仝耀華，李錄蘋

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

一類具有時(shí)滯的病毒自發(fā)變異的傳染病模型

仝耀華，李錄蘋

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

考慮一類具有時(shí)滯的病毒自發(fā)變異的傳染病模型，就無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

時(shí)滯；傳染病模型；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性

在現(xiàn)實(shí)生活中有些常見的傳染病往往隨著病情的發(fā)展，病毒自身會(huì)發(fā)生變異，從而導(dǎo)致不同階段的病毒具有不同的傳染力。根據(jù)文獻(xiàn)[1-2]給出了的傳染病模型：

假設(shè)所有輸入者都是t時(shí)刻易感者，數(shù)量為S=S（t）。把所有感染者分為兩類：一類為t時(shí)刻變異前病毒感染患者，數(shù)量為I1=I1（t），簡稱為變異前患者，治愈后又成為易感者，同時(shí)有部分變異前患者未能治愈而發(fā)展成變異后患者；一類為t時(shí)刻變異后病毒感染患者，數(shù)量為I2=I2（t），簡稱為變異后患者，治愈后也又成為易感者。這兩類患者均具有傳染力，同時(shí)假設(shè)疾病不足以導(dǎo)致死亡。

其中A表示總?cè)巳旱妮斎肼剩瘫硎咀匀凰劳雎?；?和β2分別表示變異前患者和變異后患者的傳染率系數(shù)；γ1和γ2分別表示變異前患者和變異后患者的恢復(fù)率系數(shù)；ε表示變異前患者發(fā)展為變異后患者的速率系數(shù)。所有參數(shù)均為正。

基于對上述模型的的研究，結(jié)果表明：當(dāng)變異前患者和變異后患者的基本再生數(shù)均不超過1時(shí)，疾病會(huì)最終滅絕；當(dāng)變異前患者的基本再生數(shù)小于變異后患者的基本再生數(shù)，且至少有一個(gè)大于1時(shí)，最終只會(huì)在變異后患者存在；當(dāng)變異前患者的基本再生數(shù)大于變異后患者的基本再生數(shù)，同時(shí)還大于1時(shí)，變異前患者和變異后患者會(huì)以某一確定的量共存于人群之中。

而有些時(shí)候，病毒由變異前到變異后會(huì)有一個(gè)時(shí)間差τ，所以在上述所有假設(shè)不變的情況下建立如下模型：

令N（t）=S（t）+I1（t）+I2（t），

則有

將S（t）=N（t）-I1（t）-I2（t）代入傳染病模型（1）中的第二個(gè)和第三個(gè)方程，

可得

對于平衡點(diǎn)的分析

首先討論非負(fù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

若條件

[λ-（β1K-α1-εe-λτ][λ-（β2K-α2]=0,

則有

（Ⅰ）當(dāng)β2K-α2＜0且β1K-α1-ε＜0時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0（0，0）是局部漸近穩(wěn)定的。

（Ⅱ）當(dāng)β2K-α2＞0或β1K-α1-ε＞0時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0（0，0）是鞍點(diǎn)。

另外，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，還可以得到無病平衡點(diǎn)E0（0，0）的全局漸近穩(wěn)定性。

定理1若β2K-α2＜0且β1K-α1＜0成立時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0（0，0）是全局漸近穩(wěn)定的。證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V=I1+I2,

沿著極限系統(tǒng)（4）對求導(dǎo)數(shù)得I1（t）β1K-I21（t）-I1（t）I2（t）-α1I1（t）+ I2（t）β2K-I1（t）I2（t）-I22（t）-α2I2（t）≤I1β1K-α1I1+I2β2K-α2I2≤0。

而V=0當(dāng)且僅當(dāng)（I1，I2）=（0，0），則無病平衡點(diǎn)E0（0，0）是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

即

A1=-β1I1，B1=-β2I2，

C1=β1K-2β1I1-β2I2-α1，

D1=β2K-β2I1-2β2I2-α2,

【1】τ=0

【2】τ≠0,

考慮下面特征方程

P和Q分別為n次和m次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，τ是非負(fù)常數(shù)。Cooke等[3-4]已得到如下結(jié)果：

引理1考慮特征方程（8），其中P和Q是λ在右半平面Reω＞-δ，δ＞0的解析函數(shù)，若滿足如下假設(shè)

（1）P和Q沒有共同的純虛根；

（3）P（0）+Q（0）≠0；

（4）當(dāng)τ=0時(shí)，方程（8）的右平面至多有有限個(gè)根；

（5）對任意實(shí)數(shù)y，方程F（y）=｜P（iy）｜2-｜Q（iy）｜2至多有有限個(gè)實(shí)根。

則有下面的結(jié)論

（a）若方程F（y）=0沒有正根，則當(dāng)τ=0時(shí)，若系統(tǒng)（8）穩(wěn)定，則對所有的τ≥0仍然是穩(wěn)定的。

（b）若方程F（y）=0至少有一個(gè)正根且每個(gè)正根都是單根，則隨著τ值的增加，系統(tǒng)（8）將會(huì)發(fā)生穩(wěn)定性開關(guān)現(xiàn)象，即存在一個(gè)正數(shù)τ*，當(dāng)τ＞τ*時(shí)，系統(tǒng)（8）是不穩(wěn)定的。當(dāng)τ從0到τ*改變時(shí)，系統(tǒng)（8）至多存在著有限個(gè)穩(wěn)定性開關(guān)。

把方程（6）重新寫成下面的形式

其中P（λ）=λ2-（C1+D1）λ+C1D1-A1B1，Q（λ）=ελ－（D1+ A1）ε，容易驗(yàn)證系統(tǒng)（9）滿足引理1的條件（5），為了考察非負(fù)平衡點(diǎn)E2，）的穩(wěn)定性，需要分析下面方程存在正根的情況：

其中

R1=-2（C1D1-A1B1）+（C1+D1）2-ε2，

R2=（C1D-A1B1）2-（D1+A1）2ε2，

則方程（10）的正根有下面兩種情形：

令z＝y(tǒng)2，并記

h（z）=z2+R1z+R2,

則

△=R21-4R2。

命題1若△=R21-4R2＜0，F(xiàn)（y）=0，則方程（10）沒有正根。

命題2若△=R21-4R2＜0，h（0）≥0，F(xiàn)（y）=0，則方程（10）至少有一個(gè)正根且為單根。

由于當(dāng)τ=0時(shí)，非負(fù)平衡點(diǎn)E2，）是局部漸近穩(wěn)定的，所以可以由命題1和命題2及引理1得到下面的結(jié)果：

[1]馬知恩.生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥：安徽教育出版社，2001.

[2]楊亞莉，李健全.一類病毒自身發(fā)生變異的權(quán)無染病模型的全局分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（1）：102-106.

[3]Cooke K L，van den Driessche.On zeros of some transcendental equations[J].Funkcial Ekvac，1986（29）：87-90.

[4]李銳，薛亞奎.一類具有非線性傳染率的時(shí)滯SIR模型的分析[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（15）：98-104.

〔責(zé)任編輯 高 海〕

The Time Delay Epidem ic Modelw ith Spontaneous Virus Variation

TONG Yao-hua,LILu-ping
（School ofMathematics and Computer Science,ShanxiDatong University,Datong Shanxi,037009）

This paper considers a time delay epidemic model with spontaneous virus variation.It analyzes the local and global stability of disease-free equilibrium point in detail.

time delay；epidemicmodel；equilibrium point；stability

O212.4

A

2013-05-15

仝耀華（1979-），女，山西大同人，碩士，講師，研究方向：生物數(shù)學(xué)。

1674－0874（2013）05－0020－03