張巖琛 杲東彥 陳振乾

(1東南大學(xué)能源與環(huán)境學(xué)院，南京 210096)

(2南京工程學(xué)院能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 211167)

基于格子Boltzmann方法的孔隙率對(duì)泡沫金屬內(nèi)相變材料融化傳熱的影響

張巖琛1杲東彥2陳振乾1

(1東南大學(xué)能源與環(huán)境學(xué)院，南京 210096)

(2南京工程學(xué)院能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 211167)

基于局部熱非平衡條件在表征單元尺度上構(gòu)建出雙溫度分布函數(shù)的格子Boltzmann方程，用該方程來表征泡沫金屬骨架與相變材料融化傳熱的溫度場(chǎng)，用密度分布函數(shù)演化方程來表征融化液相速度場(chǎng).然后模擬了泡沫金屬內(nèi)相變材料融化界面位置隨時(shí)間的變化及金屬骨架和相變材料的溫度分布情況.模擬結(jié)果與其他文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果吻合較好.重點(diǎn)分析了泡沫金屬孔隙率對(duì)相變材料融化傳熱的影響.結(jié)果表明，孔隙率的減少有利于增強(qiáng)金屬骨架熱傳導(dǎo)換熱的作用，但也會(huì)導(dǎo)致自然對(duì)流傳熱的降低及相變材料蓄熱量的減少.因此在設(shè)計(jì)泡沫金屬蓄熱裝置時(shí)，對(duì)于孔隙率的確定需要結(jié)合工程需求進(jìn)行選擇.

格子Boltzmann方法;泡沫金屬;相變材料;固液相變

泡沫金屬是一種具有一定剛度和強(qiáng)度、孔隙率高、密度低及傳熱效率高的新型功能材料［1］.固/液相變儲(chǔ)能材料由于相變潛熱大、相變前后體積變化小被廣泛應(yīng)用于相變儲(chǔ)能、航天器件熱防護(hù)及電子器件溫度控制系統(tǒng)等.然而目前很多常規(guī)的相變材料導(dǎo)熱系數(shù)都比較小，導(dǎo)致了整體的傳熱速率及凍融速度相對(duì)較低.綜合考慮泡沫金屬和相變材料的功能特點(diǎn)，可以采用泡沫金屬作為骨架和強(qiáng)化傳熱的材料，內(nèi)部填充相變蓄熱材料，從而開發(fā)出具有較高傳熱速率的蓄熱裝置.

目前關(guān)于泡沫金屬填充相變材料的融化傳熱過程的研究相對(duì)較少.大多數(shù)研究是關(guān)于低孔隙率、低滲透率的填充床類多孔介質(zhì)內(nèi)融化、凝固相變傳熱過程，且能量方程大多數(shù)采用的是基于局部熱平衡條件假設(shè)的單溫度方程［2］.與傳統(tǒng)的多孔介質(zhì)相比，泡沫金屬具有高孔隙率、高滲透性、強(qiáng)局部熱非平衡效應(yīng)等特性.Krishnan等［3］基于雙溫度模型采用有限體積法數(shù)值模擬了泡沫金屬內(nèi)相變材料融化相變過程.彭冬華等［4］采用有限體積法數(shù)值模擬了泡沫金屬內(nèi)填充石蠟的融化傳熱過程.而實(shí)驗(yàn)研究［5］表明，孔隙率、孔密度對(duì)融化傳熱過程有著一定的影響.王杰利等［6］的實(shí)驗(yàn)研究表明泡沫金屬孔隙率對(duì)融化傳熱影響較大，而孔密度對(duì)融化傳熱的影響相對(duì)比較小.受實(shí)驗(yàn)研究［5－6］啟發(fā)，本文在數(shù)值研究［2－3］基礎(chǔ)上，嘗試構(gòu)建包含孔隙率等幾何結(jié)構(gòu)因素的泡沫金屬內(nèi)相變材料融化傳熱過程的數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)值模擬手段來分析孔隙率等幾何結(jié)構(gòu)因素對(duì)融化傳熱過程的影響.

格子Boltzmann方法(簡(jiǎn)稱LBM)是近20多年來發(fā)展起來的一種不同于傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算方法的流體計(jì)算和建模新方法.該方法在許多傳統(tǒng)計(jì)算方法難以勝任的領(lǐng)域，如多孔介質(zhì)、多相流等，都取得了成功的應(yīng)用.近年來已經(jīng)將格子Boltzmann方法用于研究固液相變傳熱問題，然而大多數(shù)研究均針對(duì)無多孔介質(zhì)的固液相變問題［7－9］;另一方面，Guo等［10］在表征單元(REV)尺度上構(gòu)建了描述多孔介質(zhì)內(nèi)自然對(duì)流的雙分布函數(shù)的格子Boltzmann模型，表明格子Boltzmann方法模擬多孔介質(zhì)流動(dòng)及傳熱的可行性.Seta等［11］進(jìn)一步驗(yàn)證了格子Boltzmann方法模擬多孔介質(zhì)內(nèi)自然對(duì)流的正確性.然而這些模型［10－11］中都沒有涉及具有相變的自然對(duì)流過程，且能量方程采用的是單溫度方程.因此已有的格子Boltzmann模型并不能直接應(yīng)用在泡沫金屬系統(tǒng)內(nèi)融化傳熱過程中.

本文將基于局部熱非平衡條件構(gòu)建出表征泡沫金屬內(nèi)融化相變的格子Boltzmann模型并進(jìn)行數(shù)值模擬，重點(diǎn)分析孔隙率對(duì)融化傳熱過程的影響.

1 控制方程

控制方程假設(shè)條件:① 在多孔介質(zhì)骨架與孔隙內(nèi)相變物質(zhì)之間處于局部熱非平衡;② 在表征單元尺度上有自然對(duì)流.

1)連續(xù)性方程

2)動(dòng)量方程

3)泡沫金屬骨架的溫度方程

4)相變材料的溫度方程

方程(1)～(4)中，下標(biāo)f，s分別表示相變材料及泡沫金屬骨架;ε 為孔隙率;u，p，F(xiàn)，T，ρ，νe，ke，cp，La，γf分別為宏觀滲流速度、壓力、體積力項(xiàng)、溫度、密度、有效黏性系數(shù)、有效導(dǎo)熱系數(shù)、定壓比熱、融化潛熱和融化液相比;hsf，asf分別為內(nèi)部熱交換系數(shù)和內(nèi)部熱交換面積.其中體積力項(xiàng)為

式中，K和Fε分別為多孔介質(zhì)滲透率和形狀因子;νf和β分別為流體動(dòng)力黏性系數(shù)及熱膨脹系數(shù);Tref為參考溫度.方程(5)中右邊第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別為線性(Darcy)和非線性(Forchheimer)介質(zhì)阻力，右邊第3項(xiàng)為浮升力.此外方程(2)中右邊第2項(xiàng)是體現(xiàn)邊界作用的Brinkman黏性項(xiàng)，因此式(2)又稱Brinkmann-Forchheimer-Darcy方程.

為了求解方程組(1)～(4)，必須給出相關(guān)參數(shù)或方程，其中固體骨架與相變材料有效導(dǎo)熱系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?2］

式中，參數(shù)a=0.09;參數(shù)b可根據(jù)孔隙率ε和參數(shù)a的表達(dá)式求出，即

泡沫金屬內(nèi)部有效熱交換面積asf為［13］

式中，df和dp分別為孔纖維直徑、平均孔徑，兩者與孔隙率ε相關(guān)關(guān)系為［14］為

內(nèi)部熱交換系數(shù)hsf［14］為

式中，局部Rayleigh數(shù).此外滲透率K和形狀因子Fε參數(shù)為［12］

2 格子Boltzmann模型

在模擬泡沫金屬內(nèi)相變材料融化傳熱過程中，速度場(chǎng)密度分布函數(shù)fi的LBM方程為

式中，r為空間矢量位置;t為時(shí)間;i表示格子離散速度的方向;ei為格子離散速度;Δt為時(shí)間步長;τf為無量綱松弛時(shí)間;fieq為平衡態(tài)密度分布函數(shù);Fi為離散作用力項(xiàng).方程(14)相關(guān)參數(shù)設(shè)置及表達(dá)式的詳細(xì)信息可見文獻(xiàn)［10］.由于融化傳熱方程式(3)、(4)中含有源項(xiàng)，不能直接采用Guo

等［10］基于局部熱平衡條件下針對(duì)多孔介質(zhì)內(nèi)自然對(duì)流傳熱提出的溫度分布函數(shù)演化方程，因此，需要構(gòu)建表征融化溫度場(chǎng)的分布函數(shù)演化方程.Shi

等［15］提出了非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的LBM模型，該模型通過選擇適當(dāng)?shù)钠胶鈶B(tài)分布函數(shù)及非線性源項(xiàng)，使模型能夠準(zhǔn)確地回歸到相應(yīng)的宏觀方程.因此本文采用非線性對(duì)流擴(kuò)散方程格子Boltzmann

模型構(gòu)建泡沫金屬骨架及相變材料溫度分布函數(shù)格子Boltzmann方程:

式中，τT為溫度分布函數(shù)無量綱松弛時(shí)間參數(shù);geqi為平衡態(tài)分布函數(shù);Si為演化方程離散源項(xiàng).平衡態(tài)分布函數(shù)geqi及源項(xiàng)Si表達(dá)式為

式中，wi為格子方向相關(guān)的權(quán)系數(shù);格子速度c=Δx/Δt，Δx為格子步長.無量綱松弛時(shí)間參數(shù) τT，s，τT，f定義為

溫度定義為T=∑gi.通過Chapman-Enskog多尺度展開，式(16)、(17)可回歸到相應(yīng)的宏觀方程(3)和(4).

采用格子Boltzmann方法進(jìn)行模擬時(shí)，不同的邊界條件會(huì)直接影響到模擬的精度和穩(wěn)定性.本文在速度邊界條件處理上，采用Guo等［16］提出的具有二階精度的非平衡外推格式，熱邊界條件處理采用Tang等［17］提出的非平衡外推格式.

3 計(jì)算結(jié)果及討論

3.1 模型驗(yàn)證

由于目前尚沒有可用來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膶?shí)驗(yàn)研究資料，所以利用模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［3］中控制體積法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證模型的正確性.文獻(xiàn)［3］的計(jì)算對(duì)象為一個(gè)二維矩形區(qū)域，高為H，寬為L=H，區(qū)域內(nèi)是孔隙率為ε=0.8的泡沫金屬，泡沫金屬孔隙內(nèi)填充固體相變材料.計(jì)算區(qū)域左壁為恒熱溫壁面，其無量綱溫度設(shè)置為Th=1.0，右壁為恒冷溫壁面，其溫度為Tc=0.0，上、下壁面為絕熱壁面，區(qū)域初始溫度Ti=0.0，相變材料的融化溫度為Tm=0.3.其他重要的無量綱參數(shù)設(shè)為:dp/H=0.013 5，Ra=gβ(Th－Tc)H3/(νfαf)=1.0×108，Da=K/H2=1.0 × 10－4，St=cp，f(Th－Tc)/La=1.0，Pr= νf/αf=50.0，局部Nui，d=hsfasfdp2/kf=5.90，熱傳導(dǎo)系數(shù)比 λ =ks/kf=1 000，Ω = ρscp，s/(ρfcp，f)=1.0，F(xiàn)ε=0.068，黏性比J= νe/νf=1.0.圖1給出了LBM模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［3］數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，圖中無量綱時(shí)間 θ=(Fo)(St)=tαf/(H2St).由圖可見，LBM模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［3］數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合較好，因此在一定程度上驗(yàn)證了LBM模型的正確性.圖1(a)是孔隙率為0.8的泡沫金屬材料中相變材料融化界面隨時(shí)間的變化.由圖可見，在自然對(duì)流的作用下，融化截面不斷增大而越來越彎曲.圖1(b)是孔隙率為0.8的泡沫金屬骨架與相變材料溫度的變化.金屬骨架由于導(dǎo)熱系數(shù)較高，在左側(cè)加熱作用下溫度上升較快，而蓄熱材料溫度上升會(huì)慢一些.此外，蓄熱材料在相變溫度為0.3時(shí)發(fā)生相變，在局部地區(qū)溫度維持相變溫度不變，而金屬則繼續(xù)升溫，所以當(dāng)相變材料溫度在0.3時(shí)，與骨架的溫度相差最大.這一區(qū)域表現(xiàn)出局部熱非平衡效應(yīng)的特征，相變材料融化區(qū)差異最明顯，而最終差異隨時(shí)間的增大而變小.

圖1 LBM模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［3］數(shù)值結(jié)果對(duì)比

3.2 泡沫金屬孔隙率對(duì)相變材料融化傳熱的影響

用LBM模擬了在不同孔隙率情況下相變材料的融化傳熱過程.物理模型同圖1相同，主要相關(guān)參數(shù)為:L/H=1.0，dp/H=0.1，Th=1.0，Tc=0，Ti=0，Tm=0.3，Ra=1.0 ×108，Pr=50，St=1.0，J=1，λ =1 000，Ω =1.0.采用融化液相比V*和熱壁面平均Nu來定量比較泡沫孔隙率對(duì)融化傳熱的影響，其定義分別如下:

式中，Vfl，Vf，Vtotal分別為相變材料融化液相體積、相變材料總體積和區(qū)域總體積.圖2為泡沫孔隙率對(duì)融化傳熱的影響.從圖中可以看出，在目前孔隙率范圍內(nèi)隨著孔隙率的降低融化率在增加，這說明孔隙率降低雖然會(huì)導(dǎo)致一定程度上削弱自然對(duì)流作用，但較大提高了金屬骨架的熱傳導(dǎo)作用，且后者處于主導(dǎo)作用;但當(dāng)孔隙率進(jìn)一步降低時(shí)，融化率的增大幅度越來越小，這說明孔隙率小到一定程度后，可能會(huì)導(dǎo)致自然對(duì)流效應(yīng)大幅度的降低而影響整體傳熱.由圖2(b)可見，隨著孔隙率的降低平均Nu隨著增加，這主要是孔隙率越小，其金屬骨架傳熱越大，初始Nu就大，但孔隙率越小其下降的幅度越大，因此孔隙率小的系統(tǒng)其自然對(duì)流傳熱就弱.LBM模擬的結(jié)果與文獻(xiàn)［5－6］的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)論一致.

圖2 泡沫金屬孔隙率對(duì)融化傳熱的影響

此外，孔隙率的減少意味著裝置中泡沫金屬材料比例增大，相變材料的比例相應(yīng)減小，從而導(dǎo)致整體蓄熱量的減少.因此在設(shè)計(jì)蓄熱裝置時(shí)，需要考慮對(duì)蓄能量和相變傳熱速度的實(shí)際需求和約束條件，并對(duì)泡沫金屬材料孔隙率進(jìn)行優(yōu)化選擇.

4 結(jié)論

1)格子Boltzmann方法模擬的結(jié)果與文獻(xiàn)［3］數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致，方法的可行性和模型的適用性得到了一定驗(yàn)證.

2)孔隙率的減小有利于增強(qiáng)金屬骨架熱傳導(dǎo)換熱的作用，但也會(huì)導(dǎo)致自然對(duì)流傳熱的降低.在一定孔隙率范圍內(nèi)，骨架的熱傳導(dǎo)換熱起主導(dǎo)作用，對(duì)流換熱起次要作用，孔隙率的減少將導(dǎo)致融化率的增大，但增加幅度會(huì)減小.此外，孔隙率的減少也會(huì)導(dǎo)致儲(chǔ)能容量減小.因此，孔隙率的選擇需要綜合考慮和優(yōu)化選擇.

3)對(duì)于表征單元尺度上的流動(dòng)及傳熱模型，其精度受到參數(shù)模型的限制，因此能夠計(jì)算預(yù)測(cè)幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)的孔隙尺度微觀模型仍需進(jìn)一步研究.

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Influence of porosity on melting of phase change materials in metal foams with lattice Boltzmann method

Zhang Yanchen1Gao Dongyan2Chen Zhenqian1

(1School of Energy and Environment，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2School of Energy and Power Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China)

Under local thermal non-equilibrium conditions，a lattice Boltzmann model based on double temperature equations was constructed to characterize the temperature field of metal foams framework and heat conduction of phase change materials in metal foams，and a equation based on density distribution function was constructed to characterize the velocity field of melt fluid.The melting front locations as a function of time and the temperature field were simulated by the lattice Boltzmann model.The results agree well with the results obtained in other literature.Then，the effects of porosity on the melting processes of phase change materials were investigated.The results show that the decrease of the porosity results in the increasing conduction heat transfer，the decreasing convection heat transfer and the decreasing heat storage capacity.Therefore，it is suggested to consider engineering requirements to determine porosity in the design of the foam metal heat storage device.

lattice Boltzmann method;metal foams;phase change materials;solid-liquid phase change

TK124

A

1001－0505(2013)01-0094-05

10.3969/j.issn.1001－0505.2013.01.018

2012-09-27.

張巖琛(1986—)，男，碩士生;陳振乾(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，zqchen@seu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50776015，51206076)、“十二五”國家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012BBA07B02)、科技部國際科技合作技術(shù)交流專項(xiàng)資助項(xiàng)目(2011DFA60290).

張巖琛，杲東彥，陳振乾.格子Boltzmann方法研究孔隙率對(duì)泡沫金屬內(nèi)相變材料融化傳熱的影響［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，43(1):94－98.［doi:10.3969/j.issn.1001－0505.2013.01.018］