杜輝 魏崗 張原銘 徐小輝

1 引言

海洋內(nèi)孤立波是密度層化海水內(nèi)部的一種特殊波動,其在近海沿岸以及海峽周圍大振幅波動的動力學(xué)特征一直是人們關(guān)注的問題.內(nèi)孤立波在向淺海區(qū)域傳播過程中,非線性效應(yīng)和頻散效應(yīng)決定了波形變化,前者使波形變陡甚至導(dǎo)致波的破碎,后者使波形變得平坦.在地形變化復(fù)雜的淺海區(qū)域,內(nèi)孤立波受到地形的影響,會呈現(xiàn)變形、不穩(wěn)定以及破碎等特征.一方面,內(nèi)孤立波淺化對海洋沉淀物的混合具有重要影響;另一方面,淺化造成的內(nèi)波破碎會導(dǎo)致水質(zhì)點速度增大,形成對海洋工程結(jié)構(gòu)物和水下作戰(zhàn)平臺安全的威脅.南海北部海域地形復(fù)雜且密度垂向?qū)踊卣髅黠@,尤其是東北部海域大振幅內(nèi)孤立波頻發(fā)并沿著陸架陸坡地形向東沙群島方向傳播,由此對該區(qū)域海洋經(jīng)濟(jì)和海上軍事活動形成不可忽視的影響[1].

KdV型方程是描述弱非線性弱頻散內(nèi)孤立波的基本模型,eKdV方程是描述大振幅內(nèi)孤立波的有效模型之一[2],變系數(shù)eKdV方程可應(yīng)用于地形等環(huán)境因素變化時內(nèi)孤立波演化特征的研究[3],結(jié)合射線理論的KdV模型和基于RLW方程的二維內(nèi)孤立波傳播模型等已被用于實際海洋中內(nèi)孤立波傳播特性的研究[4,5].此外,KP方程和二維代數(shù)內(nèi)孤立波模型已被用于內(nèi)孤立波三維傳播特性的描述[6,7].在內(nèi)孤立波破碎與混合等的數(shù)值研究方面,Lombard和Riley[8]的研究表明內(nèi)孤立波破碎是對流不穩(wěn)定和剪切不穩(wěn)定共同作用的結(jié)果;Garrett[9]指出海洋中大部分的流動剪切是近慣性運動所致,進(jìn)而對混合有著重要的貢獻(xiàn);Legg和Adcroft[10]則研究了內(nèi)波在臨界狀態(tài)下凹凸海底地形的反射、剪切不穩(wěn)定以及由此導(dǎo)致的混合;Shrira等[11]分析了內(nèi)波的淺化效應(yīng)與剪切流之間的共振相互作用引起的破碎.

實驗?zāi)M是認(rèn)識大振幅內(nèi)波變形、破碎、混合等復(fù)雜過程的可靠手段.Kao等[12]關(guān)于內(nèi)孤立波在兩層流體中沿斜坡演化的實驗研究,證實了界面強(qiáng)剪切流動是導(dǎo)致流動不穩(wěn)定直至內(nèi)波破碎的主要原因;Helfrich和Melville[13]實驗驗證了內(nèi)孤立波破碎與其極性轉(zhuǎn)變有著重要的關(guān)聯(lián);Wallace和Wilkinson[14]實驗描述了周期性內(nèi)波沿斜坡的爬坡及其翻滾回流導(dǎo)致的破碎現(xiàn)象;Helfrich[15]實驗獲得了下凹型內(nèi)孤立波在兩層流體斜坡上傳播過程中的破碎與湍斑的發(fā)生位置,估算了第一模態(tài)波從破碎點轉(zhuǎn)到垂向混合的能量損失;Chen等[16]實驗描述了內(nèi)孤立波在陡坡上的破碎與分裂特征.此外,Fructus等[17]還建立了三層流體中Richardson數(shù)與內(nèi)孤立波演化的實驗關(guān)系,獲得了不同參數(shù)范圍對內(nèi)孤立波變形、破碎和混合的影響規(guī)律.上述試驗主要采用單點密度擾動測量,所用分層流水槽橫截面狹窄,由此限制了對大規(guī)模密度擾動場的實時準(zhǔn)確測量與分析,目前對于內(nèi)孤立波在緩坡地形上演化的三維物理圖像仍不十分清楚.

自20世紀(jì)90年代,大量衛(wèi)星遙感圖像證實了由南海東南部呂宋海峽產(chǎn)生的內(nèi)孤立波多以向西北方向傳播為主,它們傳播到陸架陸坡海域后受地形影響發(fā)生各種海洋動力學(xué)過程,如淺化效應(yīng)、變形、分裂、破碎、混合以及波能轉(zhuǎn)化與耗散等.然而,受到南海內(nèi)孤立波激發(fā)隨機(jī)性以及南海海域躍層結(jié)構(gòu)多變等因素的影響,對實際海洋動力學(xué)過程的認(rèn)識十分困難[1].

鑒于上述,本文以南中國海東北部附近的緩坡陸坡架地形為背景,在大型分層流水槽中對內(nèi)孤立波在緩坡地形上的傳播演化特征進(jìn)行了實驗研究,采用染色液標(biāo)識方法與內(nèi)波動態(tài)定量測量相結(jié)合的試驗手段,以期深入揭示內(nèi)孤立波在緩坡地形上的演化規(guī)律.

2 實驗裝置與測量技術(shù)

實驗在解放軍理工大學(xué)大型重力式分層流試驗水槽[18]中進(jìn)行,水槽主尺度為1200 cm×120 cm×100 cm(長×寬×高).圖1為實驗原理示意,在試驗水槽兩端分別安裝有旋轉(zhuǎn)百葉門內(nèi)波造波機(jī)和消波裝置[19].內(nèi)孤立波造波采用了重力塌陷式造波原理,可在任意躍層位置產(chǎn)生下凹型或上凸型內(nèi)孤立波;內(nèi)波消波采用了三角楔形裝置,可根據(jù)躍層位置與內(nèi)波振幅大小調(diào)節(jié)楔角角度,以獲得最佳消波效果;將長400 cm,寬115 cm平板(材料密度略大于鹽水)按一定的傾斜角放入水槽中以滿足不同緩坡地形的要求.采用“雙桶”原理制取分層水環(huán)境[19].圖2為實驗獲得的典型流體分層結(jié)構(gòu),其上層為淡水,下層為鹽水,由于淡水/鹽水相互參混,上下層間形成自然的連續(xù)密度分布,厚度范圍在3—5 cm,該分布近似于海洋中的密度躍層結(jié)構(gòu).圖中縱坐標(biāo)為深度,橫坐標(biāo)分別為密度和浮頻率.內(nèi)孤立波沿緩坡地形的演化特征由染色界面的擾動顯示,并由高分辨攝錄系統(tǒng)記錄,密度剖面和內(nèi)孤立波要素的測量由多通道內(nèi)波動態(tài)測量系統(tǒng)完成.

取正x軸從左至右沿水槽長度方向,正z軸從上至下沿鉛垂方向,坐標(biāo)原點O(0,0)位于斜坡頂端上方的自由水平面處.H為總深度,h1,ρ1和h2,ρ2分別為上下流體層的厚度和密度,h為斜坡頂部距躍層距離,ε為斜坡地形斜率,λ,a和c分別為內(nèi)孤立波波長、波幅和傳播速度,η0和L0分別為方勢阱擾動造波模型中的勢阱深度和勢阱寬度[20].

圖1 實驗原理示意圖

圖2 具有密度躍層分布的流體分層結(jié)構(gòu) (a)密度ρ分布;(b)浮力頻率N(z)分布

為了測量內(nèi)孤立波在緩坡地形坡面上的演化結(jié)構(gòu),在圖 1中 A(515,-10),B(415,-10),(C215,-10),D(111,-10)和 E(46,-10)(單位：cm)位置布置了電導(dǎo)率探頭陣列,其中位置A垂向排列7只探頭,間距為2 cm,用于測量未擾內(nèi)孤立波結(jié)構(gòu);位置D垂向排列6只探頭,間距為3 cm,用于測量內(nèi)孤立波變形結(jié)構(gòu);位置B,C和E各布置1只探頭,利用它們與位置A和D對應(yīng)深度的探頭可測量內(nèi)孤立波在演化過程中的傳播速度c.具體為：記錄相鄰兩探頭間距離Δx和擾動峰值之間的相關(guān)時間Δt,由式c=Δx/Δt計算.通過記錄位置A和D處垂向排列探頭的時間序列密度值,可獲得等密度面變化的空間分布,由此確定內(nèi)孤立波的波幅、波長和演化特征.

3 穩(wěn)定性分析理論

Boussinesq近似下的內(nèi)波控制方程為[21]

式中,φ(z)為特征函數(shù),k3和kh分別為垂向和水平波數(shù),N(z)和ω(z)分別為浮力頻率和圓頻率.考慮自由面“剛蓋”近似和水槽底部靜止條件,則有

由于密度躍層結(jié)構(gòu)中N(z)僅在很薄的水層內(nèi)變化(見圖2),為獲得垂向狹窄范圍內(nèi)的內(nèi)波解,采用打靶法、矩陣法等常規(guī)的數(shù)值計算求解方程(1)特征值問題不僅效率低且精度差,而Thompson-Haskell數(shù)值方案不受垂向等距分層的限制(步長任意)且精度更高[22],為此,本文采用該算法數(shù)值求解上述特征值問題.

圖3為選擇圖2(b)中的浮力頻率分布計算得到的特征函數(shù)及水平速度的垂向分布,圖3(a)表明內(nèi)波在浮力頻率最大位置處波動幅度最大;圖3(b)表明上下兩層流體的水平速度方向相反,當(dāng)遠(yuǎn)離躍層位置時,它們保持各自的速度大小不變(虛線對應(yīng)零速度值).由此可知,在躍層位置附近存在流動的剪切效應(yīng).在內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中,為了滿足內(nèi)孤立波變形過程中的質(zhì)量守恒,地形效應(yīng)將加劇下層流體的反向流速,進(jìn)而引起躍層處流動剪切作用的增強(qiáng),它是導(dǎo)致內(nèi)孤立波不穩(wěn)定、進(jìn)而破碎的重要因素.因此,內(nèi)孤立波的不穩(wěn)定在某種程度上可歸因于剪切流的Kelvin-Helmholz不穩(wěn)定性問題.

考慮兩層流體中界面剪切流的Kelvin-Helmholz穩(wěn)定性條件[21]

其中,u2和u1分別為上下層流體質(zhì)點速度,設(shè)密度和速度是在薄躍層Δz內(nèi)連續(xù)變化,將(3)式變形為

當(dāng)Δz→0時,從而得穩(wěn)定性判據(jù)

這里J定義為Richardson數(shù).從(5)式不難看出,|dρ/dz|愈大,|du/dz|愈小,則運動愈穩(wěn)定.根據(jù)Miles給出的流動穩(wěn)定性充分條件[23]

實際計算中,Richardson數(shù)可寫成

圖3 內(nèi)波的結(jié)構(gòu) (a)特征函數(shù)的垂向剖面;(b)水平速度的垂向剖面

其中 g′=(Δρ/ρ)g,Δu 是水平速率的變化.在 “緩坡”條件假設(shè)下,密度躍層厚度Δz不變,上層流體速度與下層流體速度之比等于相應(yīng)層的厚度之比,則水平速率的變化可表示為

式中umax為初始內(nèi)孤立波在上層流體中的最大速度,xs為內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播時的x軸坐標(biāo),考慮最低階模態(tài)有

式中c0為界面線性長波速度,將(8)及(9)式帶入(7)式,可獲得Richardson數(shù)的近似表達(dá)式

(10)式可作為判定沿緩坡地形內(nèi)孤立波演化過程中穩(wěn)定區(qū)域的計算式,并可作為破碎發(fā)生位置的估算式,即當(dāng)J(z)＜1/4時,計算xs值,由此給出內(nèi)孤立波破碎的水平位置.

4 實驗結(jié)果與分析

4.1 內(nèi)孤立波沿地形坡度的演化特征

取典型環(huán)境參數(shù)：H=80 cm,ρ1=0.995 g/m3,h1=10 cm,ρ2=1.0175 g/cm3,h2=70 cm,h=10 cm和ε=1/14;以及造波機(jī)的勢阱深度η0=25 cm,其對應(yīng)波幅9.8 cm.采用染色液標(biāo)識方法,圖4記錄了下凹型內(nèi)孤立波沿緩坡地形的演化.該內(nèi)孤立波進(jìn)入緩坡區(qū)域直至半坡位置,其波形基本保持對稱,受地形影響較小,如圖4(a),(b)所示;隨著孤立波傳播,地形影響開始顯現(xiàn),波形前部開始變平緩,波形背部逐漸變陡,如圖4(c),(d)所示;當(dāng)孤立波接近坡頂附近位置,波前部與斜坡地形趨于平行,波背部變得更陡,此時界面的剪切擾動出現(xiàn)并逐漸加強(qiáng),伴隨向后傳播的反射波,如圖4(e),(f)所示;在坡的頂部附近位置,波破碎發(fā)生,界面剪切擾動轉(zhuǎn)化成湍流,其強(qiáng)度在破碎發(fā)生后慢慢地減弱,并伴隨有湍斑的出現(xiàn),如圖4(g),(h)所示.

圖4 下凹型內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播的演化

利用探頭陣列可獲得下凹型內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中的演化、破碎、分裂的定量結(jié)果.圖5是同一深度探頭在A,C,D,E位置記錄的密度擾動時間序列圖.圖中5(a)與5(b)比較可知,在內(nèi)孤立波傳播過程中,波形被拉寬(波長變長),波谷的持續(xù)時間明顯增強(qiáng),背部出現(xiàn)小幅度變形;隨著內(nèi)孤立波的繼續(xù)傳播,由圖5(b)—5(d)知,波形背部變的越來越陡,直至波破碎發(fā)生,隨后該大振幅內(nèi)孤立波分裂成多個同極性的小振幅內(nèi)孤立波.結(jié)合圖4和圖5的記錄,可以說明在緩坡地形上內(nèi)孤立波破碎和分裂的物理過程,即：由于波的背部變陡,波的前部平緩繼而被拉長,從而表現(xiàn)為波谷持續(xù)時間變長的特征;波形背部變陡而波前部平緩,加強(qiáng)了界面的剪切作用,直接導(dǎo)致內(nèi)孤立波的破碎.破碎又引起上下不同密度液體的混合,分裂成多個同極性的小振幅內(nèi)孤立波.

圖5 內(nèi)孤立波沿緩坡演化的密度擾動時間序列 (a)位置A;(b)位置C;(c)位置D;(d)位置E

4.2 地形坡度對內(nèi)孤立波要素特征影響

取坡度ε=1/7,1/9和1/14的緩坡地形,圖6為內(nèi)孤立波在不同坡度地形上傳播時A處與D處波幅變化的比較,這里D處對應(yīng)三種坡度的下層流體深度分別為25.9,22.3和18.0 cm.圖中橫坐標(biāo)aA代表進(jìn)入斜坡前孤立波的初始波幅(A處),縱坐標(biāo)aD代表在斜坡上演化時的波幅(D處),虛線表示孤立波波幅不發(fā)生變化,虛線上方表明波幅增大,虛線下方表明波幅減小.由圖6可知,內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中,其波幅大小的整體趨勢是減小的;對于波幅較小的內(nèi)孤立波,緩坡地形對波幅的抑制作用減弱,隨著坡度增加,波幅會呈增加趨勢(如ε=1/7,1/9的情形).上述特征與內(nèi)孤立波在緩坡地形上傳播的淺化效應(yīng)以及由于內(nèi)波破碎、密度層化混合、底部摩擦等引起的能量耗散效應(yīng)有關(guān)[24],淺化效應(yīng)使得波幅增大,能量耗散作用使得波幅降低.在淺化過程中,大振幅內(nèi)孤立波波幅達(dá)到一定值時將產(chǎn)生某種程度的破碎或裂變?yōu)槎鄠€小振幅內(nèi)孤立波,使得波幅在斜坡上的演化呈減小趨勢;小振幅內(nèi)孤立波受緩坡地形因素影響小,淺化過程尚不足以導(dǎo)致內(nèi)孤立波的破碎,淺化效應(yīng)作用大于能量耗散作用,故波幅呈增加趨勢.上述內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中波幅減小的規(guī)律也驗證了Cai和Xie[5]的數(shù)值模擬結(jié)果.

圖6 內(nèi)孤立波傳播過程中波幅a的變化規(guī)律

圖7 地形坡度對內(nèi)孤立波傳播速度的影響 (a)ε=1/14;(b)ε=1/9;(c)ε=1/7

圖7 為內(nèi)孤立波沿不同緩坡地形傳播過程中波速的變化特征,圖中橫坐標(biāo)為距離坡頂?shù)奈恢?縱坐標(biāo)為波速的大小.由圖可知,下凹型內(nèi)孤立波在爬坡過程中,波速通常在斜坡某一位置開始明顯減小,波速整體降幅可達(dá)30%—45%,衰減率隨坡度減小而明顯增大;坡度ε不同,波速變化亦有差別,ε相對較大的地形,其波速的降低主要集中在距離坡頂較近的區(qū)域內(nèi),ε較小的地形,其波速降低出現(xiàn)在坡面中部區(qū)域,并能保持相對穩(wěn)定的波速繼續(xù)傳播.上述特征與內(nèi)孤立波爬坡過程中能量耗散引起的波幅變化有關(guān),由于底部摩擦、剪切不穩(wěn)定以及波破碎等因素引起的內(nèi)孤立波能量耗散,使得波幅減小導(dǎo)致波速降低;坡度ε愈大,內(nèi)孤立波破碎位置愈接近坡頂且破碎程度愈劇烈,其波幅愈小,此時波速變化發(fā)生在坡頂區(qū)域且降幅較大.

進(jìn)一步,圖8比較了緩坡地形上(D處)內(nèi)孤立波傳播速度uD的理論計算與實驗測量結(jié)果,其中理論值采用了嚴(yán)格的兩層流體模型[12],顯然,兩者波速隨著地形坡度增加而增大的結(jié)論是一致的.而波速的實際測量比理論計算偏小可能來自兩方面原因：一方面內(nèi)孤立波爬坡過程中能量耗散導(dǎo)致了波速減小;另一方面由理論計算采用嚴(yán)格的兩層流體假設(shè)而實際流體采用具有一定厚度的密度躍層計算所致.

圖8 內(nèi)孤立波在緩坡地形上(D處)傳播速度值的理論與實驗比較

4.3 內(nèi)孤立波不穩(wěn)定性分析

取坡度ε=1/7,1/9,1/14的緩坡地形,控制不同的造波條件,獲得不同波幅a的下凹型內(nèi)孤立波,觀察并記錄其沿緩坡地形傳播過程中的不穩(wěn)定特征及發(fā)生破碎的位置x′s.利用(10)式計算不穩(wěn)定發(fā)生位置的理論值xs.表1給出了兩者的比較結(jié)果,表中負(fù)值表示理論計算的不穩(wěn)定現(xiàn)象未發(fā)生.由表1可知,對于波幅a＜5 cm的內(nèi)孤立波,試驗中未觀測到內(nèi)孤立波不穩(wěn)定和破碎現(xiàn)象發(fā)生,而對于波幅a＞6 cm的孤立波,均觀測到內(nèi)孤立波不穩(wěn)定以及破碎現(xiàn)象,其試驗結(jié)果與理論計算值基本相符,且波幅愈大兩者符合程度愈好.進(jìn)一步,將內(nèi)孤立波發(fā)生不穩(wěn)定時的試驗Richardson數(shù)J與波幅相關(guān)聯(lián).如圖9,虛線代表J=1/4,根據(jù)Miles給出的流動穩(wěn)定性充分條件,對于J＞1/4區(qū)域,下凹內(nèi)孤立波引起的分層剪切流動是穩(wěn)定的;而對于J＜1/4區(qū)域,盡管流動不穩(wěn)定現(xiàn)象不一定發(fā)生,但本文試驗與多數(shù)學(xué)者的結(jié)論相同[21,25],即大部分J＜1/4的試驗中均觀測到不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生.

圖9 內(nèi)孤立波沿緩坡發(fā)生不穩(wěn)定時的Richardson數(shù)J與波幅關(guān)系

上述分析表明：內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中的不穩(wěn)定具有Kelvin-Helmholz剪切不穩(wěn)定特征,同時,利用Richardson數(shù)J＜1/4估算內(nèi)孤立波在緩坡上發(fā)生不穩(wěn)定的位置是合理的,該位置可作為實際內(nèi)孤立波不穩(wěn)定發(fā)生的參考點.

5 結(jié)論

在解放軍理工大學(xué)大型重力式分層流水槽系統(tǒng)中,采用染色液標(biāo)識方法和內(nèi)波動態(tài)測量技術(shù),對于南中國海東北部典型的底部特征,實驗研究了下凹型內(nèi)孤立波沿緩坡地形的演化特性,獲得的主要結(jié)論如下.

1)內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中,其波形前部變平緩直至與緩坡面平行,波形背面逐漸變陡,剪切作用不斷增強(qiáng),導(dǎo)致內(nèi)孤立波在背面發(fā)生破碎,地形坡度的變化直接影響破碎的強(qiáng)度和位置,且破碎可導(dǎo)致同極性的尾波列.

2)內(nèi)孤立波沿緩坡地形傳播過程中,其波幅趨于減小,但對小振幅內(nèi)孤立波的抑制較弱;其波速降低,降幅可達(dá)30%—45%,衰減率隨坡度減小而明顯增大.

3)內(nèi)孤立波沿緩坡傳播過程中的不穩(wěn)定具有Kelvin-Helmholz剪切不穩(wěn)定特征,Richardson數(shù)J＜1/4可作為判定內(nèi)孤立波在緩坡地形上不穩(wěn)定發(fā)生位置的參考依據(jù).

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