趙 仁,馬孟森，李懷繁

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,理論物理研究所，山西 大同 037009）

五維旋轉(zhuǎn)帶電黑洞的Hawking輻射

趙 仁,馬孟森，李懷繁

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,理論物理研究所，山西 大同 037009）

利用Damour-Ruffini方法，對(duì)五維旋轉(zhuǎn)帶電時(shí)空背景下黑洞的Hawking輻射譜與輻射溫度進(jìn)行了研究。在計(jì)算過(guò)程中，取時(shí)空中總能量守恒、總角動(dòng)量守恒和總電荷守恒，并考慮黑洞輻射粒子對(duì)時(shí)空的反作用。發(fā)現(xiàn)黑洞輻射譜不再是嚴(yán)格的純熱譜，輻射譜與黑洞的Bekenstein-Hawking熵差有關(guān)。計(jì)算結(jié)果表明,不僅黑洞輻射譜滿(mǎn)足量子理論的幺正性，而且能給出黑洞輻射的整個(gè)過(guò)程。

Damour-Ruffini方法；Hawking輻射；能量守恒；角動(dòng)量守恒

上世紀(jì)70年代以前，基于經(jīng)典物理學(xué)的一些原理，人們認(rèn)為黑洞會(huì)吞噬一切入射的物質(zhì)，甚至光都不能逃出黑洞，這使得黑洞的質(zhì)量越來(lái)越大。自從Hawking[1]給出了一個(gè)驚人的證明：“黑洞可以向外輻射粒子，即存在黑洞的Hawking輻射。”這一發(fā)現(xiàn)不僅解決了黑洞熱力學(xué)中存在的矛盾，而且揭示了引力理論、量子力學(xué)與熱力學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，極大地推動(dòng)了黑洞熱力學(xué)的研究，從而構(gòu)建了基本完整的黑洞熱力學(xué)理論體系[2，3]。Gibbons和Hawking分別獨(dú)立證明了黑洞輻射的能量譜是嚴(yán)格純熱譜[4]。Hawking輻射的給出，使人們認(rèn)識(shí)到黑洞不再是恒星演化的最終狀態(tài)，黑洞將繼續(xù)演化并最終消失。根據(jù)黑洞熱力學(xué)定律：Hawking輻射溫度正比于黑洞的表面引力。因此黑洞的Hawking輻射溫度是很低的。一個(gè)太陽(yáng)質(zhì)量的黑洞，其溫度約為10－7K，這樣低的溫度以目前的實(shí)驗(yàn)條件是很難觀測(cè)到的。當(dāng)然，如果宇宙中存在原初小黑洞，那么還有望觀測(cè)到真正的Hawking輻射。因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)黑洞溫度反比于黑洞質(zhì)量，原初黑洞質(zhì)量比較小，所以有很高的輻射溫度。這也意味著這種原初黑洞會(huì)在短時(shí)間內(nèi)整個(gè)輻射掉，所以觀測(cè)起來(lái)也是很困難的。由于Hawking的證明中未考慮輻射粒子對(duì)時(shí)空背景的反作用，從而得到的是嚴(yán)格的黑體譜，也就是說(shuō)僅僅能得到輻射溫度這一個(gè)參數(shù)，不會(huì)給出黑洞內(nèi)部的相關(guān)信息，意味著黑洞蒸發(fā)完畢，黑洞的所有信息包括幺正性將完全丟失。我們知道信息的丟失意味著純量子態(tài)將衰變成混合態(tài)，這是違背幺正性原理的。

2000年，Parikh和Wilczek已經(jīng)給出了一種半經(jīng)典的計(jì)算黑洞Hawking輻射修正譜方法[5]。其核心是將黑洞Hawking輻射理解成一種量子隧穿效應(yīng)，勢(shì)壘強(qiáng)弱取決于輻射粒子自身能量的大小。這種方法的難點(diǎn)在于要尋找一個(gè)在視界處表現(xiàn)良好的坐標(biāo)系。Parikh和Wilczek先后計(jì)算了標(biāo)量粒子穿過(guò)Schwarzschild黑洞和Reissner-Nordstrom黑洞的輻射修正譜，所得輻射譜不再是嚴(yán)格的純熱譜，滿(mǎn)足幺正性原理且支持信息守恒的結(jié)論。人們將這種方法推廣到計(jì)算各種時(shí)空背景下，各類(lèi)粒子的黑洞Hawking輻射譜[6-37]，均滿(mǎn)足幺正性原理且支持信息守恒的觀點(diǎn)。

在利用隧穿效應(yīng)來(lái)研究黑洞輻射時(shí)，有幾個(gè)難以理解的問(wèn)題：第一，Parikh和Wilczek的核心思想是考慮輻射粒子自身引力的作用，將黑洞Hawking輻射看成量子隧穿，黑洞輻射譜對(duì)純熱譜的偏離是由于勢(shì)壘存在而引起的，而勢(shì)壘的強(qiáng)弱則取決于輻射粒子自身能量；第二，用隧穿效應(yīng)方法時(shí)沒(méi)有考慮輻射粒子對(duì)時(shí)空的反作用；第三，將隧穿效應(yīng)推廣到研究旋轉(zhuǎn)黑洞的輻射譜時(shí)[20，24，25]，給出的黑洞角動(dòng)量變化是由于黑洞本身能量變化所引起的，而沒(méi)有考慮輻射粒子自身轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)黑洞角動(dòng)量的影響；第四,遂穿效應(yīng)方法計(jì)算Hawking輻射時(shí)，可能存在能量不守恒的問(wèn)題。

本文將從Damour-Ruffini[38，39]方法開(kāi)始，在時(shí)空總能量守恒，總角動(dòng)量守恒和總電荷守恒的情形下，計(jì)算五維旋轉(zhuǎn)帶電黑洞的熱輻射，得到黑洞的Hawking輻射溫度，角速度和電勢(shì)。將輻射粒子對(duì)時(shí)空的反作用考慮后，勢(shì)壘會(huì)對(duì)輻射粒子產(chǎn)生散射，此時(shí)得到的輻射譜偏離黑體譜。在計(jì)算中我們?nèi)r(shí)空的總角動(dòng)量守恒，這樣引起黑洞角動(dòng)量變化的原因不僅是由于能量的改變，而且輻射粒子轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)黑洞角動(dòng)量變化也有影響。由于旋轉(zhuǎn)黑洞視界面積是量子化的[40，41]，在計(jì)算中我們也得到黑洞角動(dòng)量量子化這一結(jié)論。

1 五維旋轉(zhuǎn)帶電黑洞

五維Kerr-（anti）-de Sitter度規(guī)[42]的形式為其中

可以看到此度規(guī)是由質(zhì)量參數(shù)m，電荷q以及兩個(gè)獨(dú)立的旋轉(zhuǎn)參數(shù)a和b決定。

Killing矢量為

其在外Killing視界r=r+為零，也就是Δr（r+）=0的最大正根，視界的角速度為

即可得到表面引力2′

和霍金溫度

這樣，可得到熵為

黑洞能量和角動(dòng)量分別為[42]

黑洞視界表面上的靜電勢(shì)

黑洞所帶電荷

黑洞的態(tài)參量滿(mǎn)足熱力學(xué)第一定律

d E=T d S+Ωad Ja+Ωbd Jb+V d Q（12）

由度規(guī)（1），可以得到

通過(guò)復(fù)雜的推導(dǎo)我們可以得到度規(guī)分量的逆為：

2 彎曲時(shí)空Klein-Gordon方程

彎曲時(shí)空背景下帶電粒子滿(mǎn)足的Klein-Gordon方程為

其中,μ0為標(biāo)量粒子的質(zhì)量，e為粒子的電荷。

考慮到對(duì)稱(chēng)性，對(duì)方程（15）分離變量，令

Φ=exp[-i（ωt-maφ-mbψ）]χ（θ）]R（r）（16）將（13），（14）和（16）式代入（15）式，得

式中

其中，λ為分離變量常數(shù)，ω為輻射粒子能量，ma和mb分別為粒子角動(dòng)量在轉(zhuǎn)軸上的投影。

3 Tortoise坐標(biāo)變換

引入tortoise坐標(biāo)變換，其微分形式為

將（20）代入（17）式，得由（21）式知，在黑洞視界外存在勢(shì)壘，此勢(shì)壘應(yīng)該對(duì)輻射粒子產(chǎn)生散射。

在黑洞視界附近，Δr（r+）→0，（21）式化為

式中，ω0=Ωama+Ωbmb+Ve，角速度Ωa和Ωb，靜電勢(shì)V分別與（5）和（10）所給出黑洞的角速度和靜電勢(shì)相同。

方程（22）的解為）

計(jì)入時(shí)間因子，則自黑洞視界r+向外的出射波解）

和出射波解

其中，ν=t+r?為Eddington-Finkelstein坐標(biāo)。由

可知在黑洞視界面r+附近有

式中,κ與（6）式相同,為黑洞視界表面引力。由（27）式可得

于是出射波解可改寫(xiě)為

從（29）式可知，出射波解在黑洞視界面r+奇異，（29）式僅能描述黑洞視界r+外的出射粒子，不能用來(lái)描述視界內(nèi)粒子的出射。

4 解析延拓求解

對(duì)于黑洞Hawking輻射，關(guān)注的是其出射波，由（29）式知，出射波解在r=r+處奇異，因此需要將Ψout進(jìn)行解析延拓，以奇點(diǎn)r=r+為圓心，以r-r+為半徑，沿下半復(fù)r平面作解析延拓，轉(zhuǎn)動(dòng)-π[38，43，44]，也就是

于是得到視界面r+內(nèi)的出射波解

（31）式和（26）式分別給出了黑洞內(nèi)外的出射波解?？傻媚芰繛棣?，角動(dòng)量分別為ma和mb，電荷為e的輻射粒子在黑洞視界表面的出射率為

不考慮輻射粒子對(duì)時(shí)空的反作用，按照文獻(xiàn)[34]觀點(diǎn)，可得到黑洞輻射到無(wú)窮遠(yuǎn)能量為ω，磁量子數(shù)為ma和mb，電荷為e的平均粒子數(shù)為）

將N=κ/2π看作輻射溫度，（33）式正是玻色子的熱輻射譜。由此我們給出了五維帶電旋轉(zhuǎn)黑洞的Hawking輻射溫度。

從上述計(jì)算可知，五維帶電旋轉(zhuǎn)黑洞的能量為E，角動(dòng)量分別為Ja和Jb，電荷為Q。在取輻射粒子能量為ω，角動(dòng)量分別為ma和mb，電荷為e時(shí)，背景時(shí)空的總能量為E+ω，總角動(dòng)量分別為Ja+ ma和Jb+mb，總電荷為Q+e。輻射粒子的能量，角動(dòng)量和電荷都是黑洞輻射過(guò)程中從黑洞中帶出的，由此，在輻射前黑洞的能量為E+ω，角動(dòng)量分別為Ja+ma和Jb+mb，電荷為Q+e。（32）式所給出的輻射粒子在視界面上出射率的表達(dá)式，是由黑洞的態(tài)參量——輻射溫度，角速度和電勢(shì)以及輻射粒子的態(tài)參量——能量，角動(dòng)量和電荷所表達(dá)的，而輻射粒子的態(tài)參量則與黑洞無(wú)關(guān)，因此（32）式中未能體現(xiàn)出輻射粒子對(duì)黑洞的反作用。用黑洞的態(tài)參量將（32）式中的參量替換為輻射粒子的能量ω，角動(dòng)量ma和mb以及電荷e，這樣就可以描述輻射粒子對(duì)時(shí)空的反作用。在利用黑洞態(tài)參量進(jìn)行描述時(shí)，必須滿(mǎn)足時(shí)空的總能量、總角動(dòng)量和總電荷守恒。即

式中△E，△Ja，△Jb和△Q分別為黑洞Hawking輻射前后黑洞能量，角動(dòng)量和電荷的改變量。將（34）和（12）式代入（32）式，可得出射波在黑洞視界面上的出射率為

Γ=e△S（35）式中△S為黑洞Hawking輻射前后的Bekenstein-Hawking熵差。

我們的結(jié)論與前人的結(jié)果是一致的[5-37]，且符合量子力學(xué)的幺正性原理。在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：黑洞角動(dòng)量的變化δJa=ma，δJb=mb，其中ma和mb只能取零或整數(shù)，也就是說(shuō)黑洞角動(dòng)量是量子化的。

5 討論

黑洞Hawking輻射的研究一直是黑洞物理學(xué)的前沿課題之一，其相關(guān)問(wèn)題的完全解決需要彎曲時(shí)空背景的量子理論，甚至量子引力理論，而這一理論目前仍不成熟。人們采用半經(jīng)典的方法研究黑洞Hawking輻射均得到比較滿(mǎn)意的結(jié)論，但在具體計(jì)算過(guò)程中仍存在著困難。諸如用隧穿效應(yīng)的方法研究黑洞熱輻射時(shí)，對(duì)穩(wěn)態(tài)時(shí)空可以得到滿(mǎn)意的結(jié)果，但對(duì)動(dòng)態(tài)時(shí)空則不適用。而用Damour-Ruffini方法研究黑洞熱輻射，既能求得黑洞的輻射溫度、角速度和電勢(shì)，又能得到黑洞輻射譜。由此可見(jiàn)，用Damour-Ruffini方法可以研究各類(lèi)時(shí)空（包括穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)時(shí)空）背景下各種粒子的熱輻射。因此，此方法很容易推廣到研究復(fù)雜時(shí)空背景下各種粒子的黑洞Hawking輻射，甚至用來(lái)研究動(dòng)態(tài)黑洞。在Hawking輻射的觀測(cè)上，目前可以間接地通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)M，如聲學(xué)黑洞、介質(zhì)黑洞等[45]，由于存在類(lèi)似的“視界”，這類(lèi)模擬黑洞同樣有“Hawking輻射”效應(yīng)，也就有溫度。這些溫度盡管也不高，但是要比真正的引力黑洞的Hawking輻射溫度高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)也是可行的。

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〔責(zé)任編輯 李 海〕

Hawking Radiation of 5-dimensional Rotating Charged Black Holes

ZHAO Ren,MA Meng-sen,LIHuai-fan
（School of Physics and Electronic Science,Institute of Theoretical Physics,ShanxiDatong university,Datong Shanxi,037009）

We extend the classical Damour-Ruffinimethod and under the condition that the total energy and angularmomentum and electric charge of spacetime are conservative,taking the radiation particle reaction to the spacetime into consideration,we discuss Hawking radiation temperature and spectrum of five-dimensional charged black hole.We obtain that the black hole radiation spectrum is not pure thermal spectrum,which is related with the difference of the Bekenstein-Hawking entropy.We not only derive the radiation spectrum that satisfies the unitary principle in general case butalso display the whole radiation process of the black hole.

Damour-Ruffinimethod；Hawking radiation；energy conservation；anularmomentum conservation；

O421.1

A

2013-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金[11075098，11175109]；國(guó)家自然科學(xué)青年基金[11205097]；山西省青年科技研究基金[2012021003-4]；山西大同大學(xué)博士科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)[2008-B-06]

趙仁（1956-），男，山西朔州人，博士，教授，研究方向：引力理論。

1674－0874（2013）05－0034－03