孔麗麗

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

可逆三分子反應(yīng)模型的系統(tǒng)分析

孔麗麗

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

生化反應(yīng)；極限環(huán)；存在性

1 建立模型

由文獻(xiàn)[1]我們知道：在生物化學(xué)反應(yīng)中,反應(yīng)物的反應(yīng)速度能近似地看作與其濃度成正比,但是反應(yīng)物并不隨著其濃度的增多而無(wú)限增大。即當(dāng)其濃度超過(guò)一定的量后,反應(yīng)速度并不加快了，也就是說(shuō)它有一個(gè)飽和反應(yīng)速度。文獻(xiàn)[2]討論了一類可逆三分子反應(yīng)模型，得到該模型奇點(diǎn)的性態(tài)以及極限環(huán)的存在性。在文獻(xiàn)[2-4]基礎(chǔ)上討論一類具有一級(jí)飽和反應(yīng)速度的可逆三分子反應(yīng)模型

其中A＞0，B＞0,c＞0,d＞0?；谙到y(tǒng)（1）的實(shí)際意義,限制在區(qū)域Ω={（x,y）｜x≥0,y≥0}內(nèi)進(jìn)行分析。

2 奇點(diǎn)的類型

易知，當(dāng)d＞A時(shí),系統(tǒng)（1）在Ω內(nèi)有唯一的奇點(diǎn)R（x0,y0）,其中

以下均討論d＞A的情形，我們有：

證明由系統(tǒng)（1）在R處的變分矩陣即可證明得到該結(jié)論。

3 正解的有界性

定理1系統(tǒng)（1）的一切正初始值的解得正半軌線有界。也就是說(shuō)存在閉折線Γ使得對(duì)任意Μ（x1, y2）∈intΓ,當(dāng)t增加時(shí),系統(tǒng)（1）的從M出發(fā)的軌線跑不出Γ所圍的區(qū)域。

4 極限環(huán)的存在性

證明利用Bendixson環(huán)域定理來(lái)構(gòu)造廣義的Bendixson環(huán)域。其外境界線為定理1中證明得到的閉折線Γ=CDE?FGC,而正平衡點(diǎn)R在定理2的條件下為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn),于是在區(qū)域Ω的內(nèi)部正平衡點(diǎn)R的外部系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。定理得證。

圖1 Bendison環(huán)域

[1]陳蘭蓀,陳健.非線性生物動(dòng)力系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社,1993.

[2]賈建文.可逆三分子反應(yīng)模型的系統(tǒng)分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,14（4）：415-418.

[3]孔麗麗,賈建文.一類多分子生化反應(yīng)系統(tǒng)的定性分析[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,26（1）：21-24.

[4]陳慧琴.一類含強(qiáng)迫項(xiàng)的二階微分方程解的振動(dòng)性[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,27（4）：5-6.

〔責(zé)任編輯 高 ?！?/p>

Systematic Anlysis of a Model for Reversible Trimolecular Reaction

KONGLi-li

（School of Mathematicsand Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

In this paper,a model in biochemical reaction is discussed,by means of the ordinary differential equation qualitative method,we obtain such conclusions as boundedness of solutions which initial value is in the first quadrant and the existence of limit cycle.

biochemical reaction；limit cycle；existence

O175

A

2013-06-04

孔麗麗（1984-）,女,山西呂梁人,碩士,助理實(shí)驗(yàn)師,研究方向：生物數(shù)學(xué)。

1674-0874（2013）05-0025-03

收稿日期：2013-08-19

山西省高等學(xué)?？萍佳芯块_發(fā)項(xiàng)目[20121015]；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目[11271235]

作者簡(jiǎn)介：孟獻(xiàn)青（1979-）,女,山西懷仁人,碩士,講師,研究方向：圖論與高等數(shù)學(xué)。