模糊聚類分析方法按照溫度變化的相關(guān)性可以將測點(diǎn)歸為若干類以減少測點(diǎn)的數(shù)量，但不能確定最優(yōu)溫度測點(diǎn)的位置。熱誤差敏感度表達(dá)了測點(diǎn)的溫度變化對(duì)熱誤差作用的大小，體現(xiàn)了溫度測點(diǎn)信息量特點(diǎn)，但當(dāng)溫度測點(diǎn)數(shù)量眾多時(shí)，運(yùn)用熱誤差敏感度計(jì)算最優(yōu)測點(diǎn)時(shí)計(jì)算量大［10］。本文結(jié)合模糊聚類和熱誤差敏感度分析方法，通過模糊聚類分析方法將不同位置測點(diǎn)的溫度特征歸類，用熱誤差敏感度分析方法從每一類別中選出一個(gè)最優(yōu)測點(diǎn)組成最優(yōu)測點(diǎn)組合，實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床溫度測點(diǎn)優(yōu)化，并利用最小二乘法進(jìn)行多元線性回歸分析對(duì)機(jī)床熱誤差進(jìn)行建模，與實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了此溫度測點(diǎn)優(yōu)化選擇方法的有效性。

1 溫度測點(diǎn)優(yōu)化

如何用最少關(guān)鍵溫度測點(diǎn)代表眾多溫度測點(diǎn)用于熱誤差建模且不會(huì)降低模型精度是一個(gè)極其關(guān)鍵的問題，這樣既能減少試驗(yàn)工作量和降低成本，更能簡化熱誤差模型。

1.1 模糊聚類測點(diǎn)分類

根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)特征和實(shí)際運(yùn)行情況，在機(jī)床主軸箱、進(jìn)給系統(tǒng)等重要部件上布置n個(gè)溫度測點(diǎn)，用模糊聚類分析對(duì)該n個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行聚類，設(shè)U={u1，u2，…，un}為待分類的n個(gè)溫度測點(diǎn)，其中每一待分類測點(diǎn)由一組m個(gè)測量數(shù)據(jù)組成:ui=(xi1，xi2，…，xim)，計(jì)算n個(gè)溫度測點(diǎn)間相似程度的統(tǒng)計(jì)量rij(1≤i，j≤n)，建立模糊相似矩陣R=(rij)n×n，相似關(guān)系R是衡量測量數(shù)據(jù)相似程度的模糊量。矩陣元素rij表示向量xi與xj的相關(guān)、相似程度，即n個(gè)測點(diǎn)間的相關(guān)相似程度:

包含模糊相似矩陣R的最小傳遞模糊矩陣叫做R的傳遞閉包，記為t(R)。

設(shè)R為n階模糊相似矩陣，則存在自然數(shù)k≤n，使得:

且對(duì)于所有大于k的自然數(shù)l，都有Rl=Rk，當(dāng)計(jì)算到R2k=Rk時(shí)，Rk便是模糊等價(jià)矩陣。

F服從自由度為(r－1，n－r)的F分布。當(dāng)F＞Fα(r－1，n－r)(α =0.05)時(shí)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差分析理論可知類與類之間的差異是顯著的，(F－Fα)/Fα較大時(shí)對(duì)應(yīng)的λ為最佳閾值。若rij≥λ，取rij=1，反之，取rij=0，令分類后的矩陣為:

1.2 熱誤差靈敏度最優(yōu)點(diǎn)選擇

根據(jù)定義，熱誤差靈敏度表示為熱誤差對(duì)溫度變化的一階導(dǎo)數(shù):

式中:s為熱誤差靈敏度，Δδ和ΔT分別為一個(gè)采集時(shí)間間隔的熱誤差之差和溫度差。當(dāng)采集時(shí)間間隔很小時(shí)，熱靈敏度可用Δδ/ΔT近似。

基于熱誤差靈敏度的溫度測點(diǎn)選擇方法如下:

(1)計(jì)算第i個(gè)溫度測點(diǎn)在第j個(gè)采樣時(shí)刻的熱誤差靈敏度sij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。n和m分別為溫度測點(diǎn)總數(shù)和采樣次數(shù)的總數(shù)(即n個(gè)測點(diǎn)中每個(gè)測點(diǎn)包含m個(gè)測量數(shù)據(jù))。

(2)計(jì)算任意兩溫度測點(diǎn)a、b間熱誤差靈敏度的差異值，用兩測點(diǎn)每一時(shí)刻的熱誤差靈敏度差異值的絕對(duì)值總和dab表示:

(3)根據(jù)模糊聚類分析得溫度測點(diǎn)類別數(shù)r，通過最大化式Dr來確定最佳熱關(guān)鍵點(diǎn)組合:

式中:Ti為第i個(gè)溫度測點(diǎn)。

根據(jù)式(7)，Dr值越大，表示該r個(gè)溫度測點(diǎn)組合的熱誤差靈敏度越大，Dr最大時(shí)該r個(gè)溫度測點(diǎn)即為最優(yōu)測點(diǎn)組合。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

溫度采集使用Pt100鉑電阻溫度傳感器、FLXMDA－9000智能多點(diǎn)巡檢儀及DE311串口通信轉(zhuǎn)換模塊，位移檢測使用CNDT6100電容位移傳感器、信號(hào)放大器和NI USB－6225采集卡，在VMC1165B立式加工中心布置溫度測點(diǎn)，工作臺(tái):T1;主軸箱上中下:T8，T7，T13;主電動(dòng)機(jī):T3;x線性軸線方向:T12(左軸承座)，T4(絲杠螺母)，T15(右軸承座)，T11(x軸電動(dòng)機(jī));y線性軸線方向:T10(前軸承座)，T2(絲杠螺母)，T5(后軸承座)，T14(y軸電動(dòng)機(jī));z線性軸線方向:T6(下軸承座)，T16(上軸承座);T9為環(huán)境溫度，如圖1所示(其中y線性軸線方向所有溫度傳感器和位移傳感器以及z線性軸線方向溫度傳感器T16和位移傳感器處于圖中背面)。熱誤差的檢測通過5個(gè)位移傳感器以五點(diǎn)測量法進(jìn)行測量(如圖2)，在x軸和y軸方向分別選取相對(duì)位置上、下兩點(diǎn)進(jìn)行測量，標(biāo)識(shí)為x上、x下和y上、y下。對(duì)加工中心整機(jī)以主軸轉(zhuǎn)速和線性軸線運(yùn)動(dòng)速度(線性軸線速度是x、y向聯(lián)動(dòng)時(shí)的線性軸線合成速度)參數(shù)按如圖3所示速度譜進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，機(jī)床測點(diǎn)溫度變化如圖4所示，對(duì)應(yīng)整機(jī)在工作臺(tái)后端熱變形如圖5所示。

根據(jù)各測點(diǎn)測得溫度數(shù)據(jù)求得溫度測點(diǎn)間的相關(guān)系數(shù)，由公式(1)建立相似關(guān)系矩陣R:

再由公式(2)求得模糊等價(jià)矩陣為t(R):

分析模糊等價(jià)矩陣t(R)，得聚類分析結(jié)果如表1所示。由表1可知，當(dāng)聚類數(shù)目為3、4、7類時(shí)，都有F＞Fα。而當(dāng)λ=0.93，聚類數(shù)目為4時(shí)，對(duì)應(yīng)的(FFα)/Fα最大，所以溫度測點(diǎn)聚為 4 類最佳。x、y、z向進(jìn)給系統(tǒng)部件和工作臺(tái)的溫度變化規(guī)律類似，只需在T(1，2，4，5，6，10，11，12，14，15，16)中選擇一個(gè)測點(diǎn)即可;主軸箱上3個(gè)測點(diǎn)溫度變化規(guī)律相似，只需在T(7，8，13)中選取一個(gè)測點(diǎn);電動(dòng)機(jī)溫度與其他測點(diǎn)獨(dú)立不相關(guān)，取T3測點(diǎn);測點(diǎn)T9為環(huán)境溫度。T(1，2，4，5，6，10，11，12，14，15，16)和 T(7，8，13)兩個(gè)類別究竟選擇哪兩個(gè)測點(diǎn)組合才是最優(yōu)，通過熱誤差靈敏度分析確定。

表1 模糊聚類分析結(jié)果

由式(7)可知，若直接用熱誤差靈敏度分析方法對(duì)溫度測點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，16個(gè)溫度測點(diǎn)中選出4個(gè)關(guān)鍵測點(diǎn)需要計(jì)算·個(gè)值，計(jì)算量大?；谀：垲惙治鰧?duì)溫度測點(diǎn)進(jìn)行分類后再用熱靈敏度分析獲得最佳溫度測點(diǎn)組合的方法對(duì)多測點(diǎn)的關(guān)鍵測點(diǎn)選擇很有優(yōu)勢。本文通過模糊聚類分析T3和T9兩個(gè)測點(diǎn)已經(jīng)確定，T(1，2，4，5，6，10，11，12，14，15，16)和 T(7，8，13)則需要分別選出一個(gè)關(guān)鍵測點(diǎn)。需要計(jì)算的誤差靈敏度差異值D2為C19·C13=27組，分別為dT1，T7，dT1，T8，dT1，T13，…，dT15，T13。計(jì)算出z、y、x向熱誤差相對(duì)于與兩組測點(diǎn)之間的D2值分別如表2、3和4所示。

從表2，表3，表4可以看出:z、y、x向熱誤差敏感度值最大的均是dT1，T13，所以線性軸線系統(tǒng)和主軸箱的溫度測點(diǎn)分別選擇T1和T13。最終選出的最優(yōu)的溫度測點(diǎn)如表5所示。

通過對(duì)該立式加工中心的熱誤源分析和溫度測點(diǎn)優(yōu)化布置研究可知，16個(gè)溫度傳感器中有4個(gè)很關(guān)鍵，通過它們可以簡便地估計(jì)機(jī)床的熱誤差，而且精度也能滿足要求。4個(gè)關(guān)鍵傳感器測量的溫度分別為t2、t3、t7和t9。假設(shè)一個(gè)含待定參數(shù)c0、c1、c2、c3、c4的系統(tǒng)誤差模型:

T1、T3、T9、T13和δ是試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，由該數(shù)據(jù)組成的多元線性回歸方程參數(shù)的估計(jì)由最小二乘法求得。根據(jù)機(jī)床熱誤差的試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，求得機(jī)床誤差模型為:

表2 z向熱誤差相對(duì)于與兩組測點(diǎn)之間的dq，l值

表3 y向熱誤差相對(duì)于與兩組測點(diǎn)之間的dq，l值

表4 x向熱誤差相對(duì)于與兩組測點(diǎn)之間的dq，l值

表5 溫度測點(diǎn)分類

多元線性回歸曲線與實(shí)際測量值及其殘差如圖6所示。

由圖6可見多元線性回歸曲線和原始曲線擬合得很好，模型具有較高的精度。

3 結(jié)語

VMC1165B立式加工中心的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了x、y、z方向的熱誤差大小各有不同。本文通過模糊聚類分析方法和熱敏感度分析方法找出機(jī)床熱變形關(guān)鍵溫度測點(diǎn)組合，有效地將用于測量溫度場的16個(gè)溫度測點(diǎn)減少到4個(gè)溫度測點(diǎn)用于熱誤差建模，既減少了熱誤差檢測的工作量，也降低了熱誤差補(bǔ)償?shù)某杀?。利用最小二乘法進(jìn)行多元線性回歸分析對(duì)機(jī)床熱變形進(jìn)行建模，建立的回歸模型和測量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得很好，證明了本文測點(diǎn)優(yōu)化的有效性，為數(shù)控機(jī)床的熱誤差補(bǔ)償提供了依據(jù)。

［1］竇小龍，楊建國，李曄，等.溫度測點(diǎn)優(yōu)化在機(jī)床主軸熱誤差建模中的應(yīng)用［J］.機(jī)械制造，2002(12).

［2］Mayr Josef，Jedrzejewski Jerzy，Uhlmann ckart，et al.Thermal issues in machine tools［J］.CIRP Annals － Manufacturing Technology，2012，61(2):771－791.

［3］沈岳熙，楊建國.基于嶺回歸的數(shù)控機(jī)床溫度布點(diǎn)優(yōu)化及其熱誤差建模［J］.機(jī)床與液壓，2012，40(5):1 －3，17.

［4］張琨，張毅，侯廣鋒，等.基于熱模態(tài)分析的熱誤差溫度測點(diǎn)優(yōu)化選擇［J］.機(jī)床與液壓，2012，40(7):1 －3.

［5］周天鵬，任小洪，陳喜珍，等.基于灰色系統(tǒng)理論的GM2OOOA數(shù)控機(jī)床熱誤差的智能補(bǔ)償方式及應(yīng)用［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012，3:145－147.

［6］Naeem S.Mian S.Fletcher A P.et al.Myers.Efficient estimation by FEA of machine tool distortion due to environmental temperature perturbations［J］.Precision Engineering，2013，37:372 －379.

［7］Wang Yun－Cheng，Kao Ming－che，Chang Chung－Ping.Investigation on the spindle thermal displacement and its compensation of precision cutter grinders［J］.Measurement，2011，44:1183 －1187.

［8］張奕群，李書和，張國雄，等.機(jī)床熱誤差建模中溫度測點(diǎn)選擇方法研究［J］.航空精密制造技術(shù)，1996，4(32):37 －39.

［9］Jedrzejewskia J，Kwasnya W.Holistic precision error model for 5 axis HSC machining centre with rotating rolling units in direct drives［J］.Procedia CIRP，2012，4:125 －130.

［10］羅文，梁睿君，葉文華.精密加工中心熱誤差檢測與溫度測點(diǎn)優(yōu)化［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，2010(4):92 －95.

［11］謝季堅(jiān)，劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2006.