張小樂(lè)，黃晶霞

(1.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南 楚雄 675000;2.云南大學(xué)信息學(xué)院，云南 昆明 650031)

1.Logistic回歸模型參數(shù)估計(jì)的研究意義

Logistic回歸模型不僅可以應(yīng)用于人口預(yù)測(cè)，還可用于醫(yī)療衛(wèi)生、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。在統(tǒng)計(jì)研究過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到因變量為虛擬變量的情形，例如，在人口預(yù)測(cè)中生存率與死亡率、發(fā)病與未發(fā)病、性別比例問(wèn)題。這時(shí)用線性回歸模型的方法對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行研究已不再可行，而logistic回歸模型可同時(shí)分析包含離散變量和連續(xù)變量的多個(gè)自變量，并能有效地分析自變量之間的交互作用，為多個(gè)自變量與因變量之間的相互關(guān)系提供一個(gè)定量描述。

本文在介紹Logistic回歸模型的基礎(chǔ)上，基于數(shù)值微分和最小二乘曲線擬合對(duì)Logistic回歸模型進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，這種方法對(duì)人口、資源、環(huán)境等的發(fā)展和預(yù)測(cè)具有應(yīng)用價(jià)值.只要滿足Logistic生長(zhǎng)過(guò)程的事物，就可以采用Logistic函數(shù)預(yù)測(cè)，而在用Logistic函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)候，本文中的估計(jì)方法就能發(fā)揮作用。

2.Logistic回歸模型介紹

Logistic模型是1938年Verhulst－Pearl在修正非密度方程時(shí)提出來(lái)的，他認(rèn)為在一定的環(huán)境中種群的增長(zhǎng)總存在一個(gè)上限，當(dāng)種群的數(shù)量逐漸向著上限上升時(shí)實(shí)際增長(zhǎng)率就要逐漸地減少，因而也被稱為 Verhulst－Pearl方程［1］。

人口問(wèn)題是影響我國(guó)發(fā)展的重要因素，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出未來(lái)人口的發(fā)展趨勢(shì)有重要的指導(dǎo)意義，我們考慮種內(nèi)對(duì)資源的競(jìng)爭(zhēng)，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口的增長(zhǎng)起阻滯作用，且隨著人口的增加，阻滯作用越來(lái)越大。

我們記時(shí)刻t的人口為x(t)，并將x(t)看作連續(xù)、可微的函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0)的人口為x0.假設(shè)人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r，也就是說(shuō)單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t)。我們考慮t到t+△t時(shí)間內(nèi)人口的增量，則有

令△t→0，則得到x(t)滿足如下的微分方程

阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降.若我們把人口增長(zhǎng)率r表示為人口數(shù)量x的函數(shù)r(x)，則r(x)是減函數(shù)，于是(2)式可寫為

設(shè)r(x)是x的線性函數(shù)，即

這里的r表示人口很少時(shí)(理論上設(shè)x=0)的增長(zhǎng)率，即人口不受環(huán)境和資源限制的固有增長(zhǎng)率。為了明確參數(shù)s的意義，引入最大人口容量xm，即自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量。則當(dāng)x=xm時(shí)，人口的增長(zhǎng)率為零，即增長(zhǎng)率r(xm)=r－sxm=0，從而得到，于是(4)式可改寫為

3.Logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)

Logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)的方法有很多，如極大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)、穩(wěn)健估計(jì)、Bayes估計(jì)等等。本文用數(shù)值微分和曲線擬合法對(duì)logistic模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并進(jìn)行實(shí)證分析。

由Logistic模型的解(8)中可知，只要對(duì)參數(shù)xm，a，b進(jìn)行估計(jì)即可，主要方法和步驟如下:

(1)首先求xm.對(duì)(6)式變形得到

(2)求參數(shù)a、b.將 (8)式變形為

4.Logistic人口模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

根據(jù)中國(guó)統(tǒng)計(jì)局在《統(tǒng)計(jì)年鑒》中公布的“1950—2010”年人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，本文只選取1980年到2005年的總?cè)丝跀?shù)據(jù)(見表1)來(lái)擬合。

表1 1980—2005年中國(guó)人口數(shù)據(jù)(萬(wàn)人)

首先運(yùn)用數(shù)值微分得到年增長(zhǎng)率的值，然后再利用Matlab軟件進(jìn)行擬合［6］。

通過(guò)Matlab軟件畫出散點(diǎn)圖(見圖1)可以看出該圖是一條單調(diào)函數(shù)的圖像，且是指數(shù)型的，因此可以選用一次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。

圖1 1980—2005年擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)

由表一中的數(shù)據(jù)估算出 xm=15.14(單位:億)，a=0.5726，b=0.05073，從而得到中國(guó)人口的Logistic回歸模型的具體表達(dá)式為

通過(guò)Matlab軟件進(jìn)行擬合可以直觀地看到數(shù)值的變化情況(見圖2)，預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)曲線擬合得比較好。

圖2 1980—2005年數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線

于是求出預(yù)測(cè)中國(guó)人口的具體公式

我們?nèi)?980年的人口總數(shù)為x0=9.8705(注:單位:億)。

根據(jù)上式可以計(jì)算2000和2005年的人口數(shù):

當(dāng)t=20時(shí)，

誤差都較小，說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果比較準(zhǔn)確。

下面來(lái)預(yù)測(cè)2015年的人口總數(shù)，即取t=35，則

以此類推，我們可以估算出未來(lái)幾年的中國(guó)人口數(shù)(見表2)。

表2 由上述公式可估算未來(lái)2015—2040年的中國(guó)總?cè)丝跀?shù):(單位:億)

5.小結(jié)

本文基于數(shù)值微分和最小二乘曲線擬合對(duì)Logistic回歸模型進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，這種方法對(duì)人口、資源、環(huán)境等的發(fā)展和預(yù)測(cè)具有應(yīng)用價(jià)值，由此計(jì)算了我國(guó)2000年到2005年總?cè)丝跀?shù)的誤差情況，并預(yù)測(cè)了2015年—2040年我國(guó)的人口總數(shù)。只要滿足Logistic生長(zhǎng)過(guò)程的事物，就可以采用Logistic函數(shù)預(yù)測(cè)，而在用Logistic函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)候，本文中的估計(jì)方法就能發(fā)揮作用。

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